高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第68讲抛物线练习理新人教版.docx

第68讲抛物线夯实基础【p155】【学习目标】1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用【基础检测】1抛物线y4x2的焦点坐标是()A(0，1) B(1，0) C(0，2) D.【解析】抛物线y4x2可化为x2y，所以抛物线的焦点为.【答案】D2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1B2C4D8【解析】由抛物线的定义，可得|AF|x0，|AF|x0，x0x0，x01.【答案】A3过抛物线y24x上的焦点F，作直线l与抛物线交于A，B两点，已知|AF|，则|BF|()A2B3C.D.【解析】A(x1，y1)，B(x2，y2)，不仿设y10，因为|AF|，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到抛物线y24x的准线x1的距离，即x11，x1，A，直线AF：y(x1)，即为y2(x1)，与y24x联立可得，2x25x20，解得x22，所以|BF|x2213.【答案】B4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F(2，0)，过点A(3，2)向其准线作垂线，与抛物线的交点为E，则|EF|_【解析】由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x2，p4，故抛物线方程为y28x.设过点A(3，2)向其准线作的垂线与准线交于点G，则G(2，2)，设点E的坐标为E(x，2)，则48x，解得x.由抛物线的定义得|EF|2.【答案】5已知抛物线y22px的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，直线l的斜率是，O为坐标原点，若AOB的面积为，则p_【解析】根据抛物线定义易知直线AB的方程为y，S，p，所以pp.【答案】【知识要点】1抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离_相等_的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程、图形及几何性质见下表：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴_x轴_y轴_顶点O(0，0)O(0，0)离心率e1e1开口_向右_向左_向上_向下_3.焦半径抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.典例剖析【p155】考点1抛物线的定义及应用(1)已知双曲线C：4y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y60和l2：x1的距离之和的最小值为_【解析】双曲线4y21的一条渐近线为x2ay0，右顶点(a，0)到该渐近线的距离d，解之得a或(舍)，则c1，即右焦点为(1，0)，抛物线的焦点也为(1，0)，则p2，l2：x1为其准线如图，作MAl1，MBl2，连MF，则|MB|MF|，当A、M、F三点共线时，距离之和最小，其最小值即为点F到l1的距离，即2.【答案】2(2)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_【解析】分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.【答案】8【点评】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径考点2抛物线的标准方程与性质(1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y【解析】1的离心率为2，2，即4，3，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.【答案】D(2)已知F是抛物线x24y的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是()A.B.C.D.【解析】抛物线的准线为l：y1，过点P作PDl于D，则，且点A在准线上，如下图所示，所以sinPAD，当直线PA与抛物线相切时，sinPAD有最小值，由y得y，设切点为，则，解得x02，此时PAD，所以sin.【答案】C【点评】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此考点3焦点弦问题已知倾斜角为的直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，求证：(1)|AB|(为直线AB的倾斜角)；(2)SAOB(为直线AB的倾斜角)；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AF|等于点A到准线x的距离，所以|AF|x1.同理，|BF|x2.所以|AB|AF|BF|x1x2p，直线AB的斜率不存在时，倾斜角，其方程为x，则A，B，|AB|2p.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(k0)，所以xy，故x1x2(y1y2)p.将xy代入抛物线方程y22px(p0)，得y2yp20，y1y2.所以x1x2p，将代入得：|AB|2p2p2p.(2)如图，SAOBSAOFSBOF|OF|AF|sin()|OF|BF|sin|OF|sin(|AF|BF|)|OF|AB|sinsin.(3)设线段AB的中点为M，分别过A，M，B作准线的垂线，垂足为C，N，D，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与准线相切【点评】(1)抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质(如：焦半径等于这点到准线的距离，化两点间的距离为点线间的距离；又如：若ANB90，则以CD为直径的圆切AB于点F等)(2)此题中证明的三个结论是抛物线中非常重要的结论，应用起来比较方便考点4直线与抛物线的位置关系已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k_.【解析】抛物线C的焦点为F(2，0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.【答案】2如图，已知抛物线C：y2x和M：(x4)2y21，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y01)作两条直线与M分别相切于A，B两点，与抛物线分别交于E，F两点(1)当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；(2)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值【解析】(1)法一：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4，2)，kHEkHF，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，y1y22yH4，kEF.法二：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4，2)，AHB60，可得kHA，kHB，直线HA的方程为yx42，联立方程组得y2y420，yE2，yE，xE.同理可得yF，xF，kEF.(2)法一：设点H(m2，m)(m1)，则|HM|2m47m216，|HA|2m47m215.以H为圆心，HA为半径的圆方程为：(xm2)2(ym)2m47m215，M方程：(x4)2y21.得：直线AB的方程为(2xm24)(4m2)(2ym)mm47m214.当x0时，直线AB在y轴上的截距t4m(m1)，t关于m的函数在1，)单调递增，tmin11.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，kMA，kHA，可得，直线HA的方程为(4x1)xy1y4x1150，同理，直线HB的方程为(4x2)xy2y4x2150，(4x1)yy1y04x1150，(4x2)yy2y04x2150，直线AB的方程为(4y)xy0y4y150，令x0，可得t4y0(y01)，t关于y0的函数在1，)单调递增，tmin11.【点评】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法方法总结【p156】1求抛物线标准方程的实质是求p值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)2利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便如：已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p.(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切(6)CFD90.走进高考【p156】1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7D8【解析】法一：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.法二：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.【答案】D2(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，yy4(x1x2)，k，AMB90，取AB中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB中点，则MM平行于x轴，y01，y1y22，k2.【答案】2考点集训【p266】A组题1抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A.BC8D8【解析】抛物线化为标准方程是x2y，所以对应的准线方程为y2.解方程得a.【答案】B2抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()ABC.D.【解析】抛物线为x2y，由焦半径公式MFyMyM1，得yM.【答案】B3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2【解析】y22px的焦点坐标为，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.【答案】B4已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4B4Cp2Dp2【解析】若焦点弦ABx轴，则x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.所以y1y2p2.故4.【答案】A5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|等于()A.B6C12D7【解析】焦点F的坐标为，法一：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12.法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12.【答案】C6已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_【解析】依题意，直线AB斜率存在，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.【答案】xy107已知抛物线x22py(p0)上纵坐标为p的点到其焦点F的距离为3.(1)求抛物线的方程；(2)若直线l与抛物线以及圆x2(y1)21都相切，求直线l的方程【解析】(1)由已知得抛物线的准线方程为y，则由抛物线的定义知p3，则p2，所以抛物线的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，设其方程为ykxb，则有消去y得x24kx4b0，则有16k216b0，即k2b.又直线l与圆x2(y1)21相切，所以1.解方程组得或或故所求直线l的方程为y0或yx3或yx3.8已知M，N是焦点为F的抛物线y22px(p0)上两个不同的点，线段MN的中点A的横坐标为4.(1)求|MF|NF|的值；(2)若p2，直线MN与x轴交于点B，求点B的横坐标的取值范围【解析】(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x28p，而|MF|x1，|NF|x2，|MF|NF|x1x2p8.(2)当p2时，抛物线方程为y24x.若直线MN的斜率不存在，则B(3，0)若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t0)，则由(1)知整理得yy4(x1x2)，(y1y2)4，即kMN，直线MN：yt(x3)，B点的横坐标为3，由消去x得y22ty2t2120，由0得0t20)，斜率为k(k0)的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，.(1)求抛物线C的方程；(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R到直线AB的距离为d，若，求k的值【解析】(1)由已知，l的方程：ykx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x22pkxp20，(*)x1x2p2，y1y2，x1x2y1y2p2，由已知得：，p1，抛物线C的方程为x22y.(2)由(1)知，p1，C：x22y，l：ykx，方程(*)即：x22kx10，x1x22k，x1x21，设AB的中点D(x0，y0)，则：x0(x1x2)k，y0kx0k2，所以AB的中垂线MN的方程：y(xk)，即xyk20.将MN的方程与C：x22y联立得：x2x2k230，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则R，k2k2，R点到AB：kxy0的距离d，|AB|x1x2|2(1k2)，所以，由已知得：，得k1.4已知点