2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值学案理（含解析）新人教A版.docx

第二节函数的单调性与最值2019考纲考题考情1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。3函数的最大值与最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。(2)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最小值。4函数单调性的两个等价结论设x1，x 2D(x1x 2)，则(1)0(或0)f(x)在D上单调递增。(2)0(或0)的递增区间为(，和，)；递减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数。6函数单调性常用结论函数单调性的常用结论1若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数。2若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0或f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_。解析这是一道开放性试题，答案不唯一。只要满足f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，且函数f(x)在0,2上不是增函数即可。如f(x)sinx，答案不唯一。答案f(x)sinx(答案不唯一)三、走出误区微提醒：单调性判断出错致误；对称轴讨论出错致误；不会结合函数的图象致误。5函数f(x)x在上的最大值是()ABC2 D2解析易知f(x)在上是减函数，所以f(x)maxf(2)2。故选A。答案A6如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，那么a的取值范围是_。解析二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2。答案(，27若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_。解析由图象(图略)易知函数f(x)|2xa|的单调递增区间是，令3，得a6。答案6考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2019山西晋城一模)已知函数f(x)loga(x22x3)(a0且a1)，若f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1。根据f(0)loga30，可得0a1，则本题即求函数g(x)在(3,1)内的单调递减区间。利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(3,1)内的单调递减区间为1,1)，故选C。答案C(2)解设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增。1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)。2(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法。(2)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则。【变式训练】(1)(2019辽宁师大附中模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是()AyxByexCy|x|Dyln|x|(2)判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的单调性。(1)解析因为yx是奇函数，yex是非奇非偶函数，yln|x|是偶函数，但是在区间(0,1)内单调递增，且由y|x|图象可知是偶函数，在区间(0,1)内单调递减。故选C。答案C(2)解设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1。又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。考点二函数的最值【例2】(1)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_。(2)已知函数f(x)则f(x)的最小值是_。解析(1)由于yx在R上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3。(2)当x1时，f(x)min0，当x1时，f(x)min26，当且仅当x时取到最小值，又260，易知f(x)在2，)上是减函数，所以f(x)maxf(2)12。(2)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示。易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1。解析：依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1。答案(1)2(2)1考点三函数单调性的应用微点小专题方向1：比较大小【例3】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1对称，所以aff。当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac。故选D。答案D比较函数值的大小，应将自变量转化到同一单调区间内，然后利用单调性解决。方向2：解不等式【例4】已知奇函数f(x)在x0时单调递增，且f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x2 Bx|x2Cx|x3 Dx|x1解析因为奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，所以函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，则1x1时，f(x)0；x1或0x1时，f(x)0即1x11，解得0x2。故选A。答案A利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域。方向3：求参数范围【例5】(2019江西南昌一模)设函数f(x)若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为()A1,2) B1,0C1,2 D1，)解析函数f(x)若x1，则f(x)x12，易知y2|xa|在(a，)上单调递增，在(，a)上单调递减，若a1，则f(x)在xa处取得最小值，不符合题意；若a1，则要使f(x)在x1处取得最小值，只需2a12，解得a2，所以1a2。综上可得a的取值范围是1,2。故选C。答案C1根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围。2若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的。【题点对应练】答案D2(方向2)已知函数f(x)lnx2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_。解析因为函数f(x)lnx2x在定义域上单调递增，且f(1)ln122，所以由f(x24)2得f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x1的x的取值范围是_。解析画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(，)上单调递增。又xx1，且x(x1)1，f(0)1，所以要使f(x)f(x1)1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x11，解得x0。故所求x的取值范围是(0，)。答案(0，)4(方向3)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_。解析作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4。答案(，14，)求函数最值的常用方法一、单调性法【典例1】函数f(x)的最大值为_。【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，即f(1)1；当x2时，yminf(a)a22。利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系。如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决。四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值。如可用三角代换解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题。【典例4】(1)函数f(x)x2的最大值为_。【解析】设t(t0)，所以x1t2。所以yf(x)x21t22tt22t1(t1)22。所以当t1即x0时，f(x)max2。【答案】2(2)求函数yx的值域。【解】换元法：由4x20，得2x2，所以设x2cos(0，)，则y2cos2cos2sin2cos，因为，所以cos，所以y2，2。换元法方式很多，常见的有常量代换和三角换元。五、数形结合法数形结合法