十校2015届高三上学期第一次联考数学文试题（文数）

“十 校” 2015 届 高三 第一次 联考 数学（文科） 2014.8 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型 (A)填涂在答题卡相应位置上 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 ，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 ,不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设全集 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,U P Q ()UP C Q则=（ ） A 1,2 B 3,4,5 C 1,2,6,7 D 1,2,3,4,5 2设复数 iz 11 ， )(22 Rbbiz ，若 21 zz 为实数，则 b 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 3 若平面向量 a )2,1( 与 b 的夹角是 180 ，且 b 53 ，则 b 的坐标为 （ ） A )6,3( B )6,3( C )3,6( D )3,6( 4. 已知函数 4 0 ,4 0 .x x xfxx x x ， 则函数 fx的零点个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5. 在等比数列 na中 , 若3 6 2 4 59 , 2 7a a a a a, 则2a的值为 （ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9 6. 下列 有关命题的说法正确的是 ( ) A 命题“若 2 1x ，则 1x ”的否命题为：“若 2 1x ，则 1x ” B “ 1x ” 是“ 2 5 6 0xx ”的必要不充分条件 . C 命题“若 xy ，则 sin sinxy ”的逆否命题为真命题 . D 命题“ xR， 使得 2 10xx ”的否定是：“ xR， 均有 2 10xx ” 7. 已知函数 ( ) s i n ( ) ( )2f x x x R ，下面结论 错误 的是（ ） A. 函数 ()fx的最小正周期为 2 B. 函数 ()fx 在区间 0,2上是增函数 C. 函数 ()fx的图像关于直线 0x 对称 D. 函数 ()fx 是奇函数 8. 若双曲线 )0(13 2222 ayax的离心率为 2，则 a 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 1 9. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体 的体积是 （ ） A 3 B. 25 C 2 D.23 （第 9 题图） 10. 已知 ,f x g x 都是定义在 R 上的函数， 0gx ， f x g x f x g x ， 0 , 1xf x a g x a a ， 1151 1 2ffgg ，在有穷数列 1 , 2 1 0fn ngn 中，任意取正整数 1 10kk ，则前 k 项和大于 1516的概率是 ( ) 1A.5 2B.5 3C.5 4D.5 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，满分 20分其中 14 15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分 11. 如图，函数 2xfx ， 2g x x ，若输入的 x 值为 3， 则输出的 hx的值为 . 12 函数 1)1(log xya（ )1,0 aa 的图象必定 经过的点坐标为 . 13. 已知 实数 ,xy满足约束条件0005yyxyx ，则24z x y 的最小值是 . 14（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中， 圆 cos4 的圆心极坐标为 15（几何证明选讲选做题） 如图， AB 是半圆 O 的 直径， C 是半圆 O 上异于 BA, 的点， CD AB ，垂足为 D . 若 2AD ， 43CB ，则 CD 是 否 开始 ( ) ( )h x f x ( ) ( )f x g x 输出 ()hx 输入 x 结束 ( ) ( )h x g x （ 第 11 题图） A B C D O （第 15 题图） 三、解答题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16（本小题满分 12 分） .已知锐角 ABC 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 6c ， s i n 2 3 c o s 2CC ， （ 1）求 角 C 的大小； （ 2）若 1sin3A，求 ABC 的面积 . 17.（本小题满分 12分） 某学校高二年级共有 1000名学生，其中男生 650人，女生 350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了 200名学生 . （ 1） 完成下面的 22 列联表 ； 不喜欢运动 喜欢运动 合计 女生 50 男生 合计 100 200 （ 2） 在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间， 发现她们的运动时间介于 30分钟到 90分钟之间，右图是测量结果的频 率 分布直方图，若从区间段 )50,40 和 )70,60 的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率 . 18.（本小题满分 14 分） 在如图所示的几何体中 , ABC 是边长为 2 的正三角形 . 若 1,AE AE平面 ABC , 平面 BCD 平面 ABC , CDBD ,且 .BD CD （ 1）求证： AE /平面 BCD ； （ 2） 求证： 平面 BDE 平面 CDE . 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22: 1 0 xyC a bab的左右焦点分别为 121 , 0 1 , 0 、FF，且经过点31,2P,M 为椭圆上的动点，以 M 为圆心，2MF为半径作圆 M . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若圆 M 与 y 轴有两个交点，求点 M 横坐标的取值范围 . 20 (本小题满分 14 分 ) 已知函数 23)( nxmxxf （ m ， Rn ， nm 且 0m ）的图象在 )2(,2( f 处的切线与 x 轴平行 . （ 1） 确定 实数 m 、 n 的 正、负 号； （ 2） 若函数 )(xfy 在区间 , nm 上有最大 值为 2nm ，求 m 的值 21 (本小题满分 14 分 ) 已知数列 na 是各项均不为 0的等差 数列，公差为 d， nS 为其前 n项和，且 满足2 21nnaS ,*N数列 nb 满足11n nnb aa ,n *N， nT 为数列 nb 的前 n项和 （ 1） 求数列 na 的通项公式 na ； （ 2） 若对任意的n *N，不等式 8 ( 1 ) nnTn 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3） 是否存在正整数,mn(1 )mn，使得 1 ,mnT T T 成等比数列？若存在，求出所有（第 18 题图） ,mn 的值；若不存在，请说明理由 数学（文科） 答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B C D B D C 二填空 11. 9 12. )1,2( 13. 15 14. ),2( 15. 32 三、解答题 16. （ 1） s i n 2 3 c o s 2CC ， 即 tan 2 3C . 3 分 又 C 为锐角 , 2 0,C , 223C , 3C . 5 分 （ 2） 在 锐角 ABC 中，3 34s ins in aAaCc. 7 分 又 1sin3A,且 A 为锐角， 22cos3A . 8 分 6 621s i nc o sc o ss i n)s i n (s i n CACACAB , 10分 3 21232s in21 BacS ABC . 12分 17. 解： （ 1） 根据分层抽样的定义，知抽取男生 130 人，女生 70 人 ， 1 分 不喜欢运动 喜欢运动 合计 女生 50 20 70 男生 50 80 130 合计 100 100 200 3 分 （ 2） 由 直方图 知在 70,60 内的人数为 4 人，设为 , , ,abcd . 在 50,40 的人数为 2 人，设为 ,AB. 5 分 从这 6 人中任选 2 人有 AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 种情况 7 分 若 70,60, yx 时，有 , , , , ,a b a c a d b c b d c d共六种情况 9分 若 50,40, yx 时，有 AB 一种情况 10分 事件 A:“她们在同一区间段” 所包含的基本事件个数有 6 1 7 种， 11分 故 157)P(A 答： 两名女生的运动时间在同一区间段的概率 为157. 12分 18 证明 :(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM , 因为 CDBD ， 且 .BD CD 2BC 所以 1DM ,DM BC , AM BC . 1 分 又因为平面 BCD 平面 ABC , 所以 DM 平面 ABC 3 分 因为 AE 平面 ABC , 所以 AE DM ， 4分 又因为 AE 平面 BCD ,DM 平面 BCD ， 5M B C E D A 分 所以 AE 平面 BCD . 6分 (2)由 (1)已证 AE DM ,又 1AE , 1DM , 所以四边形 DMAE 是平行四边形 , 7 分 所以 DE AM . 8 分 由（ 1）已证 AM BC ， 又因为平面 BCD 平面 ABC , 所以 AM 平面 BCD , 10 分 所以 DE 平面 BCD . 11 分 又 CD 平面 BCD ,所以 DE CD . 12 分 因为 BD CD , DDEBD , 所以 CD 平面 BDE . 13 分 因为 CD 平面 CDE , 所以平面 BDE 平面 CDE . 14 分 19. 解：（ 1）由椭圆定义得122P F P F a， 1 分 即 2222332 1 1 1 1 422 a, 3 分 2a . 又 1c , 2 2 2 3 b a c . 5 分 故椭圆方程为 22143xy. 6 分 （ 2）设 00,M x y，则圆 M 的半径 2 2001 r x y， 7 分 圆心 M 到 y 轴距离0dx , 8 分 若圆 M 与 y 轴有两个交点则有 rd即 2 20 0 01 x y x, 9 分 化简得 2002 1 0 yx. 10 分 M 为椭圆上的点 220033 4 yx, 11 分 代入以上不等式得 2003 8 1 6 0 xx ，解得0 44 3 x . 12 分 022 x, 13 分 0 42 3 x. 14 分 20. 解： （ 1） nxmxxf 23)( 2 1 分 由图象在 )2(,2( f 处的切线与 x 轴平行， 知 0)2( f ， mn 3 . 2 分 又 mn ，故 0n ， 0m . 3分 (2) 令 06323)( 22 mxmxnxmxxf , 得 0x 或 2x . 4 分 0m ，令 0)2(3)( xmxxf ，得 ,0x 或 2x 令 0)2(3)( xmxxf ，得 20 x . 于是 )(xf 在区间 ( ,0) 内为增函数，在 (0,2) 内为 减 函数 ,在 (2, ) 内为 增 函数 . 0x 是 )(xf 的极大值点， 2x 是极小值点 . 5分 令 0)0()( fxf ，得 0x 或 3x . 6分 分类 ： 当 30 m 时， 0)0()(max fxf， 02 nm . 由30032mnmmn解 得91m， 8 分 当 3m 时， nmmmfxf 24m ax )()( , 9 分 224 nmnmm . n 0 2 3 由mnnmnmm3224 得 0193 23 mmm . 10分 记 193)( 23 mmmmg , 06)1(3963)( 22 mmmmg , 11 分 )(mg 在 R 上是增函数，又 3m ， 026)3()( gmg , 12 分 0)( mg 在 ,3 上无实数根 . 13分 综上， m 的值为91. 14 分 21. 解： （ 1） 在2 21nnaS中 ， 令1n，2n， 得,322121SaSa 即,33)(,121121dadaaa 2分 解得11a，2d，21nan 3分 又n 时，2nSn满足2 21，n 4分 （ 2）11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n nnb a a n n n n ， 5分 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n 6分 当n为偶数时，要使不等式8 ( 1 ) nnTn 恒成立，即需不等式( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 7nn nnn 恒成立 7分 828n n，等号在2n时取得 此时 需满足25. 8分 当n为奇数时 ， 要使不等式8 ( 1 ) nn 恒成立 ， 即需不等式 ( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 5nn nnn 恒成立 82n n是随n的增大而增大， 1n时2取得最小值6 此时 需满足21