2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值教案理新人教A版.docx

第2讲函数的单调性与最值基础知识整合1函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值(1)最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的xI，都有f(x)N；存在x0I，使得f(x0)N.那么我们称N是函数yf(x)的最小值1对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)；减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数2设x1，x2D(x1x2)，则x1x20(0(0(0)，f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)f(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)5(2019衡水模拟)函数f(x)(x2)的最大值为_答案2解析f(x)1，x2，x11,01，1(1,2，故当x2时，函数f(x)取得最大值2.6(2019浙江模拟)已知函数f(x)则ff(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg (3)21lg 101，ff(3)f(1)1230.当x1时，x32323，当且仅当x，即x时等号成立，此时f(x)min230；当x0，则x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上，ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)触类旁通 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法即时训练1.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)|x24x3|；(2)f(x) .解(1)先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y|x24x3|的图象如图所示由图可知f(x)在(，1和2,3上为减函数，在1,2和3，)上为增函数，故f(x)的增区间为1,2，3，)，减区间为(，1，2,3(2)32xx20，3xf(a22a3)Df(1)f(a22a3)答案D解析a22a3(a1)222，由偶函数f(x)在区间0，)上是增函数，可得f(1)f(1)0)满足f(m)0 Df(m1)0答案C解析f(x)图象的对称轴为x，f(0)f(1)a，f(x)的大致图象如图所示结合图象，由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.故选C.角度2利用函数的单调性解不等式例3(1)(2019长春模拟)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9 C8,9 D(0,8)答案B解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.(2)函数yf(x)是R上的增函数，且yf(x)的图象经过点A(2，3)和B(1,3)，则不等式|f(2x1)|3的解集为_答案解析因为yf(x)的图象经过点A(2，3)和B(1,3)，所以f(2)3，f(1)3.又|f(2x1)|3，所以3f(2x1)3，即f(2)f(2x1)f(1)因为函数yf(x)是R上的增函数，所以22x11，即即所以x0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0,1故选D.(2)已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B. C. D.答案C解析由f(x)在R上单调递减，则有解得a.触类旁通 函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练2.(2019商丘模拟)若f(x)是定义在(，)上的偶函数，且对任意的x1，x20，)且x1x2，有0，则()Af(3)f(1)f(2) Bf(3)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(3) Df(1)f(2)f(3)答案B解析对任意的x1，x20，)且x1x2，有0，当x0时，函数f(x)为减函数，f(3)f(2)f(1)，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，f(3)f(2)0且a1)满足f(a1)f(a2)，则f(2x3)0的解集是()A(，2) B.C. D(2，)答案C解析因为函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，所以0a1，则函数f(x)logax(0a0可化为02x31，求解可得x2，故选C.4(2018山东泰安模拟)已知函数f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A(1，) B4,8) C(4,8) D(1,8)答案B解析由f(x)在R上单调递增，则有解得4a8.考向三函数的最值(值域)问题例5(1)函数y的值域是_答案(1,1解析(分离常数法)因为y1，又因为1x21，所以02，所以10，f(x)在1,2上为增函数，又f(1)5，f(2)7.f(x)3x，x1,2的值域为5,7触类旁通 函数值域的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(6)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.即时训练5.(2019莱州质检)对于每一个实数x，f(x)是y2x2和yx这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是()A2 B1 C0 D2答案B解析解法一：f(x)当x1时，函数f(x)的值域为(，1)故函数f(x)的值域为(，1，所以f(x)max1.故选B.解法二：画出函数f(x)的图象，如图所示：其中A(1,1)，B(2，2)，故当x1时，函数f(x)的最大值为1.故选B.6函数f(x)x2的最大值为_答案2解析设t(t0)，x1t2.yx21t22tt22t1(t1)22.当t1即x0时，ymax2.7已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为_答案解析由题意，得所以函数的定义域为x|3x1两边平方，得y24242.所以当x1时，y取得最大值M2；当x3或1时，y取得最小值m2，所以.8设a，bR，a22b26，则ab的最小值是_答案3解析因为a，bR，a22b26，所以令acos，bsin，R.则abcossin3sin()，所以ab的最小值是3.函数f(x)对任意的m，nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解(1)证明：设x10.因为当x0时，f(x)1，所以f(x2x1)1，f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，所以f(x)在R上为增函数(2)因为m，nR，不妨设mn1，所以f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，所以f(1)2，所以f(a2a5)2f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2a513a2，即原不等式的解集为a|3a0，y0都有ff(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f