2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性教案理（含解析）新人教A版.docx

第2讲导数与函数的单调性基础知识整合函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数1在某区间内f(x)0(f(x)0及f(x)e.故选A.2函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0Ba0答案B解析函数f(x)x3ax为R上增函数的充分必要条件是f(x)3x2a0在R上恒成立，所以a(3x2)min.因为(3x2)min0，所以a0.而(，0)(，0故选B.3当x0时，f(x)x的单调减区间是()A(2，)B(0,2)C(，)D(0，)答案B解析f(x)1，令f(x)0，0x0，解得x1.故选D.5已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，f(x)0成立的x的取值范围是()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(0,1)(1，)D(，1)(1,0)答案B6(2019九江模拟)已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_答案解析由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，因为g(x)x在上单调递减，所以g(x)g，所以2a，即a.故填.核心考向突破考向一利用导数求函数的单调区间例1(1)(2019邯郸模拟)已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A.和(1，)B(0,1)和(2，)C.和(2，)D(1,2)答案C解析函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)(2)设函数f(x)x(ex1)x2，则f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案(，1)，(0，)1,0解析f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0.当x1,0时，f(x)0.当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1,0上单调递减触类旁通当方程f(x)0可解时，确定函数的定义域，解方程f(x)0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.即时训练1.(2019陕西模拟)函数f(x)(a0)的单调递增区间是()A(，1)B(1,1)C(1，)D(，1)(1，)答案B解析函数f(x)的定义域为R，f(x).由于a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1,1)故选B.2函数f(x)x2cosx(x(0，)的单调递减区间为_答案解析f(x)12sinx，令f(x)，故x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减由知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)已知函数f(x)x3x2ax1(aR)，求函数f(x)的单调区间解f(x)x22xa，方程x22xa0的判别式44a4(1a)，若a1，则0，f(x)x22xa0，f(x)在R上单调递增若a0，方程x22xa0有两个不同的实数根，x11，x21，当xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)触类旁通(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.即时训练3.已知函数f(x)ex(ax22x2)(a0)，试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.(1)当0a1时，f(x)的单调递增区间为(，0)和，单调递减区间为；(2)当a1时，f(x)在(，)内单调递增；(3)当a1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为.4已知函数f(x)(a1)ln xax21，aR，试讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.(1)当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增(2)当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减(3)当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增考向三利用导数解决函数单调性的应用问题角度比较大小或解不等式例3(1)已知函数f(x)ln 2，则()AffBffDf，f的大小关系无法确定答案C解析f(x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减f.故选C.(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)3，且对任意的xR总有f(x)3，则不等式f(x)3x15的解集为_答案(4，)解析令g(x)f(x)3x15，则g(x)f(x)30，所以g(x)在R上是减函数又g(4)f(4)34150，所以f(x)3x15的解集为(4，)触类旁通利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式即时训练5.(2019青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f(x)，且满足f(x)x21的解集是()A(，1)B(1，)C(2，)D(，2)答案D解析令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)2xx21可化为f(x)x21，而g(2)f(2)22341，所以不等式可化为g(x)g(2)，故不等式的解集为(，2)故选D.6(2019河北石家庄模拟)已知f(x)，则()Af(2)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(e)f(2)f(3)Df(e)f(3)f(2)答案D解析f(x)，当x(0，e)时，f(x)0；当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)故选D.角度根据函数的单调性求参数例4(1)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2B(4，)C(，2)D(0,3答案A解析因为f(x)x29ln x，所以f(x)x(x0)，当x0时，有00且a13，解得1a2.故选A.(2)(2019西宁模拟)若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a.所以a的取值范围是.触类旁通(1)f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f(x)0(0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系(2)二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.即时训练7.若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_答案3，)解析由条件知f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立函数y2x在上为减函数，ymax23，a3.8已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2tg(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)答案C解析f(x)g(x)，f(x)g(x)0.f(x)g(x)在a，b上是增函数f(a)g(a)g(x)f(a)2f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是()Af(a)eaf(0)Cf(a)答案B解析令g(x)，则g(x)0.g(x)在R上为增函数，又a0，g(a)g(0)，即.故f(a)eaf(0)答题启示(1)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)xf(x)；一般地，若知xf(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x)xnf(x)(2)若知xf(x)f(x)的符号，则构造函数g(x)；一般地，若知xf(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x).(3)若知f(x)f(x)的符号，则构造函数f(x)exf(x)；一般地，若知f(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x)enxf(x)(4)若知f(x)f(x)的符号，则构造函数f(x)；一般地，若知f(x)nf(x)的符号，则构造函数g(x).对点训练1f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若a0)，则F(x).因为x0，xf(x)f(x)0，所以F(x)0，故函数F(x)在(0，)上为减函数又0a0都有2f(x)xf(x)0成立，则()A4