线性代数复旦大学出版社练习题答案.doc

精品文档 线性代数复旦大学出版社练习题答案 习题一 1.2.3 4. 为偶数 故所求为 所求为397281564 5. 项前的符号位 项前的符号位 6. 原式= 7.8 9. 10. 从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 按第一列展开： 习题二 .5 6. 设 为与可交换的矩阵，则有 即 解之得 7. ， 记为 ，记为 即 8 9. 10. = 11. 反之 若 , 则 ,即 12. 设 又 又 当 时，有 设 ， 则 当 时，有 故即 13. 为对称矩阵 同理 也为对称矩阵 为对称矩阵 又 为反对称矩阵 由知，为对称矩阵，为反对称矩阵 故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。 14. 必要性： 充分性： 必要性： 充分性： 必要性 ： 即 充分性： 15 16. 可逆。 且 17. 可逆，且 18. 19. ,若 可逆，则 故 可逆，且 20.设 ，是对称矩阵 记 ，则 ，即为对称矩阵，又 , 为对称矩阵。 21.设 ，则 又 于是 即 于是 可逆 22. 23.4. 25. 可逆，且 26. 又 , , 27 28. 又 故 29. 30. 31. 32. 33. 习题三 5. 不能由线性表示 线性方程组 无解 不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使 从而 此式与方程组无解矛盾。 故 不能由的任何部分组线性表示 6. 依题意 所以 即 7. 令 可逆，于是 即 8 9.当即当 或时，线性相关 否则 线性无关。 10 .设 则 即 故 线性无关。 设 则 线性无关 解之得 11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示； 另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为 向量组 与向量组等价。 12. 一方面 可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组，从而可以由线性表示. 故 13.设是向量组中任意一个向量 可由线性表示 又 ， 线性无关 是的一个极大无关组。 14. 可由 线性表示，而也可由线性表示 从而 故 线性无关。 15.必要性：是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。 充分性： 任意维向量都可以由线性表示，基本单位向量组可由线性表示，故 从而线性无关。 线性代数第三、四章测验题 专业 _ 姓名 _ 学号 _ 一、填空题 ?x1?x2?3x3?0, 1 线性方程组?的基础解系是 。 2x?2x?6x?0,23?1 ?123? ? 2矩阵?456?的秩是 。 ?789? ?1?1? ?2 3向量组?2 ?3?3?4?4? 34?2?,13?1?, 的秩为2，则a? 。 ?12a?,?311? ?x1?x2?2x3?t,? 4已知方程组?3x1?x2?6x3?t?2,有无数个解，则t? 。 ?x?4x?11x?t?3, 23?1 5若向量组?1,?2,?3线性无关，且向量组a?1?2,b?2?3,c?3?1线性相关， 则a,b,c应满足的关系式是 。 二、选择题3?1? 1. 矩阵?2?4?6?的可能的最大秩是 。 ?02t? 0; 1;. 2. 设?1,?2,?,?m是一组n维向量，则下列结论正确的是。 如果存在m个全为零的数k1,k2,?,km使得k1?1?k2?2?km?m?0， 则?1,?2,?,?m线性无关； 若向量组?1,?2,?,?m线性相关，则?m可由其它向量线性表出; 向量组?1,?2,?,?m线性无关的充要条件是?1不能由其它m?1个向量线性表出; 若向量组?1,?2,?,?m不线性相关，则一定线性无关。 3. 设向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关，则 。 ?1必能由?2,?3,?4线性表出； ?2必能由?1,?3,?4线性表出； ?3必能由?1,?2,?4线性表出； ?4必能由?1,?2,?3线性表出。 4. 设?1,?2,?s和?1,?2,?t是两个n维的向量组，且两个向量组的秩 都为r，则 。 两个向量组等价； 向量组?1,?2,?s,?1,?2,?t的秩也是r； 当?1,?2,?s可由?1,?2,?t线性表出时，?1,?2,?t也可由?1,?2,?s线性表出； 当t?s时，两向量组等价。 ?1aa? ?a1a? 5. 设n阶方阵A?aa1? ? ?aaa? A 1 B a?a? a?，若A的秩为n?1，则a必为?1? 11 C -1 D 1?nn?1 6. 向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列线性无关的向量组是 ： ?1?2,?2?3,?3?4,?4?1 ?1?2,?2?3,?3?4,?4?1 ?1?2,?2?3,?3?4,?4?1 ?1?2,?2?3,?3?4,?4?1 7. 设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线性表示，则对任意常数k，必有： ?1,?2,?3,k?1?2线性无关； ?1,?2,?3,k?1?2线性相关； ?1,?2,?3,?1?k?2线性无关； ?1,?2,?3,?1?k?2线性相关。 8.已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则Ax?b的通解为： k1,k2为任意常数， ?1?2 2 ?k1?1?k2 ?1?2 2 ?k1?1?k2 ?1?2 2 ?k1?1?k2 ?1?2 2 ?k1?1?k2 对任意实数a,b,c,线性无关的向量组是 ,； ,； , , 三、解答题 1 设有向量组 ?1?,?2?,?3?,?4?,?5?， 求极大线性无关组。 2. ?取何值时，线性方程组 ?x1?x2?x3?1? ? x1?x2?x3? ? ?2x?x?x?2 23?1 有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求通解。 四、证明题 1 设?=x1?1?x2?2?xr?r则表示法唯一充要条件是：?1，?2，?，?r线性无关。 2.已知?1，?2，?，?r,?r?1,?,?n有相同的秩，证明?，?r与?1，?2， ?，?r,?r?1,?,?n等价。 ?1，?2，?，?r与?1，?2， 3 设?0,?1,?,?n?r是Ax?b的n?r?1个线性无关的解向量， rank?r，证明：?1?0,?2?0,?,?n?r?0是Ax?0的基础解系。 第一部分 选择题 一、单项选择题在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+nC. n-m.设矩阵 ? a11a21 a12a22 =m， 0?0?3? a13a23 a11a21 =n，则行列式 a11a21 a12?a13a22?a23 等于 020 B. - D. m-n ?1?A=?0 ?0 ，则A-1等于 ?1?0?0? ?0?0?1?3? 1300 0120 A. ?0?0?1?0?0?1?2? B. 0120 1300 010 C.D. ? 1200 0130 ?0?0?1? 3.设矩阵 ?3?A=?1 ?2 ?1012?1?4? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于的元素是 A. B.C. D. 2.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有A. A =0 B. B?C时A=0C. A?0时B=C D. |A|?0时B=C T 5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩等于A. 1 B.C. D. 6.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0B.有不全为0的数1，2，s使1+2+s=0C.有不全为0的数1，2，s使1+2+s=0D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ ss=0和11+22+ss=0.设矩阵A的秩为r，则A中A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是A.1+2是Ax=0的一个解 B. 12 1+ 12 2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解.设n阶方阵A不可逆，则必有 A.秩 A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值?a href=“http:/fanwen/shuoshuodaquan/” target=“_blank” class=“keylink”说奶卣飨蛄緽.如存在数和非零向量，使=0，则是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2， 3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关 11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有A. kB. k12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=AT D.A的行向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则A.A与B相似B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.? ?2?3 3?4?02?3 0?3?5? B.? ?3?24?6?120 1?0?2? ?1?C.?0?0 ?1?D.?1?1 第二部分 非选择题 二、填空题不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 1 1525 16?36 15. 39 1?1? ?1 3? ?1?24? 2 16.设A=? ?1?1?1 1 ，B=?.则A+2B17.设A=33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式,则2+2+218.设向量与向量线性相关，则19.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是mn矩阵，A的秩为r，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 . 21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积.2.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为. 23.设矩阵A= ?0?1?2 10?3106?3?8? ，已知= ?2?1?2? 是它的一个特征向量，则所对应的特征值 为. 24.设实二次型f的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题5.设 ?1?A=?3 ?1 242 0?0?1? ，B=? 110?53?0?3? ?2 3?1? ? ?240?1313 2?4?1?3 .求ABT；|4A|. 3 26.试计算行列式 ?521 . 27.设矩阵 ?4 ?A=?1 ?1 212 ，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ?1?3?2=?2?4?0623 2?6?3?4? ?3?0?3=?2?1? ?0?1?4=?4?9? 28.给定向量组 ?2?1?1=?0?3?24?13 ，. 试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。9.设矩阵 ?1?2A=? ?2?3 ?1203 . 求：秩； A的列向量组的一个最大线性无关组。 ?0? 30.设矩阵A=?2 ?2 ?2?34 2?4?3? 的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形 222 ?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3， f=x1 并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且-1=E+A+A2. 33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； 0，1，2线性无关。 答案： 一、单项选择题 1.D2.B3.B4.D5.C.D7.C8.A9.A10.B 11.A12.B13.D14.C 二、填空题 15. 16. ?3?1 3?3 7?7? 17. 18. 10 19. 1+c，c为任意常数0. n-r1. 22. 23. 1 2222?z2?z3?z24. z1 三、计算题 ?1? 25.解ABT=?3 ?1 ?8?=?18?3 242 0?2?0?3?1?16?10?10? ?2?4?0? . |4A|=43|A|=64|A|，而 1 242 00?21 |A|= 3?1 . 所以|4A|=64=-128 3 110?55 11?512?5 10?0 ?13131 2?4?1?3 ? 5?110?5 110?5 ?1313 1?100 26.解 ?521 = ?11?55 ?10 = ?6?5 ?6?5 2?5 ?30?10?40. 27.解 AB=A+2B即B=A，而 ?2 ? -1=?1 ?1 2?12 3?0?1? ?1 ?1?1?1?4?56 ?4?56?3?3?. ?4?212 3?0?3? 所以 ?1? B=-1A=?1 ?1?3?4?3?1?4?1 ?3?=?2?2 ?8?912?6?6?. ?9? 28.解一 ?2?1?0?3 1?324 302?10100010