高考数学总复习直线、平面、简单几何体和空间向量第56讲直线、平面平行的判定与性质练习理新人教A版.docx

第56讲直线、平面平行的判定与性质夯实基础【p128】【学习目标】1熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题2学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化3掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题【基础检测】1设l表示直线，表示平面给出四个结论：如果l，则内有无数条直线与l平行；如果l，则内任意的直线与l平行；如果，则内任意的直线与平行；如果，对于内的一条确定的直线a，在内仅有唯一的直线与a平行以上四个结论中，正确结论的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】若l，则在内的直线与l平行或异面，故正确，错误由面面平行的性质知正确对于，在内有无数条直线与a平行，故错误【答案】C2已知m，n是两条不重合的直线，是不重合的两个平面，则下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若mn，m，则nC若n，mn，则m，且mD若m，m，则【解析】若m，n，则mn或m与n异面，因此A不正确；B中n不一定成立，还有可能n，所以B不正确；C中m有可能在内或在内，故C不正确；D正确【答案】D3如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面平行的直线有()A0条B1条C2条D3条【解析】显然AB与平面相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面相交在BCD中，由已知得EFBC，又EF，BC，所以BC.同理，AD，所以在题图中的6条直线中，与平面平行的直线有2条【答案】C4下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()ABCD【解析】中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如图)中，NPAB，能得出AB平面MNP.【答案】B5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是()AMNAP BMNBD1CMN平面BB1D1D DMN平面BDP【解析】取B1C1中点Q，连接MQ，NQ，由三角形中位线定理可得MQB1D1，MQ平面BB1D1D，由四边形BB1QN为平行四边形得NQBB1，NQ平面BB1D1D，平面MNQ平面BB1D1D，MN平面MNQ，MN平面BB1D1D.【答案】C【知识要点】1直线和平面的位置关系直线与平面的位置关系(1)直线和平面相交有且只有_一个_公共点(2)直线在平面内有_无数个_公共点(3)直线和平面平行_没有_公共点2直线与平面平行的判定(1)判定定理：如果_平面外_一条直线和这个_平面内_的一条直线_平行_，那么这条直线和这个平面平行，即ab，a，ba.(2)如果两个平面_平行_，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，即_，a_，则a.3直线与平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_交线_平行，即a，a，b，则_ab_4两个平面的位置关系(1)两个平面平行_没有公共点_；(2)两个平面相交_有一条公共直线_5两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条_相交_直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)垂直于同一条_直线_的两个平面平行(3)平行于同一个_平面_的两个平面平行6两个平面平行的性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的_任意一条直线_必平行于另一个平面(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_交线_互相平行(3)一条直线_垂直_于两个平行平面中的一个平面，它也_垂直_于另一个平面典例剖析【p129】考点1直线与平面平行的判定与性质如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点证明：直线HG平面CEF.【解析】法一：如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.F，H分别是AB，AC的中点，K是ABC的重心，.又据题设条件知，EKGH.EK平面CEF，GH平面CEF，直线HG平面CEF.法二：如图，取CD的中点N，连接GN，HN.G为DE的中点，GNCE.CE平面CEF，GN平面CEF，GN平面CEF.连接FH，EN，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，FH綊BC，EN綊BC，FH綊EN，四边形FHNE为平行四边形，HNEF.EF平面CEF，HN平面CEF，HN平面CEF.HNGNN，平面GHN平面CEF.GH平面GHN，直线HG平面CEF.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG平面AA1B1B.【解析】在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D.又CC1平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1FG.因为BB1CC1，所以BB1FG.而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.考点2面面平行的判定及性质如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点(1)证明：EF平面PAC；(2)证明：平面PCG平面AEF.【解析】(1)E，F分别是BC，BP的中点，EF綊PC，PC平面PAC，EF平面PAC，EF平面PAC.(2)E，G分别是BC、AD中点，AECG，AE平面PCG，CG平面PCG，AE平面PCG，又EFPC，PC平面PCG，EF平面PCG，EF平面PCG，AEEFE点，AE，EF平面AEF，平面AEF平面PEG.【点评】面面平行判定的一般思路是：线线平行线面平行面面平行考点3平行关系中的探索性问题在多面体ABCDEF中，DEAF，DE平面ABCD，EC5，BF3，四边形ABCD是边长为3的菱形(1)证明：BDCF；(2)线段CD上是否存在点G，使AG平面BEF，若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)连接AC，由DE平面ABCD，DEAF，得AF平面ABCD，又BD平面ABCD，所以AFBD，由四边形ABCD是菱形，得ACBD，又ACAFA，AC，AF平面ACF，所以BD平面ACF，因为CF平面ACF，所以BDCF.(2)存在这样的点G，且.证明如下：连接AG交BD于M，过M作MNDE交BE于N，连接FN.因为，且DMGBMA，所以.因为MNDE所以，即MNDE.因为DE平面ABCD，EC5，CD3，所以DE4，所以MN3.因为DEAF，BF3，AB3，所以AF3.于是MNAF且MNAF，所以四边形AMNF为平行四边形，于是AMFN，即AGFN，又FN平面BEF，AG平面BEF，所以AG平面BEF.【点评】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决方法总结【p130】1证明直线与平面平行常运用判定定理，即转化为线线的平行来证明2直线与平面平行的判定方法：(1)aa(定义法)，(2)a，这里表示平面，a，b表示直线3两平面平行的判断方法(1)依定义采用反证法(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定4平行关系的转化程序线线平行线面平行面面平行从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向走进高考【p130】1(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.【解析】记该正方体为ABCDABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱AA，AB，AD与平面所成的角都相等如图，连接AB，AD，BD，因为三棱锥AABD是正三棱锥，所以AA，AB，AD与平面ABD所成的角都相等分别取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大又EFFGGHIHIJJE，所以该正六边形的面积为6，所以截此正方体所得截面面积的最大值为.【答案】A2(2017浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【解析】(1)如图，设PA中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EFAD，又因为BCAD，BCAD，所以EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N. 连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD得CE，在PBN中，由PNBN1，PB得QH，在RtMQH中，QH，MQ，所以sinQMH，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.考点集训【p246】A组题1已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是()Am，mnnBm，nmnCm，m，nmnDm，nmn【解析】A中，n还有可能在平面内；B中，m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确D中，m，n可能异面【答案】C2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1，则以上正确说法的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故正确显然A1M与B1Q为异面直线故错误由知A1MD1P.由于D1P即在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内故正确【答案】C3已知平面，直线m，n，l，给出下列四种说法：若m，n，且mn，则；若m，n相交且都在，外，m，m，n，n，则；若m，n，且mn，则；若m，n，l，mn，则ml.其中说法正确的有()A1个B2个C3个D4个【解析】由题意得，中，若m，n，且mn，此时与相交或平行，所以不正确；中根据平面与平面平行的判定定理可知，若m，n相交且都在，外，m，m，n，n，则是正确的；中，若m，n，且mn，则与相交或平行，所以不正确；中，根据线面平行的判定定理及性质定理，可知若m，n，l，mn，则ml是正确的，故是正确的【答案】B4在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面的面积为()A1 B.C.D.【解析】取棱BC的中点M，连结AD1，D1G，GM，MA，根据题意，结合线面，面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形AD1GM，由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，利用梯形的面积公式可求得S.【答案】B5如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，有以下判断：ED与NF所成的角为60；CN平面AFB；BMDE；平面BDE平面NCF.其中正确判断的序号是()A BC D【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，得：ED与NF所成的角为60，故正确；CNBE，CN不包含于平面AFB，BE平面AFB，CN平面AFB，故正确；BM与ED是异面直线，故不正确；BDFN，BECN，BDBEB，FNCNN，BD，BE平面BDE，FN，CN平面NCF，所以平面BDE平面NCF，故正确，正确判断的序号是.【答案】C6如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SESA_时，SC平面EBD.【解析】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点因为SC平面EBD，且平面EBD平面SACEO，所以SCEO，所以点E是SA的中点，此时SESA12.【答案】127设平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于S，若AS18，BS9，CD34，则CS_【解析】如图(1)，由可知BDAC，即，SC68；如图(2)，由知ACBD，即.SC.【答案】68或8如图，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.【解析】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.B组题1设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则以下能够推出的是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且nDm且nl2【解析】m且l1时，可相交(如m，l1同时平行，交线); ml1且nl2时，l1，l2，又l1，l2是平面内的两条相交直线，所以；m且n时，可相交(如m，n同时平行，交线)；m且nl2时，可相交(如m，n同时平行，交线l2)；因此选B.【答案】B2已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，E为棱AD中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCDA1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为_【解析】由题可知，蚂蚁在正方体ABCDA1B1C1D1表面上行走一周的路线构成与平面A1BE平行的平面，设F，G分别为BC，A1D1中点，连接B1G，GD，FD和FB1，则B1GGDDFFB1为蚂蚁的行走轨迹正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，易得B1GGDDFFB1，B1D2，GF2，四边形B1GDF为菱形，SB1GDFB1DGF2.【答案】23如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，E，F分别为CC1，B