高考数学直线、平面、简单几何体和空间向量第59讲立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直练习理新人教A版.docx

第59讲立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直夯实基础【p135】【学习目标】1会找直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系2能用向量法证明有关直线和平面关系的一些定理【基础检测】1直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()As1(1，1，2)，s2(2，1，0)Bs1(0，1，1)，s2(2，0，0)Cs1(1，1，1)，s2(2，2，2)Ds1(1，1，1)，s2(2，2，2)【解析】两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直【答案】B2设a(3，2，1)是直线l的方向向量，n(1，2，1)是平面的法向量，则()Al BlCl或lDl或l【解析】因为an31(2)2(1)(1)0，所以an，即l或l.故选D.【答案】D3若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1，2，1)，n2(3，1，1)Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1)Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1)Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2)【答案】A4给出下列命题：直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量为b，则l与m平行；直线l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则l；平面，的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则；平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1.其中的真命题是_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】对于，a(1，1，2)，b，ab121120，ab，直线l与m垂直，不正确；对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或l，错误；对于，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与n2不共线，不成立，错误；对于，点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，(1，1，1)，(1，1，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，即则ut1，正确综上，以上真命题的序号是.【答案】【知识要点】1直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量法证明空间中的平行与垂直关系平行垂直直线与直线(v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量)l1l2v1v2v1v2(为非零实数)l1l2v1v2v1v20直线与平面(v为直线l的方向向量，n1为平面的法向量)lvn1vn10lvxayb，其中a，b为平面内不共线的向量，x，y均为实数lvn1vn1(为非零实数)平面与平面(n1，n2分别为平面，的法向量)n1n2n1n2(为非零实数)n1n2n1n20典例剖析【p136】考点1利用空间向量证明空间中的平行关系如图所示，ABCD为矩形，PA平面ABCD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点求证：(1)MNPAD；(2)平面QMN平面PAD；【解析】(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，p)，则C(b，d，0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以.因为平面PAD的一个法向量为m(1，0，0)，所以m0，即m.因为MN不在平面PAD内，故MN平面PAD.(2)(0，d，0)，m，又QN不在平面PAD内，故QN平面PAD.又因为MNQNN，所以平面MNQ平面PAD.【点评】(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算考点2利用空间向量证明空间中的垂直关系正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)证明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则2x10，2x12y1z10.令y11，得n1(0，1，2)同理可得平面A1FD1的法向量n2(0，2，1)因为n1n20，所以平面AED平面A1FD1.(2)因为点M在直线AE上，所以可设(0，2，1)(0，2，)，可得M(2，2，)，于是(0，2，2)，要使A1M平面DAE，需有A1MAE，所以(0，2，2)(0，2，1)520，得.故当AMAE时，A1M平面DAE.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.【解析】法一：设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证法二：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1，2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.【点评】证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行方法总结【p136】1利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解2利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系，表示出已知点(或向量)的坐标难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法3向量法证明线面关系时恰当的推理和必要的空间想象是必需的走进高考【p136】1(2018天津)如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M，N(1，0，2)(1)依题意(0，2，0)，(2，0，2)设n0(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z1，可得n0(1，0，1)又，可得n00，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE.(2)依题意，可得(1，0，0)，(1，2，2)，(0，1，2)设n(x，y，z)为平面BCE的法向量，则即不妨令z1，可得n(0，1，1)设m(x，y，z)为平面BCF的法向量，则即不妨令z1，可得m(0，2，1)因此有cosm，n，于是sinm，n.所以，二面角EBCF的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h0，2)，则点P的坐标为(0，0，h)，可得(1，2，h)易知，(0，2，0)为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得sin 60，解得h0，2所以线段DP的长为.考点集训【p251】A组题1平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4 C4 D2【解析】，两平面法向量平行，k4.【答案】C2已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)【解析】逐一验证法，对于选项A，(1，4，1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内【答案】A3若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内D平行或在平面内【解析】，共面，AB与平面CDE平行或在平面CDE内【答案】D4如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1，1，1)B.C.D.【解析】设M点的坐标为(x，y，1)，O，又E(0，0，1)，A(，0)，(x，y，1)，AM平面BDE，【答案】C5若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量为n(x，y，z)，则xyz_【解析】，(3，2，0)，令x2，可得n(2，3，4)，xyz23(4)【答案】23(4)6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则_，与所成角的大小为_【解析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间坐标系，如图所示因为ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，所以B1(1，2，1)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，P(0，1，1)，所以(1，0，1)，(1，1，0)所以1001.设与所成的角为，cos ，所以60.【答案】1；607如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1.【解析】如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1xyz，则A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，因为O是AB的中点，所以O，.易知n(0，0，1)是平面A1B1C1的一个法向量又n0，OC不在平面A1B1C1内，所以OC平面A1B1C1.8如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABC60，PAABBC，ADAB，E是PC的中点证明：PD平面ABE.【解析】PA底面ABCD，ABAD.AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系设PAABBC1，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D.ABC60，ABC为正三角形C，E.(1，0，0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y2，有z，n(0，2，)，显然n，n，平面ABE，即PD平面ABE.B组题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.aB.aC.aD.a【解析】建立如图所示的空间直角坐标系则N，C1(0，a，a)，A(a，0，0)，因为，所以，所以(a，0，0)(a，a，a)，所以，所以|a.【答案】A2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的长度和的值为_【解析】以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，(x1，0，1)，(1，1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1，1，y)(x1，0，1)0xy1.【答案】13在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数有_个【解析】建立如图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(x，y，2)，O(1，1，0)，OP的中点坐标为，又知D1(0，0，2)，Q(x1，y1，0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.【答案】24如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平