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数字电路与逻辑设计 授课特点： 1、只讲知识点、难点和重点 2、多讲习题 3、重视应用，分析设计题为主。 4、网上答疑 教学要求： 1、会看书自学 2、多做习题、作业成绩20% 3、应用PSpice仿真,第一章 数制和码制,1.1 数字量和模拟量 数字量：时间上和数值上都离散变化的物理量，最小数量单位 模拟量：时间上和数值上都连续变化的物理量。 处理数字信号(Digital Signal)的电路称为数字电路， 处理模拟信号（Analog Signal)的电路称为模拟电路。 数字信号传输可靠、易于存储、抗干扰能力强、稳定性好。 数字信号是一种脉冲信号(Pulse Signal)，边沿陡峭、持续时间短，凡是非正弦信号都称为脉冲信号。,数字信号有两种传输波形，电平型、脉冲型。 电平型数字信号以一个时间节拍内信号是高电平还是低电平来表示“1”或“0”， 脉冲型数字信号是以一个时间节拍内有无脉冲来表示“1”或“0”。,1.2 几种常用的数制,数制中允许使用的数码个数称为数制的基数。 常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制和十六进制。 D=kj Ni ，ki是第j位的系数，N是基数， N =10，2，8，16； Ni称为第i位的权，10i， 2i ，8i，16i。 2009=2103+0102+0101+9100,（1）十进制：十进制数一般用下标10或D表示，如2310，87D等。 （2）二进制：基数N为2的进位计数制称为二进制（Binary），它只有0和1两个有效数码， 进位关系 “逢二进一，借一为二”。 二进制数下标2或B，如1012，1101B等。 (1001.11)2=123+022+021+120+12-1+12-2 =(9.75)10,（3)八进制：基数N为8的进位计数制，共8个有效数码，0 1 2 3 4 5 6 7，下标8或O。 (456.1)8=482+581+680+18-1=(302.125)10,（4）十六进制：基数N为16，十六进制有09、A、B、C、D、E、F共16个数码， “逢十六进一，借一为十六”。下标16或H表示，如A116，1FH等。,(3AE.7F)16 =3162+10161+14160+716-1+1516-2 =(942.4960937)10,1.3 不同数制间的转换,（1）二十转换：按位权展开，将所有值为1的数位的位权相加。 【例1.1】 （11001101.11）B =1 27+1 26+0 25+0 24+1 23+1 22 +0 21+1 20+1 2-1+1 2-2 =128+64+8+4+1+0.5+ 0.25=（205.75）D,（2)十二转换 要分别对整数和小数进行转换。整数部分转换除2取余法。,【例1.2】 (13)D=( )B 第一次的余数最低有效位(LSB)， 最后一次的余数最高有效位(MSB),(98)10=( )2,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1101,1100010,小数部分转换乘2取整法 第一次积的整数MSB，最后一次积的整数LSB。 【例1.3】 (0.8125)D=( )B 积的整数 0.81252=1.625 1 MSB 0.6252=1.25 1 0.252=0.5 0 0.52=1 1 LSB (0.8125)D=( 0.1101 )B,(3)十六十转换 按位权展开 【例1.7】 1A7.CH=1162 +10161+7160+1216-1 =1256+1016+7+120.0625 =423.75D,(4)十十六转换 与十二转换方法相似，整数部分转换除16取余法，小数部分转换乘以16取整法 【例1.8】 287D=11FH 转换过程：287/16=17余15 17/16=1余1 【例1.9】 0.62890625D=0.A1H 转换过程：0.6289062516=10.0625 0.062516=1,(5)二十六转换 【例1.12】 10111010111101.101B =0010 1110 1011 1101 . 1010 B =2EBD.A H (6)十六二转换 【例1.13】十六进制数： 1 C 9. 2 F H 二进制数： 1 1100 1001 . 0010 1111 B,（7)二八转换 【例1.14】 010 111 011.101 100B =273 . 54O （8)八二转换 361.72O =11 110 001.111 010B,1.5码制,在数字系统中，常用0和1的组合来表示不同的数字、符号、事物，叫做编码，这些编码组合称为代码（Code)。 代码可以分为数字型的和字符型的，有权的和无权的。 数字型代码用来表示数字的大小，字符型代码用来表示不同的符号、事物。 有权代码的每一数位都定义了相应的位权，无权代码的数位没有定义相应的位权。 有权码：8421、2421、5211码 无权码：余3码、余3循环码。,三种常用的代码: 8421BCD码，格雷(Gray)码，ASCII码。 （1）8421BCD码：BCD（Binary Coded Decimal）码，即二十进制代码，用四位二进制代码表示一位十进制数码。 8421BCD码是有权码，四位的权值自左至右依次为： 8、4、2、1。,余3码 = 8421BCD码+3 例如： (0101)8421BCD=(1000)余3码 8421BCD码表示方法： (2010)10 =(0010 0000 0001 0000) 8421BCD,（2）格雷(Gray)码：格雷码是一种无权循环码，它的特点是:相邻的两个码之间只有一位不同。,（3）ASCII码 ASCII码，即美国信息交换标准码(American Standard Code for Information Interchange)， 是目前国际上广泛采用的一种字符码。 ASCII码用七位二进制代码来表示128个不同的字符和符号。,第二章 逻辑代数基础,逻辑代数是由英国数学家乔治布尔于1849年首先提出的，称为布尔代数。 逻辑代数是研究逻辑变量间的因果关系，是分析和设计逻辑电路的数学工具。 逻辑变量是使用字母表示的变量，只有两种取值1、0， 代表两种不同的逻辑状态：高低电平、有无脉冲、真或假、1或0。,2.1 逻辑代数的基本运算,逻辑代数基本运算有与、或、非三种，逻辑与、逻辑或和逻辑非。 1.逻辑与 只有决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，逻辑与，或称逻辑乘。 开关A=B=1开关接通，电灯Y=1灯亮，A=B=0开关断开、灯灭，逻辑与“”，写成Y=AB或Y=AB,与逻辑符号 and,逻辑真值表(Truth Table) ：自变量的各种可能取值与函数值 F的对应关系。,与逻辑真值表,2.逻辑或 决定某事件的诸多条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，该事件都会发生，或称逻辑加。 开关A和B中有一个接通或一个以上接通（A=1或B=1）时，灯Y都会亮（Y=1），逻辑或“+”。 写成Y=A+B,或逻辑真值表,或逻辑符号 or,3.逻辑非 在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，称为逻辑非，也称为逻辑反。 开关接通（A=1）时，电灯Y不亮（Y=0），而当开关断开（A=0）时，电灯Y亮（Y=1）。 逻辑反，写成,非逻辑真值表,非逻辑符号 inverter,4.其他常见逻辑运算 常见的复合逻辑运算有: 与非、或非、异或、同或等 运算的表达式： 与非： 先与后非 或非： 先或后非 与或非表达式： 先与再或后取非,与或非逻辑的真值表,nand nor,异或表达式： A、B不同，Y为1；A、B相同，Y为0。,可以证明：奇数个1相异或，等于1； 偶数个1相异或，等于0。 A0=A A=1, 10=1; A=0, 00=0; A=1, 11=0 ; A=0, 01=1 AA=0,0 1 0 1 1 1 1,1,1,0,1,0,1,同或表达式： Y=AB= A、B相同，Y为1； A、B不同，Y为0。,AB= AB= A0= A1=A AA=1 A =0 AB= AB B=A,2.2 逻辑代数的公式,1 基本公式 关于变量和常量的公式 00=0 0+0=0 11=1 1+1=1 01=0 0+1=1 (1) 0A=0 (2) 0+A=A (3) 1A=A (4) 1+A=1 互补律 (5) (6),重叠律 (7) AA=A (8) A+A=A 交换律 (9) AB=BA (10)A+B=B+A 结合律 (11)A(BC)=(AB)C (12)A+(B+C)=(A+B)+C,分配律 (13)A(B+C)=AB+AC (14)A+BC=(A+B)(A+C) 用真值表证明公式 A+BC=(A+B) (A+C),反演律（德摩根定律 ） (15) (16) 还原律 (17),2 常用公式 （1）A+AB=A 证明：A+AB =A1+AB =A(1+B) =A1=A 例如：(A+B)+(A+B)CD =A+B （2） 应用分配律 证明：,在两个乘积项相加时，如果其中一项是另一个项的一个因子，则另一项可以被吸收。,一个乘积项的部分因子是另一乘积项的补，这个乘积项的部分因子是多余的。,例如：,（3） 证明： （4）A(A+B)=A 证明：A(A+B) =AA+AB =A+AB =A(1+B) =A1 =A,当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和 两个因子而其它因子相同，则两项可以合并，可将B和 两个因子消去。,变量A和包含A的和相乘时，结果等于A。,（5） 证明：,在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的第三个与项是多余项。,例：,推论： 例：,在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是多余项。,（6） 证明： 证明：,交叉互换律 （7） 证明：,2.3 逻辑代数的基本定理,代入定理： 在一个逻辑等式两边出现某个变量（逻辑式）的所有位置都代入另一个变量（逻辑式），则等式仍然成立。 例：已知 在等式两边出现B的所有位置都代入BC 左边 右边 等式仍然成立 例：已知 在等式两边B的位置都代入B+C 左边 右边 等式仍然成立,反演定理 对一个逻辑函数Y进行如下变换： 将所有的“”换成“”， “”换成“”， “0”换成“1”， “1”换成“0”， 原变量换成反变量， 反变量换成原变量， 则得到函数Y的反函数 例： 注意两点：保持原函数中逻辑运算的优先顺序；逻辑式上（不是单个变量上）的反号可以保持不变。,对偶定理 对一个逻辑函数Y进行如下变换： 将所有的“”换成“”， “”换成“”， “0”换成“1”， “1”换成“0”， 则得到函数Y的对偶函数YD。 例：Y1=A(B+C) Y1 =A+BC Y2=AB+AC Y2=(A+B)(A+C) 对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。 例：已知A(B+C)=AB+AC则两边求对偶 A+BC=(A+B)(A+C),2.4 逻辑函数的描述方法,(1) 逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用的描述方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图和逻辑图等。 逻辑真值表 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。 例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出Y为1；否则，输出Y为0。,判奇电路的真值表,从真值表写逻辑函数式： Y=1的组合， 1写原变量 0写反变量，乘积项相加。 001 010 100 111 判奇电路的表达式：Y=ABC+ABC+ABC+ABC,表达式 常用的逻辑表达式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。 与或表达式： 标准与或表达式： 或与表达式： 标准或与表达式： 与非与非表达式： 或非或非表达式： 与或非表达式：,逻辑图 由逻辑门电路符号构成的，表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。,(2) 不同描述方法之间的转换 表达式真值表 首先按自然二进制码的顺序列出所有逻辑变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。 逻辑函数 的真值表 10X X10 0X1 从逻辑式列出真值表 1XX X01 010 Y=m1+m2+m4+m5+m6+m7,真值表表达式,逻辑式逻辑图 逻辑图逻辑式,(3)逻辑函数的两种标准形式 ： 标准与或表达式和标准或与表达式。 最小项表达式：每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量仅出现一次。标准与项，又称最小项。 n变量的最小项有2n个。ABC三变量的最小项有 最小项的性质（了解） (1)每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余任何组合均使该最小项为0。 (2)全体的最小项之和为1。 (3)任意两个不同最小项的乘积为0。 (4)相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。,000 001 111,最小项编号：最小项对应变量取值组合的大小，为最小项编号。 例： 对应的变量取值组合为101，其大小为5，所以 的编号为5，记为m5。 最小项变量取值组合，原变量取值为1；反变量取值为0。 【例1】 的最小项表达式。 或 Y(A,B,C)=mi(i=1,2,4,5,6,7) 或Y(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7) 一个与项如果缺少一个变量，生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，生成四个最小项；一个与项如果缺少n个变量，则生成2n个最小项。,【例2】从真值表写出逻辑函数的最小项表达式。 解： = m1+ m2+ m4+ m7 =mi (i=1,2,4,7),最大项表达式 每个或项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。 标准或项，又称最大项。 例：最大项 的变量取值组合为010，其大小为2，因而， 的编号为2，记为M2。,由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值为0的对应组合，将这些组合对应的最大项相与。 【例】 已知逻辑函数的真值表，写出函数的标准或与表达式。 解：函数F的最大项表达式为,= M1M2M4M7 = Mk(1,2,4,7), 最小项表达式和最大项表达式之间的转换 同一函数，标准与或式中最小项的编号和标准或与式中最大项的编号是互补的，最小项的编号与最大项的编号在同一逻辑函数的表达式不相同。 逻辑函数 ， 则Y=0的最小项之和为 得到,【例】已知 写出最小项表达式。 =(1,2,4,7) =(0,3,5,6) 【例】已知 写出标准与或表达式。 = (1,3,5,7) =(0,2,4,6),2.5逻辑函数的化简 最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。 最简与或表达式必须满足的条件： (1)乘积项个数最少。 (2)乘积项中变量的个数最少。 最简或与表达式必须满足的条件有： (1)或项个数最少。 (2)或项中变量的个数最少。 常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。,一、公式法化简 公式法化简逻辑函数，是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有以下四种。 并项法 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。 【例】 吸收法 A+AB=A 吸收多余的与项。 【例】 Y=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =A,消因子法 消去与项多余的因子。 【例】 消项法 进行配项，以消去更多的与项。 【例】,配项法A+A=A， 配项，能更加简化表达式。 方法 方法,公式法常用4种化简方法 并项法 吸收法 A+AB=A 消因子法 消项法 配项法A+A=A，,【例】,【例】 求与非-与非式 两次求反,【例】 求Y的对偶式并化简 再求对偶式 求或非-或非式 两次求反,二、卡诺图法化简 1.表示最小项的卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。 具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。,01,101,011 010,100,110,方格中的数字为该方格对应最小项的十进制数，称该方格的编号。 一个四变量函数的卡诺图，方格中的0和1表示在对应变量取值组合下该函数的取值。,真值表卡诺图 找出真值表中函数值为1的变量组合，在卡诺图中具有相应编号的方格中标上1 。,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,表达式卡诺图 【例】 画出逻辑函数 的卡诺图。 一个与项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个方格； 一个与项如果缺少两个变量，对应卡诺图中四个方格； 一个与项如果缺少n个变量，则对应卡诺图中2n个方格。,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,卡诺图标准表达式 =(0,2,7,8,10,13),0000,0010,0111,1000,1010,1101,卡诺图标准或与式 【例】 =(1,5,9,15),0,0,0,0,0001,0101,1001,1111,2.卡诺图化简法求最简与或式 卡诺图的相邻性 最小项的相邻性定义：两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余变量的都不变，这两个最小项是逻辑相邻的。 卡诺图的相邻性判别：在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同，其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。,111,110,100,000, 卡诺图化简法的一般规律 （1）两个相邻的1方格圈在一起，消去一个变量。 000 001 00X 001 011 0X1 101 001 X01,100 110 1X0 0101 1101 X101 0011 1011 X011,（2）四个相邻的1格圈在一起，消去两个变量。,0000 + 0010 1000 + 1010,1,1,1,1,00X0,10X0,+,=X0X0,（3）八个相邻的1方格圈在一起，消去三个变量。,(4）2n个相邻的1方格圈在一起，消去n个变量。 2n个相邻的1方格对应的2n个最小项中，有n个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这n个变量，只剩下不变的因子。 （5）如果卡诺图中所有的方格都为1，将它们圈在一起，结果为1。, 卡诺图化简法的步骤和原则 卡诺图化简最简与或式的一般步骤： （1）画出函数的卡诺图； （2）先圈孤立1格； （3）再圈只有一个方向的最小项（1格）组合； （4）合并其余最小项，每个圈内必须有一个1格未被圈过。 （5）写出最简与或表达式。,Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15) 写出最简与或式。,1,1,1,1,1,1,1,1,1,卡诺图化简最简与或式的原则： （1）每个1格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。 （2）每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不包含的。 如果一个圈中的任何一个1方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。 （3）任一圈中不能包含0格。 （4）圈的个数越少越好。 圈的个数越少，得到的与项就越少。 （5）圈越大越好。 圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方格的个数必须是2的整数次方。,【例】化简函数 写出最简与或式。 解： 填卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,D,【例】 Y=m（0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15），写出最简与或式。 （a） 两次求反实现与非-与非表达式 （b）,1,1,1,1,ACD,3. 卡诺图化简求最简或与式 对相邻的0格进行合并。 【例】 ，最简或与式。 解：方法直接圈0格，写或与表达式 方法圈0格，求反函数的最简与或式，再取反。 求与或非式：圈0格， 写反函数Y最小项式。 取反,(