高考数学一轮复习课时跟踪检测（十九）导数与函数的零点问题（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测(十九)导数与函数的零点问题1设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增f(x)的极小值为f(1)a2，极大值为f(1)a2.(2)方程f(x)0恰好有两个实数根，等价于直线ya与函数yx33x的图象有两个交点yx33x，y3x23.令y0，解得x1或x1；令y0，解得1x1.yx33x在(1,1)上为减函数，在(1，)和(，1)上为增函数当x1时，y极大值2；当x1时，y极小值2.yx33x的大致图象如图所示ya表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a2或a2时，ya与yx33x有两个交点故当a2或a2时，方程f(x)0恰好有两个实数根2(2019锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)exaxa，得f(x)exa.函数f(x)在x0处取得极值，f(0)e0a0，a1.f(x)exx1，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，f(x)在2,1上的最大值是3.(2)f(x)exa.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，且当x1时，f(x)exa(x1)0；当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，则xln(a)当x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(ln(a)，)时，f(x)0 ，f(x)单调递增，当xln(a)时，f(x)取得极小值，也是最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)3(2018郑州第一次质量预测)已知函数f(x)ln x(aR且a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x时，试判断函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数解：(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)当x时，函数g(x)(ln x1)exxm的零点个数，等价于方程(ln x1)exxm的根的个数令h(x)(ln x1)exx，则h(x)ex1.由(1)知当a1时，f(x)ln x1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，当x时，f(x)f(1)0.ln x10在x上恒成立 h(x)ex1010，h(x)(ln x1)exx在x上单调递增，h(x)minh2e，h(x)maxh(e)e.当m2e或 me时，函数g(x)在上没有零点；当2eme时，函数g(x)在上有一个零点4(2019益阳、湘潭调研)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x)1，f(e)1，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(e1)(xe)，即yx.(2)f(x)(x0)，当a0时，显然f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，则2ax2x10，易知0恒成立设方程的两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x20，x10x2，f(x)(x0)由f(x)0得x(0，x2)，由f(x)0得x(x2，)，其中x2，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(3)函数f(x)有两个零点，等价于方程a有两解令g(x)(x0)，则g(x).由g(x)0，得2ln xx1，解得0x1，g(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减，又当x1时，g(x)0，当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，作出函数g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当a(0,1)时符合题意下面给出证明：