三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲理（含解析）.docx

专题20 不等式选讲1【2019年高考全国卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为，又，故有所以（2）因为为正数且，故有=24所以【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立2【2019年高考全国卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，当时，；当时，所以，不等式的解集为（2）因为，所以当，时，所以，的取值范围是【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型3【2019年高考全国卷理数】设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或【答案】（1）；（2）见详解【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=，时等号成立所以的最小值为（2）由于，故由已知，当且仅当，时等号成立因此的最小值为由题设知，解得或【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型4【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式【答案】【解析】当x0时，原不等式可化为，解得x2，即x时，原不等式可化为x+2x12，解得x1综上，原不等式的解集为【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力5【2018年高考全国卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，即故不等式的解集为（2）当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为6【2018年高考全国卷理数】设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，可得的解集为（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是7【2018年高考全国卷理数】设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值【答案】（1）图像见解析；（2）的最小值为【解析】（1）的图像如图所示（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为8【2018年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值【答案】的最小值为4【解析】由柯西不等式，得因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为49【2017年高考全国卷理数】已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，不等式等价于当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而所以的解集为（2）当时，所以的解集包含，等价于当时又在的最小值必为与之一，所以且，得所以的取值范围为【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，（此处设）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集（2）图像法：作出函数和的图像，结合图像求解10【2017年高考全国卷理数】已知证明：（1）；（2）【答案】（1）证明略；（2）证明略【解析】（1）（2）因为所以，因此【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法11【2017年高考全国卷理数】已知函数f（x）=x+1x2（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，无解；当时，由得，解得；当时，由解得所以的解集为（2）由得，而，且当时，故m的取值范围为【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想12【2017年高考江苏卷数学】已知为实数，且证明：【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得，因为，所以，因此【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a