2014年国庆高中物理竞赛集训一知识点梳理2

2014年国庆高中物理竞赛集训一 知识点梳理 （第二次） 资料说明 本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。本班型导学共由4份书面资料构成。 （2014 年国庆集中培训课程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-23-2 2014-9-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程知识点梳理 2014年国庆高中物理竞赛集训一知识点梳理 (力学部分2) 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 能量、动量和角动量. 5 1. 功能原理 . 5 2. 动能定理 . 5 3. 动量守恒 . 5 4. 角动量守恒 . 5 二、 天体运动 . 7 1. 万有引力 . 7 2. 开普勒行星运动定律 . 7 3. 宇宙速度与轨道能量 . 7 例题选讲 . 9 北京清北学堂教育科技有限公司 第2页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 知识框架 能量、动量和角动量 功能原理 动能定理 动量守恒 角动量守恒 天体运动 万有引力 开普勒行星运动定律 宇宙速度与轨道能量 北京清北学堂教育科技有限公司 第3页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 重点难点 能量、动量和角动量中动量守恒涉及较多碰撞问题，需要灵活运用碰撞规律；还需要熟悉角动量守恒，并在天体运动中灵活运用。天体运动开普勒行星运动定律是重点，结合角动量守恒定律基本可求解天体运动问题。 北京清北学堂教育科技有限公司 第4页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 知识梳理 一、 能量、动量和角动量 1. 功能原理 系统机械能的变化量等于外力对系统所做总功与系统内耗散力做功的代数和。耗散力指的是非保守力，即做功与路径有关的力。目前接触到的力除重力、库仑力外其他力均为非保守力。 2. 动能定理 （1） 机械能守恒 系统内只有保守力做功，其他非保守内力和外力做功之和为零，系统的机械能守恒。 （2） 动能定理 系统所有外力与所有内力对系统做功的代数和等于系统总动能的变化量，即： =+12kkEEWW内外 需要注意，考虑质点系时要考虑内力做功。 类比质点运动动能，刚体转动动能为221IEk=，对转动刚体动能定理仍然成立，即 2022121 IIW = 动能定理常用于计算变加速运动速度。 3. 动量守恒 （1） 动量守恒 质点系动量定理：0)( pptF=外 如果= 0外F，则0pp=。因此，系统不受外力或者受外力之和为零，系统的总动量保持不变，即质点系的总动量是守恒的。 若系统在某一方向上不受外力（或外力分量之和为零），则系统在该方向上的动量守恒。 在处理碰撞或爆炸问题时，系统内力作用远强于外力作用，可近似认为无外力作用于系统，动量守恒仍然成立。 （2） 碰撞 碰撞过程满足动量守恒。碰撞前后物体速度在同一直线为正碰，否则为斜碰。碰撞中无机械能损失为弹性碰撞，有机械能损失为非弹性碰撞。当碰撞后两物体速度相同时，为完全非弹性碰撞。 描述碰撞非弹性程度的量为恢复系数，定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度的比值，即1212vvvve=。对弹性碰撞，1=e，完全非弹性碰撞0=e，一般非弹性碰撞10 e。对斜碰，取沿碰撞接触面法线方向的相对速度为接近速度和分离速度即可。 对弹性碰撞，使用1=e及动量守恒计算碰撞后速度，比使用机械能守恒方便得多。 4. 角动量守恒 角动量定义为动量对转轴（支点）的矩，也称为动量矩，即sinmvrvmrL =。 北京清北学堂教育科技有限公司 第5页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 角动量是刚体转动中的物理量，类比质点运动动量的定义，质量对应转动惯量，速度对应角速度，有IL =。 类比动量定理，角动量定理的形式为)( ItM =。 对刚体，绕定轴转动惯量I为常数，角动量定理为= ItM。 对非刚体，转动惯量I不为常数，角动量定理为1122 IItM =。 当物体所受合外力矩为零时，角动量守恒。合外力矩为零的一种特殊情况是物体受到有心力场作用，如行星绕恒星转动。 北京清北学堂教育科技有限公司 第6页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 二、 天体运动 1. 万有引力 质量为M的球对称分布球体，半径为R，则与另一个质量为m的质点B间的万有引力为 =RrrmrMGRrrMmGF22)(，其中)(rM表示半径r内的部分球的质量。 如果A、B都是质量球对称分布的球形物体，相距很远，则万有引力为将其质量集中于球心处的质点间的万有引力，即2rMmGF = 两个相距为r的质点M、m，其间引力势能为rGMmEp=。若M为质量均匀半径为R的球壳，则引力势能=双曲线轨道抛物线轨道椭圆轨道圆00/0EEE 北京清北学堂教育科技有限公司 第8页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 例题选讲 例1. 嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.05 10nH km= ，远地点离地面高45.0930 10fH km= ，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量32.350 10m kg= ，地球半径36.378 10R km= ，地面重力加速度29.81 /g ms=，月球半径31.738 10r km= 。 1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。 2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度Hm约为200km，周期Tm=127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。 解： 1. 椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）nr与fr的算术平均值，即有 ( ) ( ) ( ) ( )nf n f n f11 122 2a rr HR HR HH R= += + + = + + (1) 代入数据得43.1946 10a = km (2) 椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有nfb rr= (3) 代入数据得 41.942 10 kmb = (4) 椭圆的偏心率 abae22= (5) 代入数据即得 0.7941e = (6) 2. 当卫星在16小时轨道上运行时，以nv和fv分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 北京清北学堂教育科技有限公司 第9页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 22nfnf11GMm GMmmmrr=vv (7) 式中M是地球质量，G是万有引力常量. 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有nn ffmr mr=vv (8) 注意到gRGM=2 (9) 由(7)、(8)、(9)式可得 fnnf n2r gRrr r=+v (10) nnfnf ff n2rrgRr rr r= =+vv (11) 当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有nnr RH= + ffr RH= + 由(11)式并代入有关数据得f1.198 /km s=v (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度4ff5.0930 10H H km = = ，但新轨道近地点高度2n6.00 10H km = .由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f1.230 /km s =v (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为t，有 ( )ffm Ft =vv (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得21.5 10 st= (15) 这比运行周期小得多. 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小sin 2L rm ms= =v (16) 其中1sin2rs= v （17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故s是恒量.利用远地点处的角动量，得ff12rs = v (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为S ab= (19) 所以卫星沿轨道运动的周期sST = (20) 由(18)、(19)、(20) 式得ff2abTr=v (21) 北京清北学堂教育科技有限公司 第10页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 代入有关数据得45.678 10Ts= (约15小时46分) (22) 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有2mm22()GM mmrrT= (23) 这里mmr rH= +是卫星绕月轨道半径，mM是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得 23mm22m4 rMMgR T= (24) 代入有关数据得 m0.0124MM= (25) 简析：本题是一道综合的天体运动题目。虽然题目很长，但在天体运动中不外乎角动量守恒和能量守恒，在涉及反冲时还存在动量守恒和动量定理。以上物理定律和椭圆的几何特点是求解天体运动的法宝。 例2. 如图半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、m（为待定系数）。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求： （1）待定系数； （2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力； （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。 解： （1）由于碰撞后球沿圆弧的运动情况与质量无关，因此，A、B两球应同时达到最大高度处，对A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律得44mgR mgRmgR= +，解得3 （2）设A、B第一次碰撞后的速度分别为v1、v2，取方向水平向右为正，对A、B两球组成的系统，有22121122mgR mv mv= + 122m gR mv mv= + 解得112v gR=，方向水平向左；212v gR=，方向水平向右。 设第一次碰撞刚结束时轨道对B球的支持力为N，方向竖直向上为正，则 22vN mg mR=，B球对轨道的压力 4.5N N mg=，方向竖直向下。 14R 北京清北学堂教育科技有限公司 第11页 清北学堂集中培训课程知识点梳理 （3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，取方向水平向右为正，则 1