2020版高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和教案理（含解析）新人教A版.docx

第2讲等差数列及其前n项和基础知识整合1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d, 则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的前n项和为Sn, 则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为2n(nN*)，则S偶S奇nd，.(8)若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)(9)由公式Snna1得a1dna1，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列an公差的一半1(2019河北邯郸模拟)在等差数列an中，a3a412，公差d2，则a9()A14 B15 C16 D17答案D解析a11，a9a18d11617.故选D.2(2018全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12答案B解析设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得322d42d，整理解得d3，所以a5a14d21210.故选B.3(2019湖北武汉调研)若等差数列an的前n项和Sn满足S44，S612，则S2()A1 B0 C1 D3答案B解析根据等差数列的性质，可得S2，S4S2，S6S4成等差数列，即2(S4S2)S2S6S4，因此S20.4(2019宁夏银川模拟)在等差数列an中，S525，a23，则a7()A13 B12 C15 D14答案A解析S55a325，a35，又a23，da3a22，a7a34d5813.故选A.5(2019辽宁模拟)在等差数列an中，Sn为其前n项和，若a3a4a825，则S9()A60 B75 C90 D105答案B解析由等差数列的性质知a3a4a83a525.a5，S99a575.故选B.6(2019长春市模拟)等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A6 B7 C8 D9答案C解析|a6|a11|且公差d0，a6a11，a6a11a8a90，且a80，a1a2a80a9a10使Sn取最小值的n的值为8.故选C.核心考向突破考向一等差数列的基本运算例1(1)(2019西安八校联考)设数列an是等差数列，且a26，a66，Sn是数列an的前n项和，则()AS4S1 DS4S1答案B解析设an的公差为d，由a26，a66，得解得于是，S19，S33(9)318，S44(9)318，所以S4S3，S4S1.故选B.(2)(2019潍坊模拟)在等差数列an中，公差d0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，且a510，则an的前5项和S5()A40 B35 C30 D25答案C解析因为lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以2lg a2lg a1lg a4lg alg a1a4aa1a4d2a1d，因为d0，所以a1d，又a5a14d10，所以a12，d2，S55a1d30.选C.(3)(2018上海高考)记等差数列an的前n项和为Sn，若a30，a6a714，则S7_.答案14解析设数列an的公差为d，则a6a72a37d14，又a30，d2，a4a3d2.S7a1a2a3a4a5a6a77a414.触类旁通 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练1.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8答案C解析设an的公差为d，则由得解得d4.故选C.2已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解得a14，d3，则a9a18d42420.3已知数列an中，a37，a73，且是等差数列，则a10_.答案解析设等差数列的公差为d，则，.是等差数列，4d，即4d，解得d，故7d7，解得a10.考向二等差数列的性质角度等差数列项的性质例2(1)(2019温州模拟)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()A14 B15 C16 D17答案C解析因为an是等差数列，所以a4a6a8a10a125a8120，所以a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.故选C.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若a2a5a830，则下列一定为定值的是()AS6 BS7 CS8 DS9答案D解析由a2a5a830可得3a530，所以a510，S63(a1a6)不一定是定值；S7(a1a7)不一定是定值；S84(a1a8)不一定是定值；S990.选D.触类旁通 等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将anam2ak(nm2k，n，m，kN*)与amanapaq(mnpq，m，n，p，qN*)相结合，可减少运算量即时训练4.(2019河南豫南、豫北联考)等差数列an中，a4a10a1630，则a182a14的值为()A20 B20 C10 D10答案D解析a4a10a163a1030，a1010，又2a14a18a10，a182a14a1010，故选D.5(2019福建漳州模拟)在等差数列an中，若S918，Sn240，an430，则n的值为()A14 B15 C16 D17答案B解析由等差数列的性质知S99a518，a52，又an430.Sn16n240，n15.故选B.角度等差数列和的性质例3(1)(2019四川双流中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S101，S305，则S40()A7 B8 C9 D10答案B解析由等差数列的性质知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等差数列，2(S20S10)S10(S30S20)，S20S101.d(S20S10)S10，S405133，S408.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.触类旁通 等差数列和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，且有S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项).即时训练6.(2019大同模拟)在等差数列an中，a1a2a50200，a51a52a1002700，则a50()A22.5 B21.5 C28.5 D20答案C解析由(a51a52a100)(a1a2a50)5050d2700200，得d1.由a1a100a2a99a50a5150(a50a51)2700200，得a50a5158，即2a50d58，所以a5028.5.故选C.7设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A. B. C. D.答案A解析令S31，则S63，S91236.S12S9410，.故选A.考向三等差数列的判定与证明 例4(1)(2019辽宁模拟)数列an满足a12，a21并且(n2)，则数列an的第100项为()A. B. C. D.答案B解析(n2)，为等差数列，首项为，第二项为1，d，99d50，a100.(2)(2019昆明模拟)在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是Sn.证明数列bn是等差数列，并求Sn；比较an与Sn7的大小解证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn，得b1，Sn3n.由知，bnn1n.由bn，得an11.anSn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S370，nN*，anSn70，anSn7.触类旁通 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)成立提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练8.(2019河南郑州模拟)已知数列an中，a11，a24,2anan1an1(n2，nN*)，当an298时，项数n()A100 B99 C96 D101答案A解析因为2anan1an1(n2，nN*)，所以anan1an1an.由a11，a24得da2a13，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)33n2.由3n2298，解得n100.故选A.9已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式2n2n30，所以不等式2n2n3.即b2，又显然当n3时，1，所以(bn)maxb3，所以0，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解解法一：由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0.故当n7时，Sn最大解法二：由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由解法一可知a0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小若有零项，则使Sn取最值的n有两个 对点训练1(2019广东佛山模拟)设等差数列an满足3a85a15，且a10，Sn为其前n项