(电大复习)专科高等数学复习资料2

高等数学期末复习 1、 求函数的定义域： 1）含有平方根的：被开方数 0， 2）含分式的：分母 0 含对数的：真数 0 例： 1.函数)1ln(9 2xxy 的定义域是 2、函数的对应规律 例 ：设 21 3 4 ,f x x x 求 fx 解：由于 f 中的表达式是 x+1，可将等式右端表示为 x+1 的形式 2)(2)1()1(3)1()1( 222 xxxfxxxxxf 或：令 2)(24)1(3)1()(11 222 xxxftttttftxtx 则 3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同 例： 1、下列各函数对中，（ B ）中的两个函数相同 A、 2( ) ,y x y x B、 2 1 ,11xy y xx C、 2l n , 2 l ny x y x D、 22s i n c o s , 1y x x y 4、判断函数的奇偶性 ： 若 f x f x ，则 fx为偶函数 ； 若 f x f x ，则 fx为奇函数 ， 也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数 奇函数、奇函数 偶函 数仍为奇函数；偶函数 偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。 奇函数的图像关于 原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。 例： 下列函数中，（ A ）是偶函数 A 3 sinf x x x B 3 1f x x C xxf x a a D 3 c o sf x x x 5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量 例 1） : 当 0x 时，下列变量为无穷小量的是（ B ） A、 cosx B、 ln(1+x) C、 x+1 D、 xe 2）01lim sinx x x 0 6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等 0limxxx ( D ) A、 1 B、 1 C、 1 D、不存在 7、极限的计算：对于“00”形1s in2)10 xxlinx）利用重要极限约去零因子后再计算 23121330)1l n (0109 2xxxxxxxx且例 1）21111)11(11000 xlinxxxlinxxlinxxx2）)1)(3( )1s in (lim32 )1s in (lim 121 xx xxx x xx )1( )1s in ()3( 1lim 1 xxx )1( )1s in(lim)3(lim 1 11 xxx xx=41141 8、导数的几何意义： 处的切线的斜率在点表示曲线00 )()( xxfyxf ； )(),)(00000 xxxfyyyxxfy 处的切线方程在点（曲线例： 曲线 1)( xxf 在 )2,1( 处的切线斜率是 解：121)1( xxf= )1(212,21 xy故切线方程为：9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导 例 1） 设 2sinln xy ，求 y 解： xxxy 2c o ss in 1 22 例 2） 设 2c o s xy x e ，求 dy 解 ； 21( s i n 2 )2 xd y x x e d xx 10、判断函数的单调性 ： 的区间。系式的区间为单调递增函数单调递增，满足关:0y 的区间。系式的区间为单调递减函数单调递减，满足关:0y 例： .函数 1)1( 2 xy 的单调减少区间是 ），故单调减少区间是（ 110)1(2 xxy 11、应用题的解题步骤： 1）根据题意建立函数关系式， 2）求出驻点（一阶导数 =0 的点） ， 3）根据题意直接回答 例 1） 求曲线 xy 22 上的点，使其到点 )0,2(A 的距离最短 解：曲线 xy 22 上的点到点 )0,2(A 的距离公式为 22)2( yxd d 与 2d 在同一点取到最小值，为计算方便求 2d 的最小值点，将 xy 22 代入得 xxd 2)2( 22 令 2)2(2)( 2 xd 令 0)( 2 d 得 1x 可以验证 1x 是 2d 的最小值点，并由此解出 2y ，即曲线 xy 22 上的点 )2,1( 和点)2,1( 到点 )0,2(A 的距离最短 2） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为 r ，高为 h ，则其表面积为 rhrS 2 2 因为 Vhr 2 2rVh 所以 rVrS 2 2 222 rVrS 由 0S ，得唯一驻点3 Vr ，此时3 Vh，由实际问题可知，当底半径3 Vr 和高3 Vh时可使用料最省 12、 不定积分与原函数的关系 : 设 F x f x ，则称 函数 Fx是 fx的原函数 ., cxFdxxf )()( 例 1） 若 fx的一个 原函数为 1x， 则 fx （ B ） A、 lnx B、 32x C、 1x D 、21x 解：322)(11)(xxfxxxf 2） 已知 s i nx f x d x x c ，则 fx （答案： C） A. sinxxB. sinxx C. cosxxD. cosxx 解：x xxfxxxxf c o s)(c o s)( s in)( 13、性质： ,f x d x f x f x d x f x c 例 1） xxfxx d)(dd 32（ B ） A. )( 3xf B. )( 32 xfx C. )(31 xfD. )(31 3xf例 2） xx d)(tan tanx +C 14、不定 积分的计算： 1）凑微分； 2）分部积分 1） 常用凑微分： ),1(1),( l n1),1)(11),(1 21 xddxxxddxxxddxxbaxdadx ),(21 xddxx )( c o ss i n),( s i nc o s),( xdx d xxdx d xeddxe xx 例 1）若 cxFxxf )(d)( ，则 xxfx d)(1 （ B ） A. cxF )( B. cxF )(2 C. cxF )2( D. cxFx )(1 解： cxFxdxfdxxfx )(2)()(2)(1 例 2） 计算 xxx de21 解： )1(de 121xdexx xx cx 1e 例 3)计算 xx x dlnsin 解 ； cxxdxdxx x )c o s ( l n)( l n)s i n ( l nlns i n2） 分部积分的常见类型：x d xxdvx d xx d xdxex d xxdxexnxnxnc o sc o ss i ns i n 的形式。凑成、把 的形式凑成把 dvdxxx d xx nn ln ，再根据分部积分公式 vduuvudv 计算 例 1） 计算 dxxe x 解： cexedxexeexdxdxedxxe xxxxxxx )()( 例 2） 计算不定积分 xxx d3cos 解： cxxxx dxxxxxdxxdxx dxx 3c os313s i n313s i n3s i n31)3( s i n31)3(3c os313c os例 3）计算 dxxxxxdxx xxxxxdxxdxx 1 1)1()1l n (1)1l n ()1l n ()1l n ()1l n (= cxxxxdxxxx 1ln)1l n ()111()1l n (15、定 积分的牛顿莱布尼兹公式：设 F（ x）是 f(x)的一个原函数，则 )()( xFdxxfba ab )()( aFbF 例： 若 Fx是 fx的一个原函数，则下列等式成立的是（ B ） A. xa f x d x F xB. xa f x d x F x F aC. ba F x d x f b f aD. ba f x d x F b F a 16、奇偶函数在对称区间上的积分： 若 fx是奇函数，则有 0aa f x dx 若 fx是偶函数，则有 0022aaf x d x f x d x f x d x 例 1)： 1 21 2 1x dxx 分析： 22 1xx 为奇函数，所以 1 21 2 1x dxx 0 例 2） 11 xdx 分析： xQ 为偶函数 故： 11 210102 | 1x d x x d x x 17、定积分的计算： 1）凑微分， 2）分部积分； 定积分的凑微分和不定积分 的计算相同。 例 1） 计算 1221xe dxx解： 利用凑微分法，211d x dxx ，得 1 1122 212111 |x xxe d x e d e e exx 例 2） 计算定积分 21xe dxx解： 利用凑微分法， 1 2d x d xx ，得 22 22111 2 2 | 2x xxe d x e d x e e ex 定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同： 定积分的分部积分公式： baba v duabuvudv 例 1） 计算 1 20 xxe dx解： 0121210121)(21)2(21 221022102102102 xxxxxx eedxexeexdxdxedx