2020届高考数学一轮复习讲练测专题2.7对数与对数函数（讲）文（含解析）.docx

专题2.7 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数. 知识点一 对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).知识点三 对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识点四 反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.考点一对数的运算【典例1】 （2019广东中山一中模拟）计算：100 _.【答案】20【解析】原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【变式1】（2019河南新乡一中模拟）已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.【答案】42【解析】设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.考点二 对数函数图象及其应用【典例2】（2019广西桂林十八中模拟） 当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D(，2)【答案】B【解析】易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga4，解得a，a1，故选B.【方法技巧】(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【变式2】 （2019四川棠湖中学模拟）设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x20Cx1x21 D0x1x21【答案】D【解析】作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D.考点三 比较对数值的大小【典例3】【2019年高考天津文数】已知，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，即，所以.故选A.【方法技巧】（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较【变式3】【2019年高考全国卷文数】已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】即则故选B考点四 解简单的对数不等式【典例4】（2019山东枣庄八中模拟） 设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)【答案】C【解析】由题意得或解得a1或1a0.故选C.【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值【变式4】（2019广东湛江一中模拟）已知函数f(x)若方程f(x)a0恰有一个实根，则实数a的取值范围是_.【答案】02，)【解析】作出函数yf(x)的图象(如图所示).方程f(x)a0恰有一个实根，等价于函数yf(x)的图象与直线ya恰有一个公共点，故a0或a2，即a的取值范围是02，).考点五 对数函数的综合应用【典例5】（2019甘肃兰州一中模拟）若函数f(x)log (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.【答案】C【解析】由x24x50，解得1x5。二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性可得函数f(x)log (x24x5)的单调递增区间为(2,5)要使函数f(x)log (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需解得m2.【方法技巧】解决此类问题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性【变式5】（2019湖南长郡中学模拟）已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a的取值范围