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课时跟踪检测(五十四) 破题上着眼4点找到解题突破口 1已知椭圆C经过点,且与椭圆E:y21有相同的焦点(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动直线l:ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x4交于点Q,问:以线段PQ为直径的圆是否经过一定点M?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)椭圆E的焦点为(1,0),设椭圆C的标准方程为1(ab0),则解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)联立消去y,得(34k2)x28kmx4m2120,所以64k2m24(34k2)(4m212)0,即m234k2.设P(xP,yP),则xP,yPkxPmm,即P.假设存在定点M(s,t)满足题意,因为Q(4,4km),则MP,MQ(4s,4kmt),所以MPMQ(4s)(4kmt)(1s)t(s24s3t2)0恒成立,故解得所以存在点M(1,0)符合题意2已知椭圆C:1(ab0)的短轴长为2,离心率为,点A(3,0),P是C上的动点,F为C的左焦点(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰ABP的顶点B在y轴上,求四边形FPAB面积的最小值解:(1)依题意得解得椭圆C的方程是1.(2)设P(x0,y0)(y0,y00,x00),线段AP的中点为M,则AP的中点M,直线AP的斜率为,由ABP是以AP为底边的等腰三角形,可得BMAP,直线AP的垂直平分线方程为y,令x0得B,1,B,F(2,0),四边形FPAB的面积S5,当且仅当2|y0|,即y0时等号成立,四边形FPAB面积的最小值为5.3椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围解:(1)将xc代入椭圆的方程1,得y.由题意知1,故a2b2.又e,则,即a2b,所以a2,b1,故椭圆C的方程为y21.(2)由PM是F1PF2的角平分线,可得,即.设点P(x0,y0)(2x02),又点F1(,0),F2(,0),M(m,0),则|PF1| 2x0,|PF2| 2x0.又|F1M|m|,|F2M|m|,且m,所以|F1M|m,|F2M|m.所以,化简得mx0,而2x02,因此m.故实数m的取值范围为.4(2018沈阳模拟)已知椭圆1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|6,直线ykx与椭圆交于A,B两点(1)若AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若k,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值;(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1(2,1),试求直线PB的斜率k2的取值范围解:(1)由题意得c3,根据2a2c16,得a5.结合a2b2c2,解得a225,b216.所以椭圆的标准方程为1.(2)由得x2a2b20.设A(x1,y1),B(x2,y2)所以x1x20,x1x2,由AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2BF2,因为(x13,y1),(x23,y2),所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28,所以有8,结合b29a2,解得a212,所以离心率e.(3)由(2)的结
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