吉林省四平一中2019届高三数学下学期第二次联合模拟考试试题（含解析）.docx

吉林省四平一中2019届高三数学下学期第二次联合模拟考试试题（含解析）(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可【详解】故选：B【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.设集合，则集合可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据集合交集中元素的特征，选择正确的结果.【详解】因为，所以当时，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.3.从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：身高 频数535302010有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.4.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e= .故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.5.若函数有最大值，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选：B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q0,当0时，解得故q的最大值为故选：D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.8.已知函数，则下列判断错误的是（ ）A. 为偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为 D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】【分析】化简f（x）1+2cos4x后，根据函数的性质可得【详解】f（x）1+cos（4x）sin（4x）1+2sin（4x）1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=0时，B正确；因为2cos4x的值域为 ，C正确；故D错误故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题9.已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（ ）A. 为定值B. 不是定值，且 C. 为定值D. 不是定值，且【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值.【详解】画出m0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线zx+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（1，2）时，z取得最小值，故k2为定值故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限记直线PA，PB的斜率分别为，当2+取得最小值时，PAB的重心坐标为A. (1，1)B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设A（，0），B（，0），P（x，y），得到2，利用基本不等式求解最值，得到P的坐标，进而得到PAB的重心坐标.【详解】解：设A（，0），B（，0），P（x，y）由题意，2，2+24，当且仅当2k1时取等号，此时1，PA的方程为yx+1，PB的方程为y2联立方程：，解得P重心坐标为故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题11.设为等差数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可.【详解】解得设当0x7时，,故的最小值为f(7)=-343.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.12.正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值【详解】解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），（），（），（2，2，2），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，即，取x4，得（4，3，1）设直线AC1与平面EFG所成角为，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sin|cos|故选：D【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13.的展开式的第项为_【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.14.在平行四边形中，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】先求再求进而求D即可【详解】由题,故D(6,1)故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题15.若函数则_【答案】6【解析】【分析】确定,再由对数的运算性质代入求值即可【详解】由题-故答案为6【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则_【答案】【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17.在中，.证明：为等腰三角形.若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c即可证明；由的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（1）证明：，设的内角的对边分别为，由余弦定理可得 即，则为等腰三角形.（2），则的面积 解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：以箱为基准，每多箱送箱；通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【答案】（1）；（2）选择方案更划算【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X184或188得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.40.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X184或188X的分布列为X184188P0.60.4则EX1840.6+1880.4185.6若选择方案，则购买总价的数学期望为185.6650120640元若选择方案，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200600120000元因为120640120000，所以选择方案更划算评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.60.4+0.42+0.620.76同样得分；第(2)问中，在方案直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价为X元，则X184650或188650X的分布列为X184650188650P0.60.4则EX1846500.6+1886500.4120640【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为正方形，ADBC，ADAB，AD=2BC=2(1)证明：平面ADEF平面ABF(2)若平面ADEF平面ABCD，二面角A-BC-E为30，三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，求异面直线OC与DF所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出ADAF，ADAB，AD平面ABF，由此能证明平面ADEF平面ABF；（2）推导出BC平面ABF，BCBF，再由BCAB，得二面角ABCE的平面角为ABF30，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DF所成角的余弦值【详解】(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以ADAF，又ADAB，ABAFA，所以AD平面ABF，因为，所以平面ADEF平面ABF(2)解：因为平面ADEF平面ABCD，ADAF，平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD由(1)知AD平面ABF，又ADBC，则BC平面ABF，从而BCBF，又BCAB，所以二面角A-BC-E的平面角为ABF30以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则因为三棱锥A-BDF的外接球的球心为O，所以O为线段BE的中点，则O的坐标为，又，则，故异面直线OC与DF所成角的余弦值为评分细则：第(2)问中，若未证明AF平面ABCD，直接建立空间直角坐标系，则扣1分【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.已知点是抛物线上一点，为的焦点（1）若，是上的两点，证明：，依次成等比数列.（2）过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于，(在的上方），求向量在轴正方向上的投影的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求，再利用等比数列定义证明即可（2）设直线的方程为，与联立，得，由，求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量在轴正方向上的投影为，求函数的范围即求得结果【详解】（1）证明：在抛物线上，.， ，依次成等比数列.(2)设直线的方程为，与联立，得则 ， 设 ，则，即在的上方，则.以代，得，则向量在轴正方向上的投影为，设函数，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故向量在轴正方向上的投影的取值范围为.【点睛】本题考查抛物线的简单性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，熟练运用定义，准确计算P,Q坐标，将在轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题.21.已知函数f(x)的导函数满足对恒成立(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)若在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定m的范围即可【详解】(1)由，得，则 ，故在(1，+)上单调递增(2)，即设函数，x1，1+lnx0，为增函数，则当2e+m0，即m-2e时，则h(x)在(1，+)上单调递增，从而h(x)h(1)0当2e+m0，即m-2e时，则，若1xx0，从而，这与h(x)0对恒成立矛盾，故m-2e不合题意综上，m的取值范围为-2e，+)评分细则：第(1