电磁场与电磁波理论第1章.ppt

电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,第1章 矢量分析与场论,1.1 矢量的代数运算 1.2 场的微分运算 1.3 矢量的恒等式和基本定理 1.4 常用正交曲线坐标系,三种常用的正交坐标系,物理量的分类,主要内容,基本要求,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,主要内容,电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念。此外，有很多物理量都是矢量，一些用来描述电磁现象基本规律的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程。因此，矢量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础。本章仅讨论在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容，包括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理。最后，还给出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这三种坐标系中的表示式。,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,基本要求,掌握矢量和场的基本概念； 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度以及拉普拉斯运算； 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 几点说明,三种常用的正交坐标系,电磁场与电磁波理论,直角坐标系,第1章 矢量分析与场论,直角坐标系的坐标 直角坐标系的方向矢量,电磁场与电磁波理论,圆柱坐标系,第1章 矢量分析与场论,圆柱坐标系的坐标 圆柱坐标系的方向矢量,电磁场与电磁波理论,球面坐标系,第1章 矢量分析与场论,球面坐标系的坐标 球面坐标系的方向矢量,电磁场与电磁波理论,几点说明： 广义坐标系 （方向单位矢量） 广义柱坐标系 （方向单位矢量） 不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。 线积分 或 、面积分 或 和体积分 。 不随位置坐标而改变。 随着位置坐标的改变而改变。 三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）。,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.1 矢量的代数运算,第1章 矢量分析与场论,1.1.1 矢量与矢量的表示法 1.1.2 矢量的代数运算,电磁场与电磁波理论,1.1.1 矢量与矢量的表示法,1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.矢量与单位矢量,（1.1.1）,单位矢量模等于1的矢量叫做单位矢量。,（1.1.2）,矢量在三维空间中的一根有方向的线段。 该线段的长度 代表该矢量的模， 该线段的方向 代表该矢量的方向,第1章 矢量分析与场论,矢量的大小 矢量的方向的单位矢量,矢量的三个分量，即矢量在三个坐标上的投影,电磁场与电磁波理论,在直角坐标系中矢量的表示,（1.1.3）,（1.1.4）,第1章 矢量分析与场论,2.矢量表示法,电磁场与电磁波理论,矢量的方向余弦 矢量的方向的单位矢量,第1章 矢量分析与场论,矢量与三个坐标轴之间的夹角。,（1.1.5）,一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴的夹角。,2.矢量表示法,电磁场与电磁波理论,例如：在直角坐标系中有一个矢量 矢量的大小 矢量的方向 与三个坐标轴的夹角,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,场点,源点,场点矢径（位置矢量）,源点矢径（位置矢量）,第1章 矢量分析与场论,3. 位置矢量与距离矢量,电磁场与电磁波理论,位置矢量由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。 场点 源点,第1章 矢量分析与场论,3. 位置矢量与距离矢量,电磁场与电磁波理论,距离矢量由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。 距离 距离的方向矢量,（1.1.13）,第1章 矢量分析与场论,3. 位置矢量与距离矢量,（1.1.15）,电磁场与电磁波理论,1.1.2 矢量的代数运算,第1章 矢量分析与场论,矢量与矢量相等 1. 矢量与标量的乘积 2. 矢量加法和减法 3. 矢量的标量积和矢量积 直角坐标系中矢量的代数运算,电磁场与电磁波理论,矢量与矢量相等,一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,1. 矢量与标量的乘积,（1.1.18）,（1.1.19）,负矢量与原矢量大小相等，方向相反的矢量。,已给矢量 与标量 ，若矢量 的各分量分别等于矢量 的相应分量与标量 的乘积，则矢量 称为矢量 与标量 的乘积，记为 或 。 在直角坐标系下,电磁场与电磁波理论,（1.1.20）,（1.1.21）,第1章 矢量分析与场论,2.矢量加法和减法,电磁场与电磁波理论,矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。,第1章 矢量分析与场论,2.矢量加法和减法,电磁场与电磁波理论,直角坐标系中矢量加法和减法,只有矢量和矢量之间才能进行相加减。,（1.1.24）,（1.1.25）,第1章 矢量分析与场论,2.矢量加法和减法,电磁场与电磁波理论,矢量的标量积 矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算,第1章 矢量分析与场论,3.矢量的标量积和矢量积,电磁场与电磁波理论,矢量的标量积 （ the dot product）,两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量 之间夹角的余弦三者的乘积。,（1.1.26）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,标量积满足交换律和分配律。,第1章 矢量分析与场论,矢量的标量积,电磁场与电磁波理论,矢量的矢量积 （the cross product）,两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。,（1.1.29）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,矢量积只满足分配律，不满足交换律。,第1章 矢量分析与场论,矢量的矢量积,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,“右手法则”和“右手螺旋法则”,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,标量积和矢量积的特点,若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o ，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积； 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直； 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。,电磁场与电磁波理论,标量积和矢量积在直角坐标系中的计算,（1.1.33）,（1.1.35）,第1章 矢量分析与场论,标量积和矢量积在直角坐标系中的计算可以利用分配率以及单位矢量的关系直接计算,电磁场与电磁波理论,1.2 场的微分运算,1.2.1 场的基本概念 1.2.2 标量场的方向导数和梯度 1.2.3 矢量场的通量和散度 1.2.4 矢量场的环量和旋度,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.2.1 场的基本概念,第1章 矢量分析与场论,若某空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场或函数。 若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场或标量函数。例如，一幢建筑物内的温度分布、一个区域内的电位分布等等。 若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场或矢量函数。例如，某河流区段内水流的速度分布、一个区域内电场强度的分布等等。 若标量场中各点标量值的大小都相同，则称场中的物理量是常数； 若矢量场中各点矢量的大小和方向都相同，则称场中的物理量为常矢。 若场中的物理量在各点所对应的值不随时间而变化，则这个场称为静态场或恒定场；否则，就称为时变场。,电磁场与电磁波理论,标量场的等值面函数均取相同值的曲面。例如，静电场中的等位面。,在三维空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。 空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。 但是对于同一个常数值 ，可以有多个互不相交的等值面。 如果是在二维空间，函数均取相同值的点构成就是一条条的等值线，例如山体的等高线就是一种常用的等值线。,第1章 矢量分析与场论,1.2.1 场的基本概念,电磁场与电磁波理论,矢量场的矢量线（通量线）一系列有方向曲线。线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。,一般来说，矢量场中的每一点均有一条矢量线通过，所以矢量线是充满了整个矢量场所在的空间。 矢量线可以汇聚于某一点，但是不能相互交叉。 矢量场的矢量线所满足的微分方程 通常画的是矢量线的示意图,第1章 矢量分析与场论,1.2.1 场的基本概念,电磁场与电磁波理论,1.2.2 标量场的方向导数和梯度,第1章 矢量分析与场论,1. 标量场的方向导数 2. 标量场的梯度 3. 梯度的基本公式 例1.2.1,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,1. 标量场的方向导数,（1.2.1）,其中,方向导数空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即,电磁场与电磁波理论,根据求导法则，方向导数可以表示成,（1.2.2）,第1章 矢量分析与场论,方向余弦 该方向上的单位矢量,（1.2.3）,1. 标量场的方向导数,电磁场与电磁波理论,对比两个矢量的标量积,（1.1.36）,第1章 矢量分析与场论,方向导数的另一种表示形式,1. 标量场的方向导数,标量函数 在空间给定点沿 方向的方向导数等于该点的梯度矢量 在该方向上的投影 。,电磁场与电磁波理论,2. 标量场的梯度（gradient）,（1.2.5）,（1.2.6）,第1章 矢量分析与场论,标量场 的梯度 大小等于标量函数在该点的最大方向的导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。,梯度的表示哈密顿（Hamilton）算子 （读作del）,电磁场与电磁波理论,直角坐标系中的哈密顿算子,（1.2.7）,直角坐标系中的梯度表示式,（1.2.8）,第1章 矢量分析与场论,2. 标量场的梯度,算子 具有类似于矢量和微分的性质，通常称其矢量微分算子。,电磁场与电磁波理论,3. 梯度的基本公式,（1.2.9）,（1.2.10）,（1.2.11）,（1.2.12）,（1.2.13）,其中， 为常数； ， 为标量函数。,第1章 矢量分析与场论,例1.2.1 试证明：（1） ；（2） 。 式中， 和 分别表示对场点坐标和源点坐标的哈密顿算子。,电磁场与电磁波理论,证明：（1）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,（2）依梯度的基本公式,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.2.3 矢量场的通量和散度,1. 矢量场的通量 (flux) 2. 矢量场的散度(divergence) 3.直角坐标系中的散度表示式 4.散度的基本公式 例1.2.2,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1. 矢量场的通量 (flux),（1.2.16）,（1.2.17）,第1章 矢量分析与场论,通量线或矢量线 一系列有方向的曲线，该线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场的大小。 通量 矢量场穿过曲面 的通量线的总数，它可表示为矢量沿该曲面 的面积分。,电磁场与电磁波理论,几点说明 开口曲面的正法线方向需要事先设定。通量的正、负与面积元矢量的方向选取有关。 闭合曲面的正法线方向规定为由的内部指向外部，即外法线方向。 通量可以用来描述矢量场在空间的分布。借助于通量的概念，矢量又称为通量密度。例如，电位移也常常称为电通量密度。 发出通量线的点称为“源”，吸收通量线的点称为“沟”。例如，静电场中的正电荷是发出电力线的“源”，负电荷是吸收电力线的“沟”。 穿过整个闭合曲面的总通量等于“源”发出的通量线减去“沟”吸收的通量线。,第1章 矢量分析与场论,1. 矢量场的通量 (flux),电磁场与电磁波理论,2. 矢量场的散度(divergence),（1.2.18）,一个矢量场的散度是一个标量，可理解为穿过包围单位体积的闭合表面的通量。因此，人们也习惯地将散度称为通量源密度。,第1章 矢量分析与场论,通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。 矢量场的散度 矢量穿过闭合曲面的通量与 该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。,电磁场与电磁波理论,三种典型的散度值,对静电场而言，在有电荷存在的点上，散度不为零。并且散度大于零处具有正电荷，散度小于零处具有负电荷。而对恒定磁场而言，因为不存在磁荷，散度必处处为零。,第1章 矢量分析与场论,2. 矢量场的散度(divergence),电磁场与电磁波理论,3. 直角坐标系中的散度表示式,（1.2.22）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,4. 散度的基本公式,第1章 矢量分析与场论,例1.2.2 设 表示空间两点 与 之间 距离，试求 。,电磁场与电磁波理论,解：,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,值得提醒注意的一点是：在上述计算中，需假设距离 不等于零。否则，函数 将出现奇异点。在第3章讨论 镜像法时（3.7节）将会证明：,（1.2.27）,（1.2.28）,但是,即,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.2.4. 矢量场的环量和旋度,1. 矢量场的环量（circulation） 2. 矢量场的旋度（rotation或curl） 3. 直角坐标系中的旋度表示式 4. 旋度的基本公式 例1.2.3,第1章 矢量分析与场论,环量 矢量场沿空间一条闭合曲线的线积分。,电磁场与电磁波理论,1. 矢量场的环量（circulation）,（1.2.29）,矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,旋度在某一方向上的投影,矢量场的旋度 或 大小等于该点最大的环量密度，方向为取得最大环量密度的那块小面积的法线方向。,2. 矢量场的旋度（rotation或curl）,（1.2.30）,第1章 矢量分析与场论,环量密度矢量沿闭合曲线的环量与小面积之比的极限，其大小与矢量的分布和闭合曲线的方向有关。,电磁场与电磁波理论,第1章 矢量分析与场论,不同闭合路径位置情况下的环量,2. 矢量场的旋度（rotation或curl）,电磁场与电磁波理论,3. 直角坐标系中的旋度表示式,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,（1.2.34）,（1.2.35）,第1章 矢量分析与场论,3. 直角坐标系中的旋度表示式,电磁场与电磁波理论,4. 旋度的基本公式,第1章 矢量分析与场论,例1.2.3 试证明： 。,电磁场与电磁波理论,证明：,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.2.5 梯度、散度、旋度的比较,第1章 矢量分析与场论,表1.2.1 梯度、散度、旋度的比较 梯度、散度、旋度的特点 矢量场的“源” 有源场和无源场,电磁场与电磁波理论,表1.2.1 梯度、散度、旋度的比较,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向； 一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系； 一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系； 只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。,第1章 矢量分析与场论,梯度、散度、旋度的特点,电磁场与电磁波理论,矢量场的“源”有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。 若要使一个矢量场是非零场，则必须存在产生这种场的一种源。 一个非零的矢量场不可能既是无源场（通量源）又是无旋场（旋涡源）。,第1章 矢量分析与场论,矢量场的“源”,电磁场与电磁波理论,若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，则该矢量场称为无源场（例如：恒定磁场）。 若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，则该矢量场称为无旋场（例如：静电场）。 存在通量源的矢量场称有源场。在源区，该矢量场的散度不为零；而在非源区，该矢量场的散度仍然可以为零。 存在旋涡源的矢量场称为有旋场，但这个场的旋度仅在存在旋涡源的空间点上不为零，在其它的点上仍然可以为零。,第1章 矢量分析与场论,有源场和无源场,电磁场与电磁波理论,1.3 矢量的恒等式和基本定理,大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可以通过直接计算加以证明。为了简单起见，可以在直角坐标系中证明。对于其它的正交坐标系，也都是成立的。,1.3.1 三个重要的恒等式 1.3.2 矢量场的基本定理,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.3.1 三个重要的恒等式,第1章 矢量分析与场论,1. 三个重要的恒等式 2. 拉普拉斯（Laplace）算子 3. 恒等式的意义,电磁场与电磁波理论,1. 三个重要的恒等式,（1.3.1）,（1.3.2）,（1.3.3）,第1章 矢量分析与场论,（1.3.9）,电磁场与电磁波理论,拉普拉斯算子 直角坐标系中的拉普拉斯算子 直角坐标系中标量场的拉普拉斯运算,（1.3.4）,第1章 矢量分析与场论,2. 拉普拉斯（Laplace）算子,电磁场与电磁波理论,直角坐标系中矢量场的拉普拉斯运算 其中 对于其他坐标系,（1.3.9）,第1章 矢量分析与场论,2. 拉普拉斯（Laplace）算子,电磁场与电磁波理论,恒等式 的意义,任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。 任何一个梯度场（可以表示成某一标量函数的梯度的矢量场）必然为无旋场，而任何一个无旋场（旋度为零的矢量场）也必为有位场。例如静电场。,第1章 矢量分析与场论,3. 恒等式的意义,电磁场与电磁波理论,恒等式 的意义,任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。 任何一个旋度场（可以表示成某一矢量函数的旋度的矢量场）必为无源场，而任何一个无源场（散度为零的矢量场）必为有旋场。例如恒定磁场。,第1章 矢量分析与场论,3. 恒等式的意义,电磁场与电磁波理论,1.3.2 矢量场的基本定理,高斯（Gauss）散度定理 斯托克斯（Stokes）定理 格林（Green）第一定理或格林第一恒等式 格林（Green）第二定理或格林第二恒等式 唯一性定理 亥姆霍兹（Helmholtz）定理,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,高斯散度定理,证明：将体积分割成 N 个的小体积,（1.3.10）,第1章 矢量分析与场论,矢量场穿过空间任一闭合曲面的通量等于该矢量的散度在曲面所包围体积内的体积分。,电磁场与电磁波理论,斯托克斯定理,证明：将该曲面剖分为N 个小面积,（1.3.11）,第1章 矢量分析与场论,矢量场沿空间任一闭合曲线的环量等于该矢量场的旋度穿过以闭合曲线作为边界曲线的任一开放曲面的通量。,电磁场与电磁波理论,格林第一定理或格林第一恒等式,格林第一定理也可以利用（1.2.5）式改写成 这个定理可以通过令 ，利用高斯散度定理证明。,（1.3.13）,（1.3.12）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,格林第二定理也可借助方向导数改写成改写成 格林第二定理是由格林第一定理直接得到的。,格林第二定理或格林第二恒等式,（1.3.14）,（1.3.15）,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,证明：采用反证法。假设同时存在两个矢量场 和 。它们具有相同的散度和旋度以及边界条件，即,令 ， 则有,若在区域 内矢量场 的散度 、旋度 以及在边界面 上的切向分量 （或法向分量 ）已经给定，则矢量场在该区域内的解是唯一的。,利用矢量恒等式和格林定理，可以证明要满足上述两式，必有,由此得证。,第1章 矢量分析与场论,唯一性定理,电磁场与电磁波理论,亥姆霍兹定理,（1.3.24）,第1章 矢量分析与场论,空间有限区域 内的任一矢量场 均可以表示为一个无源场 （ 即 或 ）和一个无旋场 （即 或 ）之和， 即,电磁场与电磁波理论,亥姆霍兹定理的一个特例 空间区域为无限大，而场源却分布在一个有限的区域内,（1.3.27）,则有,（1.3.28）,在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将其定量地确定下来。既无源又无旋的场是不存在的。,第1章 矢量分析与场论,在这种情况下，如果假设矢量场在无限远处以足够快的速度减弱至零，即,电磁场与电磁波理论,1.4 常用正交曲线坐标系,正交曲线坐标系以及种类 1.4.1 三种常用的正交坐标系 1.4.2 三种常用坐标系的转换 1.4.3 三种坐标系中的 梯度、散度、旋度和拉普拉斯展开式,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,正交曲线坐标系以及种类,正交曲线坐标系三个坐标面均为一般的曲面。任意两坐标面的交线为第三个坐标变量的坐标轴，它们一般为曲线。空间任一点有三个坐标轴通过，坐标轴上的单位矢量相互正交且符合右手螺旋法则 。这三个单位矢量的方向随空间点位置的不同而变化。 正交曲线坐标系的类型很多，已经出现的有 10 种以上。除了直角坐标系这种特殊的正交曲线坐标系以外，其它的还有圆柱、球面、椭圆柱、抛物柱等等正交曲线坐标系。常用的就是直角坐标系，圆柱坐标系和球面坐标系。,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,1.4.1 三种常用的正交坐标系,直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 三种常用坐标系中单位矢量的关系式,第1章 矢量分析与场论,直角坐标系的坐标 直角坐标系的方向矢量 直角坐标系中的标量场 直角坐标系中的矢量场,电磁场与电磁波理论,直角坐标系,第1章 矢量分析与场论,电磁场与电磁波理论,直角坐标系中的长度元、面积元和体积元,第1章 矢量分析与场论,（1.4. 1）,（1.4. 2）,（1.4. 3）,直角坐标系,圆柱坐标系的坐标 圆柱坐标系的方向矢量 圆柱坐标系