高考数学第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值教案文苏教版.docx

第三节 导数与函数的极值、最值1函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题体验1当x_时，函数f(x)x2x取极小值答案：2已知函数f(x)xsin x，则f(x)在0，上的值域为_答案：3已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，所以当x2或x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数所以f(x)在x2处取得极小值，所以a2.答案：2求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论小题纠偏1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为_解析：f(x)13x2，令f(x)0，得x0,1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减所以f(x)maxf.答案：2已知aln x对任意x恒成立，则a的最大值为_解析：设f(x)ln x，则f(x).当x时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递减；当x(1,2时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，所以f(x)minf(1)0，所以a0，即a的最大值为0.答案：0锁定考向函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题常见的命题角度有：(1)判断函数极值点的个数；(2)求函数的极值；(3)由函数极值求参数值或范围 题点全练角度一：判断函数极值点的个数1(2018江都中学检测)函数f(x)ln xx2的极值点个数为_解析：f(x)ln xx2，x(0，)，f(x)2x，当0x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的极值点个数为1.答案：1角度二：求函数的极值2(2018苏北四市高三一模)已知函数f(x)x2ax1，g(x)ln xa(aR)当a1时，求函数h(x)f(x)g(x)的极值解：函数h(x)的定义域为(0，)当a1时，h(x)f(x)g(x)x2xln x2，所以h(x)2x1.令h(x)0，得x或x1(舍去)，当0x时，h(x)0；当x时，h(x)0，所以函数h(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当x时，函数h(x)取得极小值为ln 2，无极大值角度三：由函数极值求参数值或范围3(2018启东高三期末)设函数f(x)ax3x24x1有极大值f(x1)和极小值f(x2)，若0x11x22，则实数a的取值范围为_解析：由题意得f(x)3ax2(37a)x40的两根为x1，x2，且a0，因为0x11x22，f(0)40，所以即a5，所以实数a的取值范围为.答案：4已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)xf(x)ax1，若g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a的取值范围解：(1)f(x)，x(，0)(0，)，所以f(x).当f(x)0时，x1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0)和(0,1)(2)g(x)exax1，x(0，)，所以g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点当a1时，令g(x)exa0，得xln a；令g(x)exa0，得x(ln a，)；令g(x)exa0，得x(0，ln a)故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，所以g(x)在(0，)有极小值无极大值，且极小值点为xln a.故实数a的取值范围是(1，)通法在握1利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的2个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性演练冲关1(2019阜宁中学检测)若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则ab_.解析：对函数f(x)求导得f(x)3x22axb，f(x)在x1处有极值10，解得或当a3，b3时，f(x)3(x1)20(此时无极值，舍去)；当a4，b11时，符合题意，ab7.答案：72(2018锡山中学检测)设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_解析：因为yexax，所以yexa.因为函数yexax有大于零的极值点，所以方程yexa0有大于零的解，因为x0时，ex1，所以aex1.答案：(，1)3(2018盐城中学期末)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)若a2，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间(2,3)内至少有一个极值点，求a的取值范围解：(1)由f(x)x33ax23x1，得f(x)3x26ax3，当a2时，f(x)3x212x33(x24x1)，由f(x)0，得x2或x2；由f(x)0，得2x2.f(x)的单调递增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调递减区间是(2，2)(2)f(x)3x26ax3，而f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点等价于方程3x26ax30在其判别式0(即a1或a1)的条件下在区间(2,3)上有解由3x26ax30，得a，令g(x)，则g(x)，g(x)0在(2,3)上恒成立，即g(x)0在(2,3)上单调递增，即a，a的取值范围是.典例引领已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)设m0，求函数f(x)在区间m,2m上的最大值解：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，由得0xe；由得xe，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)，且f(x)极大值f(e)1，无极小值(2)当即0m时，函数f(x)在区间m,2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me2m，即me时，函数f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e,2m)上单调递减，所以f(x)maxf(e)11；当me时，函数f(x)在区间m,2m上单调递减，所以f(x)maxf(m)1.综上所述，当0m时，f(x)max1；当me时，f(x)max1；当me时，f(x)max1.由题悟法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的3步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值即时应用设nN*，a，bR，函数f(x)b，已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1.(1)求a，b；(2)求f(x)的最大值解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).所以f(1)a，又切线斜率为1，故a1.由曲线yf(x)过点(1,0)，有f(1)b0.故a1，b0.(2)由(1)知f(x)，f(x).令f(x)0，即1nln x0，解得xe.当0xe时，有f(x)0，得f(x)在上是增函数；当xe时，有f(x)0，得f(x)在(e，)上是减函数故f(x)在xe处取得最大值f(e).对应学生用书P34典例引领(2018苏北四市期末)已知函数f(x)ax，g(x)ln xax，aR.(1)解关于x(xR)的不等式f(x)0；(2)证明：f(x)g(x)；(3)是否存在常数a，b，使得f(x)axbg(x)对任意的x0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解：(1)当a0时，f(x)，所以f(x)0的解集为0；当a0时，f(x)x，若a0时，则f(x)0的解集为0,2ea；若a0时，则f(x)0的解集为2ea,0综上所述，当a0时，f(x)0的解集为0；当a0时，f(x)0的解集为0,2ea；当a0时，f(x)0的解集为2ea,0(2)证明：设h(x)f(x)g(x)ln x(x0)，则h(x).令h(x)0，得x，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的最小值为h()0，所以h(x)ln x0，即f(x)g(x)(3)假设存在常数a，b使得f(x)axbg(x)对任意的x0恒成立，即2axbln x对任意的x0恒成立而当x时，ln x，所以2ab，所以2ab，则b2a，所以2axb2ax2a0(*)恒成立，当a0时，2a0，所以(*)式在(0，)上不恒成立；当a0时，则4a20，即20，所以a，则b.令(x)ln xx，则(x)，令(x)0，得x，当0x时，(x)0，(x)在(0，)上单调递增；当x时，(x)0，(x)在(，)上单调递减所以(x)的最大值()0.所以ln xx0恒成立所以存在a，b符合题意由题悟法利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题即时应用(2018海门中学期末)已知函数f(x)(x1)ex，g(x)2x23xm.(1)求f(x)的极值；(2)若g(x)f(x)对任意的x1,0恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)(x2)ex，当f(x)0时，x2；当f(x)0时，x2，f(x)在x2处取得极小值，无极大值(2)由g(x)f(x)，得m(x1)ex(2x23x)(x1)ex(2x23x1)1(x1)(ex2x1)1.x1,0，x10，令h(x)ex2x1，则h(x)ex2，当x1,0时，h(x)0，h(x)在1,0上单调递减，h(x)h(0)0，即(x1)(ex2x1)0，(x1)(ex2x1)1min1，m1，即实数m的取值范围是(，1典例引领(2018南京、盐城模拟)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600 cm2的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x cm，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a cm和b cm，其中ab.(1)当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600 cm2，当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，故S(x)maxS.答：当a90时，纸盒侧面积最大，最大值为 cm2.(2)纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值答：当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 cm2.由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答即时应用某空调制造公司有一条自动生产的流水线，价值约为a万元，现为了改善该流水线的生产能力，提高产品的增加值，需要进行全面的技术革新经过市场调查，产品的增加值y(单位：万元)与技术革新投入的资金x(单位：万元)之间满足：y与(ax)和x2的乘积成正比；当x时，ya3；x，其中m是正数(1)求y关于x的表达式；(2)试问当技术革新投入多少万元时，产品的增加值y最大解：(1)由题意可设yf(x)k(ax)x2.因为当x时，ya3，所以k8.所以yf(x)8(ax)x2，x，其中m是正数(2)因为f(x)24x216ax，所以由f(x)0，得x或x0(舍去)当，即0m1时，若x，则f(x)0恒成立，所以f(x)在上是增函数，所以当x时，y取得最大值，且ymaxfa3.当，即m1时，若x，则f(x)0，所以f(x)在上是增函数，若x，则f(x)0，所以f(x)在上是减函数，所以当x时，y取得最大值，且ymaxfa3.所以当0m1时，技术革新投入万元时，产品的增加值y最大，且为 a3；当m1时，技术革新投入万元时，产品的增加值y最大，且为a3.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019昆山调研)已知函数f(x)的导函数f(x)x2x，则使得f(x)取得极大值的x_.解析：由f(x)x2x0得到x0或x1，当x0或x1时，f(x)0.当0x1时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值答案：02(2019江都中学检测)函数f(x)x33x3在区间3，0上的最大值和最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当3x1时，f(x)0；当1x0时，f(x)0.f(x)在3，1)上是增函数，在(1,0上是减函数当x1时，f(x)取得最大值f(1)1，即m1.f(3)21f(0)3，当x3时，f(x)取得最小值f(3)21，即n21.故mn22.答案：223(2018启东中学测试)已知函数f(x)3x39xa有两个零点，则a_.解析：f(x)9x29，由f(x)0，得x1或x1；由f(x)0，得1x1，所以f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)a6，极小值为f(1)a6，要满足题意，则需f(1)0或f(1)0，解得a6.答案：64(2018太仓高级中学期末)函数f(x)x的极大值是_解析：易知f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)1，令10，可得x1或x1，当x(，1)时，f(x)0，函数f(x)是增函数；当x(1,0)时，f(x)0，函数f(x)是减函数；当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)是减函数；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)是增函数，所以当x1时，函数f(x)取得极大值2.答案：25(2018南通期末)已知函数f(x)x3x2a在0,1上恰好有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x(3x2)，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x，故f(x)在上单调递减，在上单调递增若f(x)在0,1上恰好有两个零点，则解得0a.答案：6若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为_解析：f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，因为函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，所以3b1，则由f(x)0，得xb或x2，由f(x)0，得bx2，所以函数f(x)的极小值为f(2)2b.答案：2b二保高考，全练题型做到高考达标1若x1是函数f(x)ax3ax2x1的极值点，则f(x)的极小值为_解析：f(x)3ax22ax1，若x1是f(x)的极值点，则f(1)3a2a10，解得a1，故f(x)x3x2x1，f(x)3x22x1(3x1)(x1)，由f(x)0，解得x1或x；由f(x)0，解得x1，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增，故f(x)极小值f(1)0.答案：02设直线xt与函数h(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当MN最小时t_.解析：由已知条件可得MNt2ln t，设f(t)t2ln t(t0)，则f(t)2t，令f(t)0，得t，当0t时，f(t)0，当t时，f(t)0，所以当t时，f(t)取得最小值答案：3(2018东台安丰中学期中)已知函数f(x)lg，若对任意x2，)，不等式f(x)0恒成立，则a的取值范围是_解析：若对任意x2，)，不等式f(x)0恒成立，则lg0lg 1，x21，即a3xx2恒成立令y3xx2，其对称轴为x，y3xx2在2，)上单调递减，ymax642，a2.答案：(2，)4(2019南京学情调研)已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_解析：因为函数f(x)在(1,2)上有极值，则需函数f(x) 在(1,2)上有极值点法一：令f(x)x22x2a0，得x11，x21，因为x1(1,2)，因此则需1x22，即112，即412a9，所以a4，故实数a的取值范围为.法二：f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a4，故实数a的取值范围为.答案：5(2019海门实验中学测试)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx_.解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.因为x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.答案：6(2019扬州调研)已知函数f(x)ln x(m0)在区间1，e上取得最小值4，则m_.解析：f(x).令f(x)0，得xm，且当xm时，f(x)0，f(x)单调递减，当xm时，f(x)0，f(x)单调递增若m1，即1m0时，f(x)minf(1)m1，不可能等于4；若1me，即em1时，f(x)minf(m)ln(m)1，令ln(m)14，得me3e，1)；若me，即me时，f(x)minf(e)1，令14，得m3e，符合题意综上所述，m3e.答案：3e7(2018海安高级中学期末)已知三次函数f(x)在x0处取得极值0，在x1处取得极值1，若存在两个不同实数x1，x2(k，k1)，使得f(x1)f(x2)0，则实数k的取值范围是_解析：设三次函数f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc.f(x)在x0处取得极值0，在x1处取得极值1.f(x)2x33x2，f(x)6x26x，由f(x)0，得0x1；由f(x)0，得x1或x0，函数f(x)在(，0)，(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且f(0)0，f0，作出函数f(x)的图象如图所示结合图象可得kk1，实数k的取值范围是.答案：8已知yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，且f(x)ln x1，则函数f(x)的最小值为_解析：因为f(x)ln x1，设f(x)xln xC，又因为f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，故切点为(1,0)，又切点在曲线f(x)xln xC上，故C0，f(x)xln x，令f(x)ln x10，解得x，令f(x)0，解得0x，所以f(x)在区间上单调递减，在上单调递增，故当x时，函数f(x)取得最小值，所以f(x)minf.答案：9(2018南京、盐城二模)已知函数f(x)x(ex2)，g(x)xln xk，kR，e为自然对数的底数记函数F(x)f(x)g(x)(1)求函数yf(x)2x的极小值；(2)若F(x)0的解集为(0，)，求k的取值范围解：(1)yf(x)2xxex，由y(1x)ex0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，)y0y极小值所以当x1时，y取得极小值.(2)F(x)f(x)g(x)xexxln xk，F(x)(x1)，设h(x)ex(x0)，则h(x)ex0恒成立，所以函数h(x)在(0，)上单调递增又h20，h(1)e10，且h(x)的图象在(0，)上不间断，因此h(x)在(0，)上存在唯一的零点x0且e.当x(0，x0)时，h(x)0，即F(x)0；当x(x0，)时，h(x)0，即F(x)0，所以F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故当xx0时，函数F(x)取极小值，也是最小值，为F(x0)x0ex0ln x0k1x0ln k1k.因为F(x)0的解集为(0，)，所以1k0，即k1.故k的取值范围是(1，)10(2019启东高三联考)已知函数f(x)x，其中a0，函数f(x)的导数为f(x)(1)求函数f(x)在区间(1，e上的值域；(2)若函数f(x)在(1，)上为单调减函数，求实数a的最大值；(3)若存在x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)1成立，求实数a的取值范围解：(1)由已知，得f(x)1，因为x(1，e，a0，所以f(x)0，所以函数f(x)在(1，e上为单调减函数，所以f(x)minf(e)aee，所以函数f(x)在区间(1，e上的值域为aee，)(2)因为函数f(x)在(1，)上为单调减函数，所以f(x)10在(1，)上恒成立，只需f(x)max0，又因为a0，f(x)a21，所以当，即xe2时，f(x)max10，所以a4，故实数a的最大值为4.(3)“存在x1，x2e，