§2.10函数的综合应用.ppt

2.10 函数的综合应用 知识数据库 技能数据库 预测数据库,1函数的综合应用为函数的重点知识，它包含了函数的各类问题，如函数的图象、性质以及几种常见的增长模型 2复习本节知识点要注意实际问题的函数模型，如几种常见的不同增长的函数模型，以解决实际问题为背景，考查建立函数解析式、确定定义域、求最值等问题，在这些问题上应多下工夫 3高考中各类题型均可能出现，且多为中档题 4教学中教师可将3道例题讲解完或有选择性地讲解，对“预测数据库”中所列的练习要求学生完成前10题，部分学生能完成11、12题,2.10 函数的综合应用,高考问题1：几种常见的函数模拟 以实际问题的函数图象或数据，考查几种常见的不同增长的函数模型，一般为选择题中的中等偏容易题 高考问题2：建立函数模拟 以基本初等函数为命题对象，以解决实际问题的最值为背景，考查建立函数解析式、确定定义域、求最值等问题，一般为选择、填空题中的中档题，或是以解答题的形式出现 高考问题3：利用函数解决实际问题 应用函数思想与方法解决实际问题是高考命题的重点，涉及数形结合、函数与方程等思想方法的运用，关键是熟练掌握基本函数与函数基本性质,1掌握几类基本初等函数的图象和性质，其中有一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等 2函数性质主要指：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等 3解函数应用题时，要注意审题：逐字逐句地读题，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，分析出已知什么，要求什么，从中提炼出相应的数学问题 数学建模一般分以下几步： 设自变量为x，函数因变量为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y及辅助变量表示各相关量，然后根据问题的已知条件，,运用所学过的知识建立关系式，从而将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型 解决函数应用题的流程图为： 4常用函数模型：一次函数、二次函数、反比例函数、分式函数、幂函数、指对数函数、分段函数等能根据实际问题建立合理的函数模型 5函数常与导数、方程、不等式等知识综合应用特别是二次函数、二次方程的重要应用,1(2010年银川模拟)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) (A)y2x. (B)ylog2x. (C)y (x21). (D)y2.61 cos x. 【解析】 将x、y值分别代入函数解析式检验 【答案】 B,2某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(xN*)的关系为yx212x25，每辆客车营运_年时，其总利润最大；每辆客车营运_年时，其营运年平均利润最大,3(2010年长沙模拟)如图，宽度为1.5米的胡同， 有一直角拐角，有三个物体试图通过拐角到达目的地 长4米的铝合金杆； 棱长为1.4米的正方体电视机包装箱； 长为2.2米，宽为1米的平板车 请你算一算，可以通过拐角的物体是_(写上序号即可),能力训练1 已知函数f(x)是定义在6,6上的奇函数，且f(x)在0,3上是x的一次式，在3,6上是x的二次式，且当3x6时有f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的表达式,例2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x、3x(吨) (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费 【指点迷津】 知道甲、乙两户的用水量，由于收费标准不同，所以需要对x进行分类讨论，写出甲、乙两户的用水量，也就得到了两户共交水费y关于x的函数关系式；再由函数值求自变量的值，可得共交水费26.4元时甲、乙两户该月的用水量和水费,【点评】（1）由于收费标准不一样，需对甲、乙两户用水量进行分段讨论，列出分段函数，讨论时对变量分类要做到不重不漏；（2）分段函数的有关值域问题需分段求解. 能力训练2 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t(百件)时，销售所得的收入为(5t t2)万元 (1)该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量x的函数f(x)，求f(x)； (2)当该公司的年产量为多大时，当年所获得的利润最大,例3 某医药所开发一种新药，如果成人按 规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中 的含药量y与时间t之间近似满足如图所示曲线 (1)写出服药后y与t之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数效果最佳？ 【指点迷津】 (1)用待定系数法可求分段函数的解析式； (2)紧扣已知条件y4对治疗疾病有效，进而求时间t.,能力训练3 某航天有限公司试制一种仅由金属A和金属B合成的合金，现已试制出这种合金400克，它的体积50立方厘米，已知金属A的比重d小于每立方厘米9克，大于每立厘米8.8克；金属B的比重约为每立方厘米7.2克 (1)试用d分别表示出此合金中金属A、金属B克数的函数关系式; (2)求已试制的合金中金属A、金属B克数的取值范围,1建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求 2在将实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学符号化 3解决函数应用题关键在于理解题意，一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化另一方面，要不断拓宽知识面，提高其间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步培养实际问题数学化的意识和能力,例1 (2010年天门中学模拟)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：y 2；y4lg x3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？,例2 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小,汽车应多大速度行驶?最小值为多少?,例3 某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同),(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)、每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式； (2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大利润是多少万元？,基础过关 1(2010年辽宁模拟)某地拟建一垃圾处理厂，根据调查，该地区垃圾的年增长量均为b,2009年的垃圾量为a，则从2009年到2014年的垃圾总量为( ) (A)ab2. (B)a5b. (C)6a15b. (D) . 【解析】 垃圾总量yaaba2ba3ba4ba5b6a15b. 【答案】 C,3(2010年陕西二模)为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 现在加密密钥为yloga(x2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”若接受方接到密方为“4”，则解密后得明文为_ 【解析】 由loga(62)3，有a2， 则由log2(x2)4，解得x14. 【答案】 14,5(2010年南通一模)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB4 m，AD3 m，设AN的长为x m(x3) (1)要使矩形AMPN的面积大于54 m2， 则AN的长应在什么范围内？ (2)求当AM、AN的长度是多少时，矩 形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积,【解析】 由分期付款模型建立等式a(1r)5xx(1r)x(1r)2x(1r)4解出x即可 【答案】 B 7某池塘中浮萍的面积y(m2)与时间t(月)的关系：yf(t)2t，有以下叙述： 这个指数函数的底数为2； 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；,浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月； 浮萍每月增加的面积都相等； 若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1t2t3. 其中正确的是( ) (A). (B). (C). (D). 【解析】 正确；中yf(5)253230，正确；中log212log22log261.5，错误；中如第一个月面积为2，第二个月面积为4，第三个月面积为8，每月增加的面积不相等，错误；中由2t12,2t23,2t36得2t32t12t22t1t2，所以t1t2t3，正确 【答案】 D,8如图所示，有一块半径为R的半圆形钢 板，计划裁减成等腰梯形ABCD的形状，它的 下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上则这个梯形周长y与腰长x的函数关系式为_，它的定义域是_,拓展探究 11(2010年江苏调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)2，f(x)1，则不等式f(x2)x21的解集为_ 【解析】 构造函数g(x)f(x)x， 由已知有g(1)1，g(x)0，即g(x)在R上单调递减， 又g(x2)f(x2)x2，则不等式f(x2)x21即满足g(x2)1g(1)，故x21，解得x1或x1. 【答案】 (，1)(1，),12(2010年南通模拟)在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了