混沌系统的计算机仿真与研究论文

目 录 内容摘要 . I Abstract . 错误 !未定义书签。 第一章 引言 . 1 第二章 MATLAB 实现混沌系统的计算机仿真 . 3 2.1 陈氏系统 . 3 2.2 Lorenz 系统 . 5 2.3 Duffing 系统 . 6 2.4 Rossler 系统 . 8 第三章 永磁同步电动机混沌系统的计算机仿真 . 10 3.1 0 Lqd Tuu 时的情况 . 11 3.2 0,0 dLq uTu 时的情形及 、 qd uu 为一般的情形 . 13 3.3 讨论永磁同步电动机的计算机仿真情况 . 13 第四章 结论 . 17 参考文献 . 18 襄樊学院毕业论文（设计） 1 第一章 引言 1903 年，美国数学家 Poincare J.H.在科学与方法中提出了 Poincare 猜想。该猜想是将动力学系统与拓扑学这两个大的领域结合起来，指出混沌存在的可能性， 从而他成为世界上最先了解存在混沌可能性的人 1 。到了 20 世纪 60 年代，人们对科学上那些神秘莫测之谜的探索，使得混沌学得到了飞速的发展。其中最早的是美国气象学家 Lorenz E.用一台原始的计算机研究气候的变化。 1963 年，他在大气科学上发表的“决定性非周期流”一文中清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本特性，即非常著名的“蝴蝶效应” 2 。可以说是天气预报和气象学的研究打开了混沌学的大门。 Lorenz E.也因此 成为了“混沌学之父”。然而到了20 世纪 70 年代，科学家们开始考虑许多不同种类的不规则现象之间会不会有什么联系。生理学家研究人类心脏、经济学家研究股票价格的升降 3 、气象学家研究云彩的形状、医学家研究血管在显微镜下所看到的交叉缠绕等等，他们都发现其中存在着混沌现象。目前，对混沌的研究已遍及自然科学的各个领域，并且有成功的实际应用 4 。正是这样，混沌才跻身于 20 世纪科学令人震惊的三大成就，即相对论、量子论和混沌论。 混沌是非线性 动力学系统所特有的一种运动形式，混沌信号具有丰富的非线性动力学特征 5 。无论哪种状态，当系统进入混沌过程后，就会表现为整体的不可预测性或表现为局部的不可预测性，但最终的结果都是不确定的、随机的 6 。混沌系统的一个典型特征就是对初始条件非常敏感，意思是初始条件的微小差别将导致最后结果的极大差别 ,或者是起初小的误差将产生灾难性的后果。气象学家洛伦兹根据牛顿定律建立了温度和压强，压强和风速之间的非线性方程组，他将方程组在计算机上模 拟，因为嫌弃那些参数的小数点后的位数太多，输入烦琐，便舍去了几位，尽管舍去部分微不足道，可是结果却大大出乎意料地大相径庭。长期以来，人们实际上默认一切确定性系统都是不敏感地依赖于初始值的。但是，混沌研究改变了这一观点。处在混沌状态的系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。从两个邻近的初值出发的两条轨道，在短时间内似乎差距不大，但在足够长的时间以后，必然呈现出显著的差别来。当然这里说的足够长的时间，在不同的系统中存在着很大的差别。混沌理论的研究揭示了除广泛存在的外在随机性之外，甚至确定论系统本身也普遍具有内在的 随机性。 在此基础上将混沌理论应用在永磁同步电动机中，过去对电机的研究主要涉及启动、调速和振动等问题，随着对电机动态特性的深入研究 ,电力工作者发现了电动襄樊学院毕业论文 (设计 ) 2 机传动系统的一些不规则的现象 ,如调速系统的超低频振荡或随机振荡 ,不规则的电磁噪音和控制性能的不稳定等，这些现象直接影响到电机的效率和运行质量。由于电动机传动系统的复杂性，他们往往将这些不规则现象归为系统设计缺陷或系统故障进行研究，因此找不到解决这些问题的方法。直到最近二十年，随着混沌学研究的深入，人们利用动态系统混沌理论分析这些不规则运动，发现电机传动系统中与混沌现象的相似之处 ,如对参数和初始条件的敏感依赖性，不存在固定周期轨道，运动轨迹的长期不可预测性等，这些揭示了电机运动中貌似随机振荡的混沌机理7 。正如我们研究混沌并不是仅仅基于这个现象，而是将混沌理论应用与实际的系统中，分析什么参数下系统处在一个极限环上，什么参数下系统出现混沌，将这个临界的状态找出来。混沌现象对永磁同步电动机的运行可能是有害的，也可能是有益的，在有害的状态下进行控制使系统进入规则的周期运动，在有益的状态下实现系统的混沌反控制。重点研究了气隙均匀 的永磁同步电动机，利用 MATLAB 软件对那些受到仪器、环境等限制而无法通过实验来进行仿真的系统。而最初研究混沌现象也是用 MATLAB 来实现的， MATLAB 提供多个工具箱、专业仿真模块库，输入程序后直接出来仿真图形，形象直观。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 3 第二章 MATLAB 实现混沌系统的计算机仿真 MATLAB 是国际公认的最优秀的科技应用软件之一，具有极高的编程效率和强大的作图功能，利用其偏微分方程工具箱图形用户界面和函数命令，可方便地实现混沌系统的计算机仿真。 MATLAB 应用起来非常方便，不仅可以在命令行窗口中实现仿真，还 可以通过编写程序来实现。在 MATLAB 中编程是通过一种被称为 M 语言的高级语言来实现的，其实一个 M 语言文件就是由若干 MATLAB 的命令组合在一起构成的， M 语言和 C 语言类似。下面就详细介绍利用 MATLAB 来对陈氏系统、 Lorenz 系统、 Duffing 系统和 Rossler 系统进行计算机仿真。 2.1 陈氏系统 1999 年，陈关荣在研究混沌反控制的过程中发现了一个类似结构简单的三维自治混沌系统，命名为 Chens 混沌系统。近年来 ,关于 Chens 系统本身特性的研究以及控制与同步的研究越来越多。陈氏系统的数学模型 可以写为如下的三阶微分方程 bzxyzcyxzxacyxyax)()( (1) 其中当参数 a=35,b=3,c=28,初始值为 0,1,0时 ,Chen s混沌系统有一个混沌吸引子。下面我们用两种方法来实现混沌仿真：一种是建立 M文件编写程序来实现混沌仿真；一种用 MATLAB 函数命令实现。 我们来介绍建立 M文件编程来实现计算机仿真。打开 MATLAB，在 File 菜单目录下的 New 中单击 M-File，即建立 M 文件，在 M文件的环境中编写程序，为了设计程 序方便 ,我们设 y1=x,y2=y,y3=z,则 Chen s系统的 MATLAB 仿真实现程序清单如下 : function Chens() tspan=0,15； y0=0.00；1.00；0.00； t,y=ode45(chens.tspan,y0)； y1=y(:,1)； y2=y(:,2)； y3=y(:,3)； figure(1) plot(t,y1, k ) figure(2) plot3(y1,y2,y3, k ) function yprime=chens(t,y) 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 4 yprime=35*y(2)-35*y(1)；28*y(2)-7*y(1)-y(1)*y(3)；y(1)*y(2)-3*y(3)； 在 M文件的环境中输入上述程序后进行保存，可以单击 File 菜单下的 Save 栏进行保存或直接单击窗口上方的保存键。保存后就要运行出仿真的图像，在 Debug 菜单下单击 Run 键运行，程序不可能一次就编写成功，出现错误后还要进行调试，有时程序是对的，但是在输入的时候掉了一个分号，少了一个逗号，这种错误在 MATLAB编程中是很常见的。运行后图像没有马上出来就需要检查错误，可以在命令行窗口中看错误提示， 来分析错误的来源，修改完程序正确后就会出现仿真结果。 当参数 a=35,b=3,c=28,初始值为 0,1,0时 ,陈氏系统的仿真结果见图 (1)、 (2)所示，出现一个奇怪吸引子。 Chen s 系统的 x-t 曲线见图 (1)，相图见图 (2)所示，由图可以看出此时系统处于混沌状态，有一个混沌吸引子。为了更仔细的观察这个混沌吸引子，我们可以改动部分程序得到在二维中的相图，见图 (3)、图 (4)、图 (5)，可以看出这个混沌吸引子在 xz 平面和 yz 平面中的图形很相似。我们将混沌区的任何小部分放大，看起来都与整个图相似。这也正是 混沌系统有序性的一个表现，即任何混沌系统其内部的结构都是有序的。 我们还用 MATLAB 函数命令进行该系统仿真。首先创建 Chens.m 函数文件， Chens.m文件的内容是： function xdot=chens(t,x) xdot=-35,35,0；-7,28,-x(1)；0,x(1),-3*x； 在 MATLAB 主命令窗口键入如下命令： axis(-30,30,-30,30,0,50) view(70,10) hold on title( attractor of chen ) x0=-10,0,37； t,y=ode23( chens ,0,30,x0)； plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3) 有时候根据自己的需要把数据绘制在指定的区域中，这就可以利用 MATLAB 图形窗口的子图功能来完成，它可以划分为多个图形显示区域，使用子图的方法也非常简单，只要使用 subplot 函数选择绘制区域即可。 由上述分析可知，在 MATLAB 中我们可以用两种方法来实现混沌系统的计算机仿真，不仅可以使用 M文件编程，还可以在命令行窗口中建立函数文件。这也充分体现了MATLAB 使用的 灵活性。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 5 图 (1)陈氏系统的 x-t曲线 图 (2)陈氏系统的三维相图 图 (3)xy平面的相图 图 (4)xz平面的相图 图 (5)yz平面的相图 2.2 Lorenz 系统 Lorenz 系统的原型是空气在两个温度不同的平行板之间进行对流和热传导形成的小气候系统 ,该系统可用一组偏微分方程描述 .Lorenz 系统方程组可写为如下： bzxyzyrxxzyyxx )( （ 2） 其中 3/8,10 b ,r 取不同的值，由于该系统和陈氏系统的方程相似，这里我们就不在把程序一一列出来。 因为混沌系统对初始条件的要求非常敏感 ,初始条件的微小变化都可以引起大的差别 ,所以 r 的取值不同 ,所得到的曲线和相图也是不一样的。当 r=5 时，时 Lorenz的 x-t曲线见图 (6),相图见图 (7)所示 ,则该动力学系统经过较短的时间波动后最终归结在一个不动点上；当 r=24.08 时， Lorenz 的 x-t 曲线见图 (8),相图见图 (9),经过短时间的波动后系统很快就归结在一个极限环上 ,此时 的系统处在周期起伏状态 ,仍然没有处于混沌状态。当 r=24.09 时， Lorenz 的 x-t 曲线见图 (10)，相图见襄樊学院毕业论文 (设计 ) 6 图 (11)，此时系统已处于混沌状态。 图 (6)x-t曲线 (r=5) 图 (7)Lorenz相图 (r=5) 图 (10)x-t曲线 (r=24.09) 图 (8)x-t 曲线 (r=24.08) 图 (9)相图 (r=24.08) 图 (11)相图 (r=24.09) 图 (12)和图 (13)分别是 x=y=z=1.0、 x=y=z=1.1 时的混沌吸引子的相图。 我们可以从 x-t曲线和相图看出系统是否处于混沌状态与参数有关，轨迹与初始值有很大的关系。这些相图表明 Lorenz 系统具有的独特性质和结构称该相图为混沌系统吸引子 ,亦称奇怪吸引子。混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动 ,其奇怪吸引子表现出整体稳定性和局部发散性。 图 (12)Lorenz 相图 (r=24.09) 图 (13)Lorenz 相图 (r=24.09) 2.3 Duffing 系统 周 期 外 力 作 用 下 的 Duffing 方程为 tFxxax c o s3 , 我们令tutzyx s i n,c o s, ,则 Duffing 方程可以变为 : 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 7 zuuzFzxayyyx23 （ 3） 取 a=0.1, =1, =1,x(0)=y(0)=1.00,F 取不同的值时 ,系统处于不同的状态。 当 F=0.6时 ,Duffing的 x-t曲线见图 (14),相图见图 (15),此时系统处于周期起伏状态 ,没有处于混沌状态。当 F=20 时 ,Duffing 的 x-t 曲线见图 (16),相图见图 (17),此时系统完全处于混沌状态。 图 (14)x-t曲线 (F=0.6) 图 (15) 相图 (F=0.6) 图 (16)x-t 曲线 (F=20) 图 (17)相图 (F=20) 当 F=0 时， X-t 曲线见图 (18),相图见图 (19),系统的行为会在相平面表现为鞍点和中心，系统响应随初始条件的不同最终将收敛到两中心中的一个。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 8 图 (18)X-t曲线 (F=0) 图 (19)相图 (F=0) 由以上的可 以看出，随着初始条件的改变，系统实现从周期通过倍周期分岔通向混沌状态的全过程。系统从周期到混沌的过渡过程很快，只要有一个很小的扰动就可以很容易地使系统从混沌运动走向周期运动，这时系统对微弱的外界作用有很强的敏感性。我们知道 Duffing 系统是人们熟知的表现出混沌现象的实际系统，它描述在恒力与周期力共同作用下的物理摆运动；也描述直流与交流电流共同作用下的约瑟和森 (Josephson)结。在振动与电路问题中，希望抑制和消除混沌现象。在仅需抑制与消除混沌为目的的控制中，采用非反馈法简单方便，容易实现。通过相位匹配 的调节，可以做到微小信号的调节，使系统保持原有的特征。通过数值仿真和理论分析，在足够长的时间内观察其相轨线的发展与演化和控制的稳定性，就可以看到微小信号周期控制的机制是：小控制信号在混沌系统中发现能与之共振的不稳定周期轨道，并在最佳的匹配相位中将其稳定住。 2.4 Rossler 系统 1976 年， Rossler 在研究具有中间产物的化学反映问题时，通过适当的标度变换，给出了一个很简单的非线性常微分方程组，即著名的 Rossler 方程，可以表示如下： zcxbzayxyzyx)()( （ 4） 当参数 a=b=0.2,c=5.7,初始条件 x(0)=y(0)=z(0)=1.00 时 ,Rossler 系统的 x-t 曲线见图 (20),三维相图见图 (21),此时 Rossler 系统已经处于混沌状态 ,由图 (21)可以看到出现的是一个奇怪吸引子。为了更清楚的观察这个奇怪吸引子，可以修改部分程序得到二维里面的相图，图 (22)、图 (23)、图 (24)分别是这个吸引子在二维里的相图。 图 (20)Rossler 系统的 x-t曲线 图 (21)Rossler 系统的相图 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 9 图 (22)xy平面的相图 图 (23)xz平面的相图 图 (24)yz平面的相图 在混沌系统仿真中初始值的选取至关重要，在选取初始值时，很细微的差别仿真结果的变化都非常明显，这也充分证明了混沌现象对初始值的敏感性。而 Lorenz 和Rossler 系统初始值的选取都选择状态向量。从混沌系统的 x-t 曲线图和相图看 ,混沌吸引子相图有许多特点：可以看出混沌运动本身有确定的动力学方程 (式 (1)、(2)、 (3)和 (4) ,而该动力 学方程是否处于混沌状态还取决于方程的初值以及参数的值 ,即具有初值敏感性；混沌运动的相图通常称为混沌吸引子 ,该吸引子表现出 ,混沌运动从整体看 ,吸引子之外的所有轨线最终将归结到吸引子范围之内 (图 12、图17和图 21)；而吸引子本身却由既折叠又分离由混杂的轨线构成，无法确定其未来的轨迹。也就是说混沌运动是一种整体收敛而局部发散的运动。我们从各种经典混沌系统仿真实现程序可看出 MATLAB是一种优秀的工程软件 ,对微分方程解法提供数值解 ,简便直观 ,对混沌系统仿真不仅提供动态仿真模块 ,同时提供程序方式；本文以程序方式对混 沌系统进行仿真 ,程序短小精悍 ,所得的图形对研究混沌运动有较好的参考价值。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 10 第三章 永磁同步电动机混沌系统的计算机仿真 电机是以磁场为媒介而进行机械能和电能相互交换的电磁装置 ,过去对电机的研究主要涉及启动、调速和振动等问题。随着对电机动态特性的深入研究 ,电力工作者们发现了电动机传动系统中的一些不规则现象 ,如调速系统的超低频振荡或随机振荡 ,不规则的电磁噪音和控制性能的不稳定等，这些现象都直接影响到电机的效率和运行的质量。但是由于电动机传动系统的复杂性 ,他们往往将这些不规则现象归结为系统设计缺陷或系统故 障而进行研究 ,因此找不到解决这些问题的方法。70 年代以来 ,随着混沌学研究的深入 ,人们开始利用动态系统混沌理论分析这些不规则的运动 ,发现了电机传动系统中与混沌现象的相似之处 ,如对参数和初始条件的敏感依赖性 ,不存在固定周期轨道 ,运动轨迹的长期不可预测性等 ,揭示了电机运动中貌似随机振荡的混沌机理。在此基础上我们进一步的讨论研究永磁同步电动机的混沌机理，知道永磁同步电动机在某些参数选择下会呈现出极限环 ,什么条件下产生混沌。混沌的存在将严重影响电机运行的稳定性 ,可以通过适当的控制来削弱或消除混沌现象。众所周知 ,电机系 统的数学模型是多变量、强耦合的非线性系统，对非线性动力系统的动态特性的进一步研究必然涉及到混沌。我们通过对永磁同步电动机模型的仿射变换和时间尺度变换 ,给出了适合分析混沌运动的永磁同步电动机模型。现在以 和、 qd ii 为状态变量 , 永磁同步电动机的数学模型可以写为： JTiiLLnindtdLiLiRudtdiLiLiRudtdiLqdqdpqrqqrddqqqdqqddd)(11 (5) 这里 qd uu 和 是 d-q轴定子电压， J 是转动惯量， LT 是外部扭矩， 是粘性阻尼系数，1R 是定子绕阻， qL和dL 是 d-q轴定子电感， qd ii 和 是电流， 是转子角频率， r 为永久磁通， pn 表示极对数。可以通过仿射变换和时间尺度变换 ,将式 (5)变换成无量纲的状态方程。我们现在研究气隙均匀的永磁同步电动 机混沌模型的特性，即考虑LLL qd 的情形，此时模型变为： LqqdqqdqddTidtduiidtdiuiidtdi)(/ （ 6） 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 11 3.1 0 Lqd Tuu 时的情况 本文考虑一种典型的情况，即永磁同步电动机在稳定运行一段时间后突然断电的一种情况，系统在一定的参数条件下出现的动态特性，这时 0 Lqd Tuu ，它可以看成此时设置一定的参数和初始值就可以得到永磁同步电动机的混沌图形。我们设zyixi qd , ,则气隙均匀的永磁同步电动机的数学模型可以表示为如下的三阶微分方程组： )( zyzzxzyyyzxx （ 7） 我们现在利用 MATLAB 编程来计算平衡点，在命令行窗口输入如下程序； syms x1 x2 x3 f1= -x1+x2*x3； f2= -x2-x1*x3+ *x3； f3= *x2- *x3； x1,x2,x3=solve(f1,f2,f3) solution=x1,x2,x3 若系统中的 1， 则系统有三个平衡点 )0,0,0(0 S ， )1,1,1(1 S ，)1,1,1(2 S 。在平衡点附近作线性变换，令 (7)式左边等于 0，得到特征方程如下： 00110000xzyz 其中 ) z , y ,( 00 0x 是平衡点坐标。首先讨论坐标原点 0 qd ii 的稳定性，系统(6)在原点附近线形化，得到 Jacobi 矩阵为： 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 12 010001/)0,0,0(ddtddidtddidtdddtdididtdididtdiddtdididtdididtdiJqdqqqdqdqddd 矩阵的三个特征值分别为 )1(4)1()1(21,1 23,21 同样可以利用 MATLAB 编程来计算平衡点的特征根，程序如下： ；103；102；001；103；102；001；103；102；001zzzyyyxxx a1=-1 z02 y02；-z02 -1 -x02+ ；0 - d02 s02=eig(a1)；d02 a2=-1 z03 y03；-z03 -1 -x03+20；0 5.46 5.46 d03 s03=eig(a2)； d03 如果 0 1，三个特征根都满足 Re 2 时该系统要出现 Hopf 分支。为了设计程序方便，我们令 y1=x,y2=y,y3=z,和根据情况适当的进行调节，其中设初始条件襄樊学院毕业论文 (设计 ) 14 )01.0,01.0,01.0(),( qd ii ，则 MATLAB 仿真实现程序的清单如下： Function yongci() tspan=0,100； y0=0.01；0.01；0.01； t,y=ode45(yongci,tspan,y0)； y1=y(:,1)； y2=y(:,2)； y3=y(:,3)； figure(1) subplot(2,2,1)； plot(t,y1, k ) figure(2) subplot(2,2,1)； plot3(y1,y2,y3, k ) function yprime=yongci(t,y) yprime=y(2)*y(3)-y(1)； 20*y(3)-y(2)-y(1)*y(3)； 5.46*(y(2)-y(3)； 图 (25)至图 (32)是在初始条件 x(0)=y(0)=z(0)=0.01，固定参数，改变条件下气隙均匀的永磁同步电动机混沌系统的相图。由 3.1 的分析可知，当= 2 )4( H ， 2，系统产生 Hopf 分支，即出现混沌。为了找出极限环、混沌的临界值，分别改变和的值，通过 MATLAB 仿真得出如下结论。 令 =20，改变。当 =0.3 时，图 (25)是 X-t曲线图，对应的三维相图见图 (26),该系统经过较短的时间波动后最 终归结在一个不动点上。继续调整参数的取值，图 (27)是 =2.98 时的相图，此时系统经过较短时间的运动后归结在一个极限环上。当 =3.03 时，系统开始呈现混沌，见图 (28)。图 (29)是 =3.35 时，系统出现混沌状态。图 (30)、 (31)、 (32)是在系统出现混沌后继续改变值相图的变化， =4.3时，系统还是处于混沌状态，但是图 (30)中的混沌吸引子与图 (29)中有些不同，当 =4.4 时相图又有一点变化，见图 (31)，而图 (32)是 =4.5 时的情形，此时图中吸引子内的环继续变大。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 15 图 (25)X-t曲线 ( =0.3) 图 (26)相图 ( =0.3) 图 (27)相图（ =2.98） 图 (28)相图（ =3.03） 图 (29)相图（ =3.35） 图 (30)相图（ =4.3） 图 (31)相图（ =4.4） 图 (32)相图（ =4.5） 再来讨论当固定，令 =5.46，改变时系统的变化情况：图 (33)、 (34)是当=5.46， =20 时系统的 X-t曲线图和相图，从 X-t 曲线看出系统处 于周期起伏状态，说明系统已经处于混沌，看相图可以更一步的看清楚系统处于混沌时的吸引子。当 =14.1 时，系统经过较短时间的波动后很快就归结在一个极限环上，此时系统处在周期起伏状态 ,并没有出现混沌，见图 (35)的相图。当 =14.93 时，系统呈现混沌。当 =20 时，系统出现混沌。说明在运行一段时间突然断电后，系统在不同的参数选择下呈现不同的动态特性。 也可以从理论上来分析，当 =5.46，由 3.1 分析的当 = 2 )4( H 时，系统将产生 Hopf 分支，把 =5.46 代入 2 )4( H式子中，得到 =14.93，与实验中得到的结果完全相符。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 16 图 (33)X-t曲线 (r=20) 图 (34)三维相图 (r=20) 图 (35)相图 (r=14.1) 图 (36)相图 (r=14.93) 从以上的分 析可知， 我们重点 讨论的 是气隙均 匀的永磁 同步电动 机中0 Lqd Tuu 的情况，在这个条件下我们又分别讨论当的值固定、值变化 和值变化、值固定时系统出现混沌的两种情况，找出这种情况下出现混沌的临界值。在张卓等人讨论永磁电动机中产生的混沌是从理论上来分析，本文主要是在理论的基础上，通过实验仿真更加清楚的研究系统出现混沌的具体参数。对工程上控制永磁同步电动机的混沌提供参考，并得出以下结论： (1) =20，改变： (a)当 =0.3，系统经过较短的时间波动后最终归结在一个不动点上。 (b)当 =2.98，系统经过较短时间的运动后归结在一个极限环上。 (c)当 =3.03，系统开始呈现混沌。 (2) =5.46,改变： 当 =14.1，系统经过较短时间的波动后很快就归结在一个极限环上。 当 =14.93 时，系统呈现混沌。 在 0,0 dLq uTu 的情形下，当 2 242dHd uu 时，系统发生霍夫(Hopf)分支，当 dHd uu 时，平衡点将变得不稳定。 在 、 qd uu 为一般是的情形，如果适当调节 du ，使得222 22)(42 zxyz 成立，系统将呈现极限环；当 LT 取定，适襄樊学院毕业论文 (设计 ) 17 当调整 qdu u或 的值，则会出现混沌。 第四章 结论 本文开始讨论了 Chen 系统、 Lorenz 系统、 Duffing 系统、 Rossler 系统的计算机仿真。 当参数 a=35,b=3,c=28,初始值为 0,1,0时 ,Chen s 混沌系统有一个混沌吸引子。 当 =10， b=8/3， r=24.09 时，系统处于混沌状态。 当 a=0.1, =1, =1,x(0)=y(0)=1.00,F=20 时，系统处于混沌状态。 当参数 a=b=0.2,c=5.7,初始条件 x(0)=y(0)=z(0)=1.00 时 , Rossler 系统处于混沌状态 ,也是一个奇怪吸引子。 在此基础上通过计算机仿真重点讨论的是气隙均匀的永磁同步电动机中0 Lqd Tuu 的情况，此时只有和两个参数变化。第一种情况是 =20，改变：当 =0.3 时，系统运动一段时间后归结在一个不动点上；当 =2.98 时，系统运动一段较短的时间后归结在一个极限环上；当 =3.03 时，系统开始呈现混沌；当 =3.35 时，系统已经出现混沌。第二种情况是 =5.46，改变值：当 =14.1时，系统运动很短的时间后归结在一个极限环上；当 =14.93 时，系统开始呈现混沌； =20 时，系统出现混沌。 从前研究结果看出，混沌现象对永磁同步电动机的运行可能是有害的，也可能是有益的，如何设计出简单有效控制器控制永磁同步电动机混沌，是个很重要的工程问题。研究永磁同步电动机的混沌现象是非常有必要的，当系统处于混沌运动时，永磁同步电动机出现无规则的振荡，转速忽高忽低，这将严重危及电机转动的稳定性，甚至会引起机电系统的崩溃，因此必须研究抑制或消除 PMSM 中的混沌运动的方法。而本文正是通过对该系统的计算机仿真，看出系统在什么参数条件下归结在一个极限环上，在什么参数条件下出现混沌，由此可以为后来对混沌的控制有一个指导。在出现混沌的情况下消除或抑制系统有害的混沌现象，也就是进行反控制；在需要混沌的地方引起混沌现象的产生，即对该系统进行控制。这些都为工程上对永磁电动机中混沌的控制提供了参考。 襄樊学院毕业论文 (设计 ) 18 参考文献 1 吕振环 ,吴素文 ,李喜霞 . 论混沌学的发展、特性及其意义 沈阳农业大学学报 ,(社会科学版 ),2004-03,6(1):84 86. 2 E.N.Lorenz. 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