高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第67讲双曲线练习理新人教版.docx

第67讲双曲线夯实基础【p152】【学习目标】1理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质2理解数形结合的思想3了解双曲线的实际背景及其简单应用【基础检测】1设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5B6C7D9【解析】由双曲线的方程，渐近线的方程可得：，解得a2.由双曲线的定义可得：|PF2|3|2a4，解得|PF2|7.【答案】C2双曲线E：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则E的离心率为()A2B.C2D2【解析】由题意，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即，所以双曲线的离心率为e2.【答案】C3已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为()Ax21B.y21C.y21Dx21【解析】设双曲线的焦距为2c，由双曲线的一个顶点与较近焦点的距离为1，ca1，又e2，由以上两式可得a1，c2，b2c2a2413，双曲线的方程为x21.【答案】A4已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐进线方程为()AyxByxCyxDy2x【解析】根据题意可设A(a，0)，B(a，0)，设P点为(x，y)，根据题意得到3，1，从而渐近线方程为0，化简为：yx.【答案】C5已知双曲线C：1的左、右焦点为F1，F2，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M，则MF1F2的面积为_【解析】双曲线的焦点为F1(5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为yx，过F2与一条渐近线平行的直线方程为y(x5)，由得即M，SF1MF210.【答案】【知识要点】1双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做_双曲线_这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距_2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围x_a_或x_a_yRxR，ya或ya顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点离心率e，e_(1，)_，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫半实轴，b叫半虚轴.典例剖析【p153】考点1双曲线的定义及应用(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)【答案】x21(x1)(2)点F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，点P在双曲线上，则PF1F2的内切圆半径r的取值范围是()A(0，)B(0，2)C(0，)D(0，1)【解析】如图所示，设PF1F2的内切圆圆心为I，内切圆与三边分别相切于点A，B，C，根据圆的切线可知：|PB|PC|，|F1A|F1C|，|F2A|F2B|，又根据双曲线定义|PF1|PF2|2a，即(|PC|F1C|)(|PB|F2B|)2a，所以|F1C|F2B|2a，即|F1A|F2A|2a，又因为|F1A|F2A|2c，所以|F1A|ac，|F2A|ca，所以A点为右顶点，即圆心I(a，r)，考虑P点在无穷远时，直线PF1的斜率趋近于，此时PF1方程为y(xc)，此时圆心到直线的距离为r，解得rb，因此PF1F2内切圆半径r(0，b)，所以选择A.【答案】A考点2求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(3，2)和Q(6，7)；(4)过点(4，)，且渐近线方程为yx.【解析】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.(4)由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.【点评】求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值考点3双曲线的几何性质及应用(1)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2B.C.D.【解析】依题意，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2，选择A.【答案】A(2)过点A(0，1)作直线，与双曲线x21有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A0B2C4D无数【解析】与双曲线相切时有两条，与渐近线平行时有两条，共4条，选C.【答案】C(3)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()ABC1D【解析】如图，双曲线1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(a，0)，A2(a，0)，易求B，C，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线的斜率k1.【答案】C(4)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【解析】e1，e2.不妨令e1e2，化简得0)，得bmam，得ba时，有，即e1e2；当ba时，有，即e10，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围考点4直线与双曲线的位置关系已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，A，B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C在第一象限上的任意一点，O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，记mk1k2k3，则m的取值范围是_【解析】离心率e，c23a2，即b22a2，双曲线的方程为1.令P(x0，y0)(x00，y00)，则k1，k2，k3.于是k1k2k32.又双曲线C的渐近线为yx，点P(x0，y0)在第一象限，0，即0，020)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值【解析】(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.故k的取值范围是k|1k(2)由(*)得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k0，则焦点在x轴上；若求得0时，焦点在x轴上；当k0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyx【解析】e，e21312，因为渐近线方程为yx，所以渐近线方程为yx.【答案】A2(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A.B2C.D.【解析】法一：|PF2|b，|OF2|c，|PO|a，在RtPOF2中，cosPF2O，在RtPF1F2中，cosPF2O，b24c26a24b24c26a23c23a2c23a2e.法二：如图，不妨设a1，则渐近线方程l：ybx，作PF2l，直线PF2的方程为：y(xc)，由得点P.故|PF1|，即1，c.故e.【点评】运用直线PF2的方程与渐近线方程，求出交点P的坐标，由两点间的距离公式表示出，再结合条件，建立方程，可求出e.坐标搭台，方程高歌法三：如图，过F2作PF2l，延长F2P，作F1QPF2相交于点Q，易知|F1Q|2|OP|2a，|QP|F2P|b，则|F1P|a，在F1PQ中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【点评】由条件PF2l，构造直角F1QF2，运用勾股定理建立方程，找到2a2b2，从而求出e.巧妙构图，多思少算法四：如图，过F2作PF2l，易知|PF2|b，|OP|a，作PF1MF2，由|F1P|MF2|a，在F2PM中有6a24a2b2，得2a2b2，可得：e.【点评】巧妙构图，多思少算【答案】C3(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4【解析】因为双曲线y21的渐近方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3.【答案】B考点集训【p264】A组题1已知双曲线1(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为()A.1B.1Cx21D.1【解析】由题意可得：a2m，b2m6，则实轴长为：2，虚轴长为2，由题意有：222，解得：m2，代入1可得双曲线方程为1.【答案】D2已知双曲线y21(a0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是()AyxByxCyxDyx【解析】由双曲线y21(a0)的两焦点之间的距离为4，即2c4，所以c2，又由c2a2b2，即a2122，解得a，所以双曲线的渐近线方程为yxx.【答案】A3过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，)C(，) D(，)【解析】过右焦点F的直线与渐近线yx平行时，与左支无交点，与右支有一个交点结合图象可知：13.则19，又e，故e0，b0)的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，|F1F2|10，PF2F1F2，|PF2|，O为坐标原点，则()AB.C15D15【解析】由题得a3，b4.所以双曲线的方程为1，所以点P的坐标为或，所以(3，0)15.【答案】D5直线l：y2(x)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为_【解析】双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，因为过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的直线l：y2(x)与C只有一个公共点，所以2，02(c)，又因为a2b2c2，解得c，a1，所以e.【答案】6设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_【解析】双曲线x21的两个焦点F1(5，0)，F2(5，0)，|F1F2|10，由3|PF1|4|PF2|，设|PF2|x，则|PF1|x，由双曲线的性质知xx2，解得x6.|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|10，F1PF290，PF1F2的面积为8624.【答案】247已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|10，求|PF2|.【解析】(1)由题易知，2a6，解得a3，c5.故b2c2a216，所以双曲线C的标准方程为1.(2)因为ac8，|PF1|108，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上若点P在双曲线的左支上，则|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；若点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a6，|PF2|PF1|64.综上，|PF2|16或4.8已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且，(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值【解析】(1)由题意得解得b2c2a22，所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，由得x22mxm220(判别式0)，x0m，y0x0m2m，点M(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，故m1.B组题1设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足0，则的值为()A.B1C2D不确定【解析】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2m，由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a.又0，可得F1PF290，故|PF1|2|PF2|24c2，平方平方，得|PF1|2|PF2|22a22m2，将代入，化简得a2m22c2，即2，可得2，因此，2.【答案】C2已知点A，B是双曲线1右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则的最小值为_【解析】法一：当kAB存在时，设lAB：ykxb，联立消去y得x22kbxb220，x1x2，x1x2，由A，B均在双曲线右支上知x1x20，所以k210，x1x2y1y2x1x2x1x2kbb2b222，当kAB不存在时，则x1x2y1y2m22m22，综上，2，即的最小值为2.法二：由于A，B两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B点确定的情况下，让A点运动到最小值，然后再让B点运动，即取最小值的最小值如图，不妨设直线OB：ykx，由可得x，y，故，显然点A运动到在点A处的双曲线的切线(即AC)与OB垂直时，此时在上的投影达到最小值，此时切线AC的方程为xky0，故在上的投影等于点O到直线AC的距离为，故2.法三：设A，B，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x2x1x2，又因为x1，x2，所以x1x22，所以x1x22.法四：设A，B，xy2，xy2，两式相乘得4，即xxyy4xyyx，等式两边同时加上2x1x2y1y2，得44，故x1x2y1y22.【答案】23已知P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值【解析】(