行列式定义性质与计算.ppt

2011-2012第二学期,线性代数,任课教师：孔德洲,部 门：信息学院,办公室：文理大楼 719 室,E-mail： ,线性代数课程是高等学校理工农科各专业学生的一门必修 的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其 是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为学生所必备 的基础理论知识和重要的数学工具。通过本课程的学习，要使 学生获得：,线性代数课程的性质与任务,第一章、行列式,第二章、向量与矩阵,第三章、线性方程组,第四章、矩阵的对角化与二次型的化简,等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为 学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。,矩阵,本章要求,1了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定 理计算行列式； 3会用克莱姆法则解低阶线性方程组.,本章重点,利用行列式的性质，计算行列式.,第一章 行列式,1.1 阶行列式的概念,1.2 行列式的性质与计算,1.3 克莱默法则,第一章 行列式,第一章 行列式,1.1 二三阶行列式,考虑用消元法解二元一次方程组,(a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21,(a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2,第1节 行列式的概念,用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得,同理，消去x1得,二阶行列式,为便于叙述和记忆， 引入符号,D =,D1 =,称D为二阶行列式.,按照二阶行列式定义可得,D2 =,于是，当D0时，方程组的解为,三阶行列式,求解三元方程组,用消元法解得,j = 1，2，3,类似引入符号,其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.,三阶行列式,求解三元方程组,称D为三阶行列式.,25431 是一个5级排列.,如，,3421 是4级排例；,例1写出所有的3级全排列.,解：所有的3级排列为：,321 .,312，,231，,213，,132，,123，,1.2 排列,n 个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序 数组称为一个 n 级排列，记为i1i2in.显然，n 级排列共有个n! .其 中，排列12n称为自然排列.,3 4 2 1,逆序数的计算方法(向前看法),从而得 (3421)=5.,逆序及逆序数,定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,计算逆序数时不要出现重算,一个逆序只能算一次.,1.1.2奇排列与偶排列,逆序及逆序数,定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,逆序数是奇数的排列，称为奇排列. 逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.,如 3421是奇排列，,1234是偶排列，,因为(3421)=5.,因为(1234)=0.,对换,把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.记为（i，j）,将相邻的两个数对换，称为邻换.,例如,邻换,（a，b）,（a，b）,定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,推论,时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，,各为,个.,(一次对换改变排列的奇偶性).,邻换,对换,证明思路：由特殊推一般,m次邻换,m+1次邻换,定义3 符号,称为n阶行列式，,元素ai j,列标,行标,1.3 n 阶行列式,n 阶行列式定义,行列式的行数与列数必须相同.,1.3 n 阶行列式,n 阶行列式定义,D =,D1 =,=,1) n 阶行列式共有n!项，正负项各占一半.,n 个元素的乘积.,(2) 在行列式中,项,是取自不同行不同列的,行列式有时简记为| a ij |.一阶行列式|a|就是a.,=,说明：,其中排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列.,总结：n 阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和.,a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,(-1)(4312) a14a23a31a42为行列式中的一项.,表示的代数和中有4!=24项.,a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312,所以它不是行列式中的一项.,中有两个取自第四列的元素，,(为奇排列)，,D =,行列式计算,解：根据行列式定义,例1计算2 阶行列式D =,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D = (-1)(1 2 n)a11a22a33 ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第 n 行只能取ann., ，,这样不为零的乘积项只有,a11a22a33 ann，,所以,= a11a22a33 ann.,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D = (-1)(n n-1 21) b1b2b3 bn,第一行只能取b1，,第n-1行只能,第二行只能取b2，,第 n 行只能取bn ., ，,这样不为零的乘积项只有,b1b2b3 bn，,所以,取bn-1，,副对角线的下三角形,下三角形行列式的值：,上三角形行列式的值：,对角形行列式的值：,结论：,副对角线的下 三角形行列式的值：,副对角线的上 三角形行列式的值：,副对角线的 对角形行列式的值：,结论：,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为 DT (Transpose)或D .即如果,2.1 行列式的性质,第2节 行列式的性质与计算,显然，( DT )T=D .,行列式的转置,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,证明：用定义式证明.,k,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.,推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D0.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列 式可以写成两个行列式之和.即,例,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行 (列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即,k,证明：,右边=,=左边,行列式的计算,方法：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：,2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；,3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,例1. 计算行列式,解：,= -85.,例2. 计算行列式,解：,例3. 计算行列式,解： 将各行都加到第一行，从第一行提取（x+（n-1