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第一节不等关系与不等式2019考纲考题考情1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0;(2)abab0;(3)abab0。2不等式的性质(1)对称性:abba。(双向性)(2)传递性:ab,bcac。(单向性)(3)可加性:abacbc。(双向性)(4)ab,cdacbd。(单向性)(5)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acbc。(6)ab0,cd0acbd。(单向性)(7)乘方法则:ab0anbn(nN,n1)。(单向性)(8)开方法则:ab0(nN,n2)。(单向性)(9)倒数性质:设ab0,则ab。(双向性)注意以下结论:1ab,ab0。2a0bb0,0c。40axb或axb0b0,m0,则(bm0);0)。一、走进教材1(必修5P74练习T3改编)若a,b都是实数,则“0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析0ab0a2b2,但由a2b20/ 0。故选A。答案A2(必修5P75A组T2改编)_(填“”“”或“”)。解析分母有理化有2,显然2,所以。答案b0,且ab1,则下列不等式成立的是()Aalog2(ab)Blog2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)axyz,若教师人数为4,则4yx8,当x7时,y取得最大值6。当z1时,1zyx2,不满足条件;当z2时,2zyx4,不满足条件;当z3时,3zyxb0,cd0BD.解析因为cd0,所以0dc,又0ba,bdac,又cd0,即。答案D6设a,bR,则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若a2且b1,则由不等式的同向可加性可得ab213,由不等式的同向同正可乘性可得ab212。即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件;反之,若“ab3且ab2”,则“a2且b1”不一定成立,如a6,b。所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件。故选A。答案A7若,则的取值范围是_。解析由,得aBacbCcbaDacb(2)若a,b,c,则()AabcBcbaCcabDba0,所以ba,所以cba。(2)易知a,b,c都是正数,log8164b;log6251 0241,所以bc。即cbe时,函数f(x)单调递减。因为e34f(4)f(5),即cba。答案(1)A(2)B比较大小的常用方法1作差法一般步骤:作差;变形;定号;结论。其中关键是变形,常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差。2作商法一般步骤:作商;变形;判断商与1的大小关系;结论。3函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系。【变式训练】(1)设a,b0,),A,B,则A,B的大小关系是()AABBABCAB(2)若a1816,b1618,则a与b的大小关系为_。解析(1)因为A0,B0,A2B2a2b(ab)20,所以AB。故选B。(2)16161616,因为(0,1),所以160,16180,所以18161618,即ab。答案(1)B(2)ab考点二不等式的性质应用【例2】(1)若abb2;|1a|b1|;。其中正确的个数是()A0B1 C2D3(2)设0ac0,则下列结论不正确的是()AabcaClogab解析(1)因为ab|b|0,所以a2b2,故a21b2,正确。abb0a1b10,故|1a|b1|,正确。ab0abab,正确。故选D。(2)取a,b4,c2,则由,故D结论错误。故选D。答案(1)D(2)D解决此类题目常用的三种方法1直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。2利用特殊值法排除错误答案。3利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。【变式训练】(1)若ab|b|Ba2abC.D.(2)已知xy,则下列不等式一定成立的是()A0Cx2y2D.xy解析(1)由ab|b|,A成立;因为abab,B成立;因为ab,C成立;当a2,b1时,1,不成立。故选D。(2)A中,当x1,y1时,y2不成立,所以C错。D中,f(x)x在R上单调递减,当xy时,xy成立,故选D。答案(1)D(2)D考点三求代数式的取值范围【例3】(1)三个正数a,b,c满足abc2a,bac2b,则的取值范围是()ABC2,3D1,2(2)已知2xy,3xy,则9xy的取值范围是_。解析(1)三个正数a,b,c满足abc2a,bac2b,所以12,1,即1,所以112,即即所以。故选A。(2)设9xya(2xy)b(3xy),则9xy(2a3b)x(ab)y,于是比较两边系数得得a6,b7。由已知不等式得36(2xy)3,7(3xy),所以9xy。答案(1)A(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径。【变式训练】(1)已知1x4,2y3,则xy的取值范围是_,3x2y的取值范围是_。(2)已知f(a,b)axby,如果1f(1,1)2,且1f(1,1)1,则f(2,1)的取值范围是_。解析(1)因为1x4,2y3,所以3y2,所以4xy2。由1x4,2y3,得33x12,4
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