高考数学复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算教案文苏教版.docx

第一节 平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的 单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.小题体验1在ABC中，c，b，若点D满足2，则_.解析：如图，因为在ABC中，c，b，且点D满足2，所以() bc.答案：bc2下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab; 若ab，则|a|b|.其中正确命题的序号是_答案：3设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：因为向量ab与a2b平行，所以abk(a2b)，则所以.答案：1在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系小题纠偏1若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析：|2.答案：22已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq.若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故qp所以p是q的充分不必要条件答案：充分不必要3已知向量i与j不共线，且im j，n ij.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是_(填序号)mn1；mn1；mn1；mn1.解析：由A，B，D共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.答案：题组练透1给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中错误的命题是_(填序号)解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故不正确；零向量与任一向量平行，故当ab，bc时，若b0，则a与c不一定平行，故不正确答案：2给出以下命题：对于实数p和向量a，b，恒有p(ab)papb；对于实数p，q和向量a，恒有(pq)apaqa；若 papb(pR)，则ab；若paqa(p，qR，a0)，则pq.其中正确的命题是_(填序号)解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知正确；当p0时，papb0，而不一定有ab，故不正确答案：谨记通法有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，是与a反方向的 单位向量(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件题组练透1如图，在ABC中，若，则_. 解析：由题意，().又，.答案：2(2019苏州调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则_.解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以2，2，所以4.答案：43(2019海门中学检测)在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则_(用，表示)解析：因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()().答案： 谨记通法1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求典例引领设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb同向解：(1)证明：因为ab，2a8b，3a3b，所以2a8b3a3b5(ab)5.所以，共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb同向，所以存在实数(0)，使kab(akb)，即kabakb.所以(k)a(k1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，解得或又因为0，所以k1.由题悟法共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点即时应用1(2018南京第十三中学测试)如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，由AB4，得ANAM3，又因为，所以()2 |2，所以AD227，AD3.答案：32(2019天一中学检测)如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设a，b.(1)试用a，b表示，；(2)证明：B，E，F三点共线解：(1)在ABC中，a，b，ba， a(ba)a b，ab.(2)证明：ab，aab(ab)，与共线，且有公共点B，B，E，F三点共线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若，则_.解析：根据向量加法的运算法则可知，2，故2.答案：22(2019海门中学检测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则_.解析：因为，所以()，所以，所以.答案：3(2018启东期末)在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若，则_.解析：由已知，得，所以，又，所以1，则.答案：4(2018扬州模拟)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析：如图，因为，P是上一点所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，则m.答案：5(2019张家港模拟)如图所示，向量，的终点A，B，C在一条直线上，且3，设a，b，c，若cmanb，则mn_.解析：由向量，的终点A，B，C在一条直线上，且3，得33(CO)，即33，则cab.又cm an b，所以m，n，所以mn2.答案：26(2018江阴高级中学测试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc_.解析：依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0.答案：0二保高考，全练题型做到高考达标1已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.解析：由0得点M是ABC的重心，可知()，即3，则m3.答案：32(2019江阴期中)若a，b不共线，且am b与2ab共线，则实数m的值为_解析：am b与2ab共线，存在实数k，使得ambk(2ab)2kakb，又a，b不共线，12k，mk，解得m.答案：3下列四个结论：0； 0；0；0，其中一定正确的结论个数是_解析：0，正确；，错；0，正确；0，正确故正确的结论个数为3.答案：34(2018南汇中学检测)已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs_.解析：如图，因为2，所以.又因为，所以.又rs，所以r，s，所以rs0.答案：05(2018海安中学检测)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则_(用a，b表示)解析：连结CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.答案：ab6(2019常州调研)已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若mn，则mn的值为_解析：如图所示，因为点E为线段AO的中点，所以() ，又mn，所以m，n，故mn.答案：7设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，| |，则|_.解析：由|可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：28(2019启东期中)在ABC中，D为边AB上一点，M为ABC内一点，且满足，则_.解析：如图， ADAB，DMBC，且DMBC，. 答案：9如图所示，在OAB中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D是把分成21的一个三等分点，DC交OA于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解：(1)依题意，A是BC的中点，所以2，即22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2ab)(2)ab.因为与共线所以存在实数k，使k.即(2)abk，因为a，b是不共线的两个非零向量，所以解得10设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2， 2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解：(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，因为2e18e2，所以2.又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，因为3e1ke2，且B，D，F三点共线，所以 (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019汇龙中学检测)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D.若xy，则xy的取值范围是_解析：由于A，B，D三点共线，设，则()(1).由于O，C，D三点共线，且点D在圆内，点C在圆上，与方向相反，则存