大数定律和中心极限定理.ppt

第四章,大数定律和中心极限定理,一. 切比雪夫不等式,若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：,1 大数定率,例 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,一.依概率收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若任给0, 使得,则称Xn依概率收敛于X. 可记为,如,意思是:当,a,时,Xn落在,内的概率越来越大.,二.几个常用的大数定律,1.切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则,即若任给0, 使得,证明:由切比雪夫不等式,这里,故,2.贝努利大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定理,3. 辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则,推论:若Xi,i=1.2,.为独立同分布随机变量 序列, E(X1k)= , 则,2 中心极限定理 一.依分布收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有,则称Xn依分布收敛于X. 可记为,二.几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则Xn满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace),证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证,例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？,解 : 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X0 =1PX120 1 (7.75)=0;,PY60000=P1000012-aX60000 =PX60000/a0.9;,（2）设赔偿金为a元，则令,由中心极限定理,上式等价于,例3 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为,解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,例4. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工 作，工作概率为0.6，共进行200次试验.,依题意，,XB(200,0.6),现在的问题是：,求满足,设需N台车床工作，,（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN),这里 np=120, np(1-p)=48,由3准则， 此项为0。,查正态分布函数表得,由 0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,例5 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,问对序列Xk,能否应用大数定律？,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.,解:,即对任意的0,解:,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用 大数定律.,(2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?,解：设应取球n次，0出现频率为,由中心极限定理,近似N(0,1),近似N(0,1),欲使,即,查表得,从中解得,即至少应取球3458次 才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.,(3) 用中心极限定理计算在100次抽取中