数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc_第1页
数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc_第2页
数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc_第3页
数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网-1-用不动点法求数列的通项(已发表在中学数学研究2007年第七期)江西省泰和中学胡良星330027定义:方程xxf)(的根称为函数)(xf的不动点.利用递推数列)(xf的不动点,可将某些递推关系)(1nnafa所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法.定理1:若),1,0()(aabaxxfp是)(xf的不动点,na满足递推关系)1(),(1nafann,则)(1paapann,即pan是公比为a的等比数列.证明:因为p是)(xf的不动点pbapappb由baaann1得)(11paapbaapannn所以pan是公比为a的等比数列.定理2:设)0,0()(bcadcdcxbaxxf,na满足递推关系1),(1nafann,初值条件)(11afa(1):若)(xf有两个相异的不动点qp,,则qapakqapannnn11(这里qcapcak)(2):若)(xf只有唯一不动点p,则kpapann111(这里dack2)证明:由xxf)(得xdcxbaxxf)(,所以0)(2bxadcx(1)因为qp,是不动点,所以0)(0)(22bqadcqbpadcpqcabqdqpcabpdp,所以qapaqcapcaqcabqdapcabpdaqcapcaqdbaqcapdbapcaqdcabaapdcabaaqapannnnnnnnnnnn1111111111)()(高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网-2-令qcapcak,则qapakqapannnn11(2)因为p是方程0)(2bxadcx的唯一解,所以0)(2bpadcp所以apcppdb2,cdap2所以dcapacpadcaapcpacpadcapdbacpapdcabaapannnnnnnnn111211111)()()(所以dacpapacpacpdcpacpacpdpaccpapadcacpapannnnnnn211)(111111111令dack2,则kpapann111例1:设na满足*11,2,1Nnaaaannn,求数列na的通项公式解:作函数xxxf2)(,解方程xxf)(求出不动点1,2qp,于是12212221211nnnnnnnnaaaaaaaa,逐次迭代得nnnnaaaa)21(12)21(12111由此解得nnnnna)1(2)1(21例2:数列na满足下列关系:0,2,2211aaaaaaann,求数列na的通项公式解:作函数xaaxf22)(,解方程xxf)(求出不动点ap,于是aaaaaaaaaaaaaaaannnnnn11)(1211221所以1aan是以aaa111为首项,公差为a1的等差数列所以ananaanaaaan1)1(11)1(111,所以naaan高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网-3-定理3:设函数)0,0()(2eafexcbxaxxf有两个不同的不动点21,xx,且由)(1nnufu确定着数列nu,那么当且仅当aeb2,0时,2212111)(xuxuxuxunnnn证明:kx是)(xf的两个不动点fexcbxaxxkkkk2即kkkbxxaefxc2)()2,1(k222221211222211222122111)()()()()()()()(bxxaeuexbaubxxaeuexbaufxcuexbaufxcuexbaufeuxcbuaufeuxcbuauxuxunnnnnnnnnnnnnnnn于是,2212111)(xuxuxuxunnnn22222112222221211222)()()()(xuxuxuxubxxaeuexbaubxxaeuexbaunnnnnnnn22222112222221211222)()(xuxuxuxuabxxaeuaexbuabxxaeuaexbunnnnnnnn221122xaexbxaexb0)2(0)2(21xeabxeab1121xx0方程组有唯一解aeb2,0例3:已知数列na中,*211,22,2Nnaaaannn,求数列na的通项.解:作函数为xxxf22)(2,解方程xxf)(得)(xf的两个不动点为22222211)22(22222222222222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa高考资源网()您身边的高考专家版权所有高考资源网-4-再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22nnaaaaaaaannnnnn由此解得11112222)22()22()22()22(2nnnnna其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4:已知1,011aa且)1(4162241nnnnnaaaaa,求数列na的通项.解:作函数为)1(416)(224xxxxxf,解方程xxf)(得)(xf的不动点为ixixxx33,33,1,14321.取1,1qp,作如下代换:423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611nnnnnnnnnnnn

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论