模糊数学精品讲义-模糊综合评价

1 3.7 模糊综合评判 实际事物常有多种属性或受多种因素影响 ，人们需要对这些多种属性或因素做出综合的总体评价 ， 这就是综合评判 。 在多数情况下 ， 这些属性或因素具有模糊性 ， 对这种模糊性因素做出综合评价 ， 就是模糊综合评判 。 2 3.7.1 模糊变换 模糊变换是模糊综合评判的理论基础。 图 3.50 表示了一个模糊变换器的原理，方框中的 R 是一个模糊关系。输入是一个模糊集 A，当它输入到模糊变换器中后，模糊关系便对它发生作用。从数学角度看，这个作用就是输入 A 与模糊关系 R 进行了合成运算，我们用符号 “ ” 表示这一合成运算。经过作用以后，模糊变换器便得到一个输出 3 RAB R 输入 A B 输出 RAB 图 3.50 模糊变换器 4 定义 3.7.1 设 AF ( X )， RF ( XY )， BF ( Y )，称下列映射为 模糊变换 ，若映射是唯一的 R: F ( X ) F ( Y )， 特别地，当 X = x1, x2, , xn ， Y= y1, y2, , ym为有限论域时，若 A =a1, a2, , an， R=(rij)nm， .RABA 5 则经模糊变 换 其隶属度为 更一般的， A 也可以是一个模糊关系，此时通过 R 变换后，就成为另一个模糊关系 B。 mbbbRAB , 21 1.7.3.,2,11mjrab ijinij6 定义 3.7.2 设 A， R， BF ( X X ) ， 若下列映射是唯一的，则称此映射为 X 上的模糊变换： R: F ( X X ) F ( X X ) .RABA 7 当 X 为有限域， A， R， B 均可表示成如下的矩阵形式时 : A=(aij)mn , R=(rjk)nl , B=(bik)ml 便有 式中 2.7.3lnjknmijlmik rab 3.7.31 jkijnjikrab 8 3.7.2 简单模糊综合评判 设 因素集 是 X = x1, x2, , x n ， 评价集 是 Y = y1, y2, , ym。 从因素到评价的模糊关系 R 表示了对各个单因素 xi 作各种评价的可能性。例如 rij 就表示对 xi 作出 yj 评价的可能性。 9 A 是一个 权重 分配， A = a1， a2， ， an ， 它表示各因素在评价中的相对重要性。例如 ai 表示因素 xi 在评价中相对重要性的权重值。 评价的结果是模糊集 B = b1， b2， ， bm ， 它表示作各种评价的隶属度，例如 bj 表示综合评价为 yj 的隶属度。 10 按照上一节的模糊变换的原理，模糊综合评判就是作如下的模糊变换： 4.7.3,1111112121nmnjnimijimjnmrrrrrrrrraaabbb11 其中 若 bj0 = max b1, b2, , bm， 则得到综合评判为 yj0 。 5.7.3.,2,11mjrab ijinij12 例 3.7.1 服装评判问题 假定考虑服装的三种因素： x1 = 花色式样 ， x2 = 耐穿程度 ， x3 = 价格 ， 于是构成因素集 X = x1， x2， x3 。 13 评价分为四个等： y1 = 很欢迎 ， y2 = 较欢迎 ， y3 = 不太欢迎， y4 = 不欢迎， 这样就得到评价集 Y = y1， y2， y3， y4 。 14 对于某类服装，我们先作 单因素评价 。例如可以请若干专门人员或顾客来单就花色式样 (x1) 表态；若有 70% 的人很欢迎， 20% 的人较欢迎， 10% 的人不太欢迎， 没有人不欢迎， 15 则关于 x1 的评价为 ( 0.7， 0.2， 0.1， 0 )； 类似的可以得到对耐穿程度 x2 的评价为 ( 0.2， 0.4， 0.3， 0.1)； 对价格 x3 的评价为 ( 0.1， 0.3， 0.4， 0.2 )。 这样就得到一个该衣服各因素评价的关系矩阵： 16 对不同类的顾客而言 ， 各因素的权重通常是不同的 。 现假设某类顾客对诸因素的考虑权重为 A = ( 0.5, 0.3, 0.2 ) 价格耐穿程度花色样式迎欢不迎欢太不迎欢较迎欢很2.04.03.01.01.03.04.02.001.02.07.0R17 则由模糊合成运算可得综合评判向量如下： 因 0.5 在 B 中是最大的，故这类服装对该类顾客而言是“很欢迎”的。 .2.0,3.0,3.0,5.02.04.03.01.01.03.04.02.001.02.07.02.0,3.0,5.0 RAB18 例 3.7.2 教师教学质量评价 因素集 X = x1 (清楚易懂 )， x2 (教材熟练 )， x3 (生动有趣 )， x4 (板书清楚 ) ； 评价集 Y = y1 (很好 )， y2 (较好 )， y3 (一般 )， y4 (不好 ) 。 通过调查统计，得到教师甲的教学情况 单因素 19 评价矩阵 为 若各因素的权重分配为 A = ( 0.5, 0.2, 0.2, 0.1 )， 问对教师甲的教学情况应作出何种综合评判？ .2.05.02.01.01.06.02.01.001.03.06.001.05.04.0R20 解 按 (3.7.1) 式，综合评价的结果为 由于 b2 = max b1, b2, b3, b4， 故该教师讲课质量定为较好。 1.0,2.0,5.0,4.02.05.02.01.01.06.02.01.001.03.06.001.05.04.01.0,2.0,2.0,5.0 RAB21 3.7.3 不完全评判问题 在综合评判中，有 4 个基本要素： (1) 因素集 X = x1， x2， ， xn ， (2) 评价集 Y = y1， y2， ， ym ， (3) 单因素评判矩阵 R = (rij)nm， (4) 各因素的权重分配 A = a1, a2, , an。 22 由于实际问题的复杂性，有时评价因素很难搞清楚，此时就缺少一个基本要素 因素集。这类 评判问题，称为 不完全评判问题 。对于这类问题，首先要构造一个因素集，使得不完全评判问题 “完全化”。实践表明，对于那些可观察，可划分、可比较的因素，可以用下列方法将因素集 X 和权重分配 A 同时构造出来。 23 第一步 ， 构造因素集 X 。 (1) 将 X 等分成 m1 份，按某种原则 ， 取出其中一份，记为 x1， 它与总体 X 的比为 k1； (2) 将 X 等分成 m2 份 ( m2 rkj， 则在作运算 ak rkj 后就丢弃了 ak ， 这 就有可能失去了主要因素的影响。而若 ak 较小，有 ak y2 (或 y2 y3 (或 y3 y2 ym 或 y1 y2 ym (或 y1 y2 ym 时有 k1 k2 km。称 为 z 的分数。 miiiz bkq172 如果 则认为 z1 比 z2 强 ， 记为 z1 z2 。 通常，对 y1 y2 ym 的情形，取 ki = m +1i，它表示 有序类 y1， y2， ， ym 中类别的重要性是等间隔下降的；对 y1 y2 ym 的情形，取 ki = i，它表示有序类 y1， y2， ， ym 中类别的重要性是等间隔上升的。 21 zz qq 73