高考数学第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系教案理苏教版.docx

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr2圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|小题体验1(2019徐州调研)已知圆x2y2r2与圆x2y26x8y110相内切，则正数r的值为_解析：圆x2y26x8y110的标准方程为(x3)2(y4)236，圆心为(3,4)，半径为6，圆x2y2r2的圆心为(0,0)，半径为r，则圆心距d5.若两圆内切，则|r6|5，得r65或r65，即r11或1.答案：1或112直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则AB_.解析：由x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r，又圆心(1,2)到直线3xy60的距离为d，由2r2d2，得AB2410，即AB.答案：3若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围为_解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以，即|a1|2，解得3a1.答案：3,14若圆x2y24与圆x2y22mxm210相外切，则实数m_.解析：将圆x2y22mxm210化成标准方程，得(xm)2y21，圆心为(m,0)，半径r11，圆x2y24的圆心为(0,0)，半径r22.由两圆相外切，得|m|r1r23，解得m3.答案：31对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形小题纠偏1过点(2,3)与圆(x1)2y21相切的直线的方程为_解析：若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为yk(x2)3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k，所以切线方程为4x3y10，若切线的斜率不存在，则切线方程为x2，也是圆的切线，所以直线方程为4x3y10或x2.答案：x2或4x3y102若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则常数a_.答案：2或0题组练透1(易错题)(2018苏北四市调研)直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70的位置关系是_解析：法一：x2y22x2y70化为圆的标准方程为(x1)2(y1)29，故圆心坐标为(1，1)，半径r3，圆心到直线的距离d.再根据r2d29，而7a24a70的判别式161961800，故有r2d2，即dr，故直线与圆相交法二：由(a1)x(a1)y2a0(aR)整理得xya(xy2)0，则由解得x1，y1，即直线(a1)x(a1)y2a0(aR)过定点(1，1)，又(1)2(1)22(1)2(1)750，则点(1，1)在圆x2y22x2y70的内部，故直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70相交答案：相交2(2019南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是_解析：因为ABC为直角三角形，所以BCACr4，所以圆心C到直线AB的距离为2，从而有2，解得a1.答案：1 3(2018苏州高三暑假测试)已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x2y24x2yt0上仅有两个不同的点P，使得PAB的面积为，则实数t的取值范围是_解析：由题可得AB，若PAB的面积为，则点P到直线AB的距离为，圆x2y24x2yt0的标准方程为(x2)2(y1)25t，圆心到直线AB的距离为，所以，解得t.答案：谨记通法判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系这种方法的特点是计算量较小(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法锁定考向与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：(1)求圆的切线方程(切线长)；(2)求弦长；(3)由弦长或切线问题求参数 题点全练角度一：求圆的切线方程(切线长)1已知圆的方程为x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为_解析：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为ykx，则1，所以k1，故所求切线方程为yx或yx.答案：yx或yx角度二：求弦长2若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为_解析：因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为.答案：角度三：由弦长或切线问题求参数3(2018苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x1)2(y2)25相切，且与直线axy10垂直，则实数a_.解析：因为点M在圆上，所以切线方程为(11)(x1)(12)(y2)5，即2xy10，所以2a10，即a.答案：4已知圆C：(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等，则b_.解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，CACB可知，圆心C(1,2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是1，解得b.答案：通法在握1圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.提醒若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0xy0yr2.2弦长的2种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.演练冲关1(2019启东检测)已知点P是直线yx上一个动点，过点P作圆(x2)2(y2)21的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为_解析：圆心C(2,2)，半径r1，则切线长PT.要使PT最小，只需PC最小即可，此时CP垂直于直线yx，则C到直线xy0的距离d2，此时PT，故线段PT长度的最小值为.答案：2过原点且与直线xy10平行的直线l被圆x2(y)27所截得的弦长为_解析：由题意可得l的方程为xy0，因为圆心(0，)到l的距离d1，所以所求弦长l222.答案：23已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，得a.当a，即A(1，)时，切线的斜率为，故切线方程为y(x1)，即xy40，当a，即A(1，)时，切线的斜率为，故切线的方程为y(x1)，即xy40.所以a时，切线方程为xy40，a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb，由于直线过点A，所以1ab，所以直线方程为xy1a，即xya10.又直线与圆相切，所以d2，所以a21.所以切线方程为xy20或xy20.典例引领1(2019常州调研)若圆O：x2y210与圆M：(xa)2y290(a0)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：由题意得，O(0,0)，r1，M(a,0)，r23，2|a|4.OAMA，在RtAOM中，根据勾股定理，得OM2OA2MA2，即a2()2(3)2100，a10或a10(不合题意，舍去)，则线段AB的长度为6.答案：62(2018南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2y21，动圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_解析：由题意得圆心M(a，a4)在直线xy40上运动，所以动圆M是圆心在直线xy40上，半径为1的圆又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使APB60，所以OP2，即点P也在x2y24上，于是2121，即13，解得2a2，故实数a的取值范围是.答案：由题悟法圆与圆位置关系问题的解题策略(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到即时应用 1.已知圆x2y29与圆x2y24x2y30相交于A，B两点，则线段AB的长为_解析：由题意，两圆的公共弦为2xy30，圆x2y29的圆心坐标为(0,0)，半径为3，圆心到直线的距离d，线段AB的长为2.答案：2(2019镇江模拟)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m_.解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m25)从而C1C25.由两圆外切，得C1C2r1r2，即15，解得m9.答案：9一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018扬州期末)已知直线l：xy20与圆C：x2y24交于A，B两点，则弦AB的长为_解析：圆心C(0,0)到直线l的距离d1，所以AB22，故弦AB的长为2.答案：22(2019南京调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y0与圆(x3)2(y1)225相交于A，B两点，则线段AB的长为_解析：圆(x3)2(y1)225的圆心坐标为(3,1)，半径为5.圆心(3,1)到直线x2y0的距离d，线段AB的长为224.答案：43设圆(x3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于2，则圆半径r的取值范围为_解析：圆(x3)2(y5)2r2(r0)的圆心坐标为(3，5)，半径为r，圆心(3，5)到直线4x3y20的距离d5，圆(x3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于2，|r5|2，解得3r7.答案：(3,7)4(2018苏锡常镇调研)若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点，则实数m的取值范围是_解析：圆的标准方程为(x1)2(y2)21，故圆心到直线的距离d1.即|m5|5，解得0m10.答案：0,105在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y26x50的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB2，则SABC_.解析：圆C：x2y26x50化为标准方程得(x3)2y24，圆心为(3,0)，半径为2.点A，B在圆C上，且AB2，圆心(3,0)到直线AB的距离为1，SABC21.答案：6若圆x2y2mx0与直线y1相切，其圆心在y轴的左侧，则m_.解析：圆的标准方程为2y22，圆心到直线y1的距离|0(1)|，解得m，因为圆心在y轴的左侧，所以m.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线 xy20的距离为1，则满足条件的点A的个数为_解析：如图，作出直线xy20，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，原点O到直线xy20的距离为1，在直线xy20的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线xy20的距离为1，过原点作直线xy20的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线xy20的距离为1.故满足条件的点A共3个答案：32(2018苏州调研)两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线xy0上， 则mc_.解析：由题意可知线段AB的中点在直线xy0上，代入得mc3.答案：33(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(2,0)的直线与圆x2y21相切于点T，与圆(xa)2(y)23相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_解析：因为PT与圆x2y21相切于点T，所以在RtOPT中，OT1，OP2， OTP，从而OPT，PT，故直线PT的方程为xy20，因为直线PT截圆(xa)2(y)23得弦长RS，设圆心到直线的距离为d，则d，又2，即d，即|a32|3，解得a8或a2或a4，因为a0，所以a4.答案：44(2018无锡模拟)已知圆C：(x2)2y24，线段EF在直线l：yx1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得0，则线段EF长度的最大值是_解析：由0得APB90，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当APB90时， MPN90，sinMPCsin 45，所以PC2.另当过点P，C的直线与直线l：yx1垂直时，PCmin，以C为圆心，CP2为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax2.答案：5(2019镇江调研)若圆O：x2y25与圆O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：如图，因为圆O1与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1AOA. 又因为OA，O1A2，所以OO15.又A，B关于OO1对称，所以AB为RtOAO1斜边上高的2倍由OAO1AOO1AC，得AC2.所以AB4.答案：4 6(2018淮阴期末)圆C1：x2y22axa240和圆C2：x2y22byb210相内切，若a，bR，且ab0，则的最小值为_解析：由题意，两圆的标准方程分别为 (xa)2y24，x2(yb)21，圆心分别为(a,0)，(0，b)，半径分别为2和1.两圆相内切，1，a2b21，(a2b2)5549，当且仅当，即a2，b2时等号成立故的最小值为9.答案：97(2018苏北四市期末)已知A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，则|的取值范围为_解析：如图，因为A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，所以线段AB的中点H在圆O：x2y2上，且|2|.因为点P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，所以5|5，即|，所以72|13，从而|的取值范围为7,13答案：7,13 8(2019淮安模拟)已知圆O：x2y21.若直线yx2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为_解析：圆O的圆心为O(0,0)，半径r1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有POr，圆心O到直线yx2的距离小于或等于PO，即，即1k2，解得k1，实数k的最小值为1.答案：19已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.所以C(1，2)，半径r|AC|.所以圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，所以直线l的方程为yx.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1，0)，B(1,2)(1)若直线lAB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由解：(1)圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24.因为|22|22，所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以点P的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019苏州调研)过曲线y2|xa|xa上的点P向圆O：x2y21作两条切线PA，PB，切点为A，B，且APB60，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是_解析：根据题意，若经过点P作圆O：x2y21的两条切线，切点为A，B，且APB60，则OPA30，所以PO2AO2，故点P的轨迹方程为x2y24.y2|xa|xa当xa时，曲线为xya0，当xa时，曲线为3xy3a0.故当a0时，若这样的点P有且只有两个，必有2，即2，解得a，即a0；当a0时，曲线为y2|x|x符合题意；当a0时，若这样的点P有且只有两个，必有2，解得a2，即0a2，综上，实数a的取值范围是.答案：2(2018苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2y25交于A，B两点，其中点A在第一象限，且2，则直线l的方程为_解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：yk(x1)由2，可设BM2t，MAt，如图，过原点O作OHl于点H，则BH.设OHd，在RtOBH中，d22r25，在RtOMH中，d22OM21，解得d2.所以d2，解得k1或k1，因为点A在第一象限，2，由图知k1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x11，y1)，(1x2，y2)因为2，所以即又xy5，所以(2x13)24y5，联立解得x12，代入可得y11，又点A在第一象限，故A(2,1)，所以直线l的方程为yx1，即xy10.答案：xy103已知圆C1：(x1)2y21和圆C2：(x4)2y24.(1)过点C1作圆C2的切线，求该切线方程；(2)过圆心C1作倾斜角为的直线l交圆C2于A，B两点，且A为C1B的中点，求sin ；(3)过点P(m,1)引圆C2的两条割线l1和l2.直线l1和l2被圆C2截得的弦的中点分别为M，N，试问过点P，M，N，C2的圆是否过定点(异于点C2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为yk(x1)，由题意得2，解得k，所以所求直线方程为y(x1)，即2xy20.(2)设直线l的方程为yk(x1)，则圆心C2到直线l的距离d，设AB的中点为R，则ARABC1R，解得d2.在RtC1RC2中，sin .(3)依题意，过点P，M，N，C2的圆即为以PC2为直径的圆，所以(x4)(xm)(y1)(y0)0，即x2(m4)x4my2y0，整理成关于实数m的等式(4x)mx24xy2y0恒成立，则所以或(舍去)即存在定点(4,1)命题点一直线与方程、两条直线的位置关系1.(2017北京高考)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_解析：依题意，x2y2可视为原点到线段xy10(x0，y0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2y2)min2，(x2y2)max|OA|2|OB|21，故x2y2.答案：2(2015山东高考改编)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_解析：由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k.答案：或3(2016上海高考)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1与l2的距离是_解析：由两平行线间的距离公式得d.答案：命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系1(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(12x，y)(x,6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1答案：5，12(2018全国卷改编)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是_解析：设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6答案：2,63(2018北京高考改编)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ，sin )到直线xmy20的距离，当，m变化时，d的最大值为_解析：由题知点P(cos ，sin )是单位圆x2y21上的动点，所以点P到直线xmy20的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离又直线xmy20恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线xmy20的距离的最大值为2，所以点P到直线xmy20的距离的最大值为3，即d的最大值为3.答案：34(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x