牡丹江市中考满分作文-勾股定理中数学思想的运用

好文档好好学习 勾股定理中数学思想的运用 一 .勾股定理中方程思想的运用 方程思想 是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。 例题 1如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm， BC=10cm，将 ABC 折叠，使点 B 与点 A重合，折痕为 DE，则 CD 的长为（ ） 分析 ：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中 CD 在 tACD 中，由于 AC 已知，要求 CD，只需求 AD，由折叠的对称性，得 AD=BD，注意到 CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。 解 ：如右图所示，要使 A， B 两点重合，则折痕 DE 必为 AB 的垂直平分线。连结 AD，则 AD BD。设 CD x，则 AD=BD=10 x在 RtACD 中，由勾股定理，得 故选 D。 点拨 ：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程， 运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。 二 .勾股定理中分类讨论思想的运用 好文档好好学习 分类讨论思想 是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种 “ 化整为零，各个击破，再积零为整 ” 的数学方法。 例题 2已知 ABC 中， AB=20， AC=15， BC 边上的高为 12，求 ABC 的面积。 分析 ：应分 ABC 是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。 解 ： AD 是 ABC 的高，由勾股定理，得 BD2 = AB2 AD2 = 202 122 = 256, BD = 16 CD2 = AC2 AD2 = 152 - 122 = 81, CD = 9 （ 1）若 C 为锐角，如图（ 1）所示， 则 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25 （ 2）若 C 为钝角，如图（ 2）所示， 则 BC = BD CD = 16 9 = 7 好文档好好学习 即 ABC 的面积为 150 或 42 点拨 ：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解。 三 .勾股定理中类比思想的运用 类比思想 是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论 (必要时要加以证明 )。 例 题 3如图 ，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1、 S2、 S3表示，则不难证明 S1=S2+S3 （ 1）如图 ，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、 S2、 S3表示，那么 S1、S2、 S3之间有什么关系？ (不必证明 ) （ 2）如图 ，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用 S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1、 S2、 S3之间的关系并加以证明 分析 ：从同学们熟悉的勾股定理入手， 容易得证， 中要求出等边三角形的面积。 解 ：设直角三角形 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 的长分别为 、 b、 c，则 c2 = 2 + b2 （ 1） S1 = S2 + S3 （ 2） S1 = S2 + S3证明如下：显然， 点拨 ：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理当然，学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？ 好文档好好学习 四 .勾股定理中整体思想的运用 整体思想 是指：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手， 则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目。 例题 4在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、 S2、 S3、 S4，则 S1 S2 S3 S4=_ 分析 ：本题不可能求出 S1、 S2、 S3、 S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出 S1 S2、 S2 S3、 S3 S4 解 ：易证 RtABC RtCDE AB = CD 又 CD 2 + DE2 = CE2,而 AB2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4 S 3 S4 = 3，同理 S1 S2 = 1， S2 S3 = 2 S 1 S2 S2 S3 S3 S4 = 1 2 3 = 6，即 S1 S2 S3 S4 4 点拨 ：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体 思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力。 五 .勾股定理中数型结合思想的运用 所谓 数形结合思想 ，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“ 以形助数 ” 或 “ 以数解形 ” ，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的。 例题 5在一棵树的 10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树 20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 分析 ：根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解。 好文档好好学习 解 ：如右图所示， D 为树顶， AB = 10m， C 为池塘， AC = 20m 设 BD 的长是 xm，则树高（ x + 10） m AC + AB = BD + DC ， DC = 20 + 10 x 在 ACD 中 A = 90 ， AC 2 + AD2 = DC2 20 2 +（ x + 10） 2 = （ 30 x） 2，解得 x = 5 x + 10 = 15，即树高 15 米 点拨 ：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角