2020版高考数学总复习教材高考审题答题（三）数列热点问题教案文（含解析）北师大版.docx

教材高考审题答题（三）数列热点问题核心热点真题印证核心素养等比(差)数列的判定与证明2018全国，17；2017全国，17；2016全国，17逻辑推理、数学运算通项与求和2018全国，17；2018全国，17；2016全国，17；2016全国，17数学运算、数学建模等差与等比数列的综合问题2017全国，17；2018天津，18；2018全国，17；2018浙江，20数学运算、逻辑推理教材链接高考等比(差)数列的判定与证明教材探究1.(引自人教A版必修5P50例2)根据图2.42中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？2.( 引自人教A版必修5P69B6)已知数列an中，a15，a22，且an2an13an2(n3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？试题评析(1)题目以算法框图为载体给出递推数列an，其中a11，anan1(n1).进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列an是等比数列.(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bnanan1(n2)，cnan3an1(n2)，利用等比数列定义不难得到bn，cn是等比数列，进而求出数列an的通项公式.两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.【教材拓展】 (2019郑州模拟)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2).(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明因为an1an6an1(n2)，所以an12an3an6an13(an2an1)(n2).因为a15，a25，所以a22a115，所以an2an10(n2)，所以数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列.(2)解由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，所以an13n12(an3n).又因为a132，所以an3n0，所以an3n是以2为首项，2为公比的等比数列.所以an3n2(2)n1，故an2(2)n13n.探究提高数列递推式是数列命题常见类型，解题的关键是通过适当的变形，转化成特殊数列问题.【链接高考】 (2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列.(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.教你如何审题等差与等比数列的综合问题【例题】 (2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN+)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN+).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.审题路线自主解答解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).由b11，b3b22，可得q2q20.因为q0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1.设等差数列an的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，故ann.所以Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以n的值为4.探究提高1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.2.利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.【尝试训练】 (2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.满分答题示范数列的通项与求和【例题】 (12分)(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.规范解答高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.得关键分：(1)an1满足的关系式，(2)验证n1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).构建模板【规范训练】 (2019芜湖调研)已知数列an是等比数列，a24，a32是a2和a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2log2an1，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，因为a24，所以a34q，a44q2.因为a32是a2和a4的等差中项，所以2(a32)a2a4.即2(4q2)44q2，化简得q22q0.因为公比q0，所以q2.所以ana2qn242n22n(nN+).(2)因为an2n，所以bn2log2an12n1，所以anbn(2n1)2n，则Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1.由得，Tn222222322n(2n1)2n122(2n1)2n16(2n3)2n1，所以Tn6(2n3)2n1.1.(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列.记bn的前n项和为Sn，则Sn.2.已知数列an满足a1，且an1.(1)求证：数列是等差数列；(2)若bnanan1，求数列bn的前n项和Sn.(1)证明易知an0，an1，又a1，2，数列是以2为首项，为公差的等差数列.(2)解由(1)知，2(n1)，即an，bn4，Sn44.3.(2019长郡中学联考)已知an是等差数列，bn是等比数列，a11，b12，b22a2，b32a32.(1)求an，bn的通项公式；(2)若的前n项和为Sn，求证：Sn2.(1)解设an的公差为d，bn的公比为q，由题意得解得或(舍)，ann，bn2n.(2)证明由(1)知，Sn，Sn，两式相减得Sn，Sn2，Sn2.4.(2019广州一模)已知数列an的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足5(4n5)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意可得：12(n1)，可得：Sn2n2n.当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.当n1时，a11对上式也成立.an4n3(nN+).(2)5(4n5)，n2时，5(4n1)，相减可得：(4n3)(n2)，又满足上式，(4n3)(nN+).bn2n.数列bn的前n项和Tn2n12.5.(2019宜春调研)已知公差不为0的等差数列an的首项a12，且a11，a21，a41成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，nN+，Sn是数列bn的前n项和，求使Sn成立的最大的正整数n.解(1)设an的公差为d.由a11，a21，a41成等比数列，可得(a21)2(a11)(a41)，又a12，(3d)23(33d)，解得d3(d0舍去)，则ana1(n1)d23(n1)3n1.(2)bn，Sn，则Sn，即，解得n12，则所求最大的正整数n为11.6.(2019延安二模)设Sn为数列an的前n项和，且a11，当n2时，(n1)an(n1)Sn1n(n1)，nN+.(1)证明：数列为等比数列；(2)记TnS1S2Sn，求Tn.(1)证明当n2时，anSn