2020版高考数学第四章三角函数、解三角形第3节两角和与差及二倍角的三角函数教案文（含解析）北师大版.docx

第3节两角和与差及二倍角的三角函数最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().微点提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k(kZ).答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P135A4（3）改编)若cos ，是第三象限的角，则sin等于()A. B. C. D.解析是第三象限的角，sin ，sin.答案C3.(必修4P121例4改编)tan 20tan 40tan 20tan 40_.解析tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.答案4.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B.C. D.解析因为sin ，cos 212sin2，所以cos 2121.答案B5.(2019南昌一模)已知角的终边经过点P(sin 47，cos 47)，则sin(13)()A. B. C. D.解析由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.答案A6.(2018全国卷)已知tan，则tan _.解析tan，解得tan .答案考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_.(2)化简：(0)_.解析(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .答案(1)sin()(2)cos 规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】 (1)cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简：_.解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式cos 2.答案(1)D(2)cos 2考点二三角函数式的求值多维探究角度1给角(值)求值【例21】 (1)计算：_.解析.答案(2)(2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.解因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().角度2给值求角【例22】 (1)(2019河南六市联考)已知cos ，cos()，若0，则_.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)由cos ，0，得sin .由0，得00，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)规律方法1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 (1)(2019合肥模拟)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2(2)已知，为锐角，cos ，且sin()，则角_.(3)若sin 2，则sin 2()A. B. C. D.解析(1)tan 70cos 10(tan 201)cos 101.(2)为锐角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(3)由题意知sin 2，2(cos sin )sin 2，则4(1sin 2)3sin22，因此sin 2或sin 22(舍).答案(1)C(2)(3)C考点三三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019郑州模拟)设函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的图像关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的最值.解(1)f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因为图像关于直线x对称，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1时，符合要求，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)因为f0，所以2sin0，则.所以f(x)2sin.由0x，知x，当x，即x0时，f(x)取最小值1.当x，即x时，f(x)取最大值2.规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017北京卷)已知函数f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).(1)解f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明由(1)知f(x)sin .x，2x，当2x，即x时，f(x)取得最小值.f(x)成立.思维升华1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.易错防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016全国卷)若tan ，则cos 2()A. B. C. D.解析cos 2cos2sin2.答案D2.(2019广东省际名校联考)若cos，则cos()A. B. C. D.解析cos，cossinsin，cos12sin2.答案D3.()A. B. C. D.1解析.答案A4.(2019信阳一模)函数f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B. C. D.2解析由题意知f(x)sin x4sin x2cos x2sin(x)2，又因为xR，所以f(x)的最大值为.答案B5.(2019榆林模拟)若sin，A，则sin A的值为()A. B. C.或 D.解析A，A，cos0，且cos，sin Asinsincos cossin .答案B二、填空题6.(2017江苏卷)若tan，则tan _.解析tan tan.答案7.化简：_.解析2sin .答案2sin 8.(2017全国卷)已知，tan 2，则cos_.解析由tan 2得sin 2 cos ，又sin 2cos21，所以cos2.因为，所以cos ，sin .因为coscos cos sin sin ，所以cos.答案三、解答题9.(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值.解(1)由角的终边过点P，得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos ，由sin()，得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10.已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若(0，)，且f，求tan的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k(kZ)，得x(kZ).f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019江西八所重点中学联考)若点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图像的一个对称中心，则cos 2sin cos()A. B. C.1 D.1解析点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图像的一个对称中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.答案D12.(一题多解)(2019河北百校联盟联考)已知是第四象限角，且sin，则tan()A. B. C. D.解析法一sin(sin cos )，sin cos ，2sin cos .是第四象限角，sin 0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.答案B13.(一题多解)设cos ，tan ，0，则_.解析法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由，0可得0，因此，.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，0，得0，因此，.答案14.已知函数f(x)cos(x)为奇函数，且f0，其中aR，(0，).(1)求a，的值；(2)若，fcoscos 20，求cos sin 的值.解(1)