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“分数初步认识”课堂教学比较研究案例朱乐平对于同一个小学数学的教学内容，运用两个不同的教学设计进行教学，观察、比较、分析教与学的情况，这是一种课堂教学比较研究。笔者对“分数初步认识”这一内容进行了课堂教学比较研究，本文将介绍研究背景、过程、两个教学设计的课堂流程、设计意图以及初步的研究结果和思考。一、 分数意义教学的背景分析。国家数学课程标准(实验稿)中把分数意义的教学要求分成两段。在第一学段(1-3年级)中的目标是：“能结合具体情境初步理解分数的意义能认、读、写小数和简单的分数。”在第二学段(4-6年级)的目标是：“进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间的关系，并会进行转化。会比较小数、分数和百分数的大小。”一般教材都按照数学课程标准(实验稿)的要求，分两段编排分数意义的教学，即分成“分数的初步认识”与“分数的再认识”（或称“分数的意义”）。很显然，分数的初步认识是学生学习分数的开始，是学生学习数概念的一次扩展。由于分数概念相对比较抽象，一般的教材都安排在三年级进行分数初步认识的教学，这时学生已经对整数的四则计算，运算定律等内容有了较好的认识，特别是对除法运算中的“平均分”的概念已经有了较好的理解，这些都是教学分数初步认识的重要知识与技能的基础。“分数初步认识”中“初步”通常的主要含义：一是单位“1”只有一个物体组成；二是出现的分数都是真分数且分母比较小。三是不出现分数的定义；（下文的教学设计甲将对“初步”的内涵作适度的拓展），而在“分数的再认识”(或称“分数的意义”)教学中，学生将继续学习：一是单位“1”有若干个物体组成；二是出分数的定义。一般教材给出的分数定义是“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。本文所阐述的是对分数初步认识的比较研究。二、 研究的主要过程。研究的主要过程是选择两个教学班，对这两个班的学生进行前测和个别访谈，了解学生对“分数初步认识”有关的知识与技能，如平均分的概念，学生对分数是否已经有了一些认识等。然后分别对两个班运用两种不同的教学设计进行教学。教学后，对学生进行后测、问卷调查并对个别学生进行访谈。后测主要是了解两个班的学生在分数知识与技能方面的掌握情况。问卷调查主要是了解学生情感态度价值观方面的内容。在教师方面，我们对前来听课的老师也进行问卷调查，了解听课老师的想法，并与听课老师一起对这两节课进行了讨论与研究。三、 两个教学设计的课堂教学流程与设计意图。由于教学设计甲与一般教学“分数初步认识”的课差异较大，我们以课堂实录的形式向读者介绍，以便使你更好地了解课堂教学流程。教学设计甲（从运算的封闭性引入）：（一）课前谈话，回顾以前学过的计算方法。师：我们见过面吗？生：没有。师：有谁知道我姓什么？生齐答：朱。师：叫我朱老师就可以了。师：有谁还记得你从幼儿园来到小学，我们最先学的是什么计算方法，慢慢的又学了其他的计算方法，有哪一些？生：我们先学加法，再学乘法，再学除法的。师：还记得吗？生齐答：记得。师：一来的时候我们先学12等于几？（一学生插话：先学11等于几）记得12是怎么学得吗？许多学生举手。生：好像是把一个苹果加上一个苹果等于几个苹果。师：是的，这个很有意思。一个苹果加上一个苹果等于几个苹果，然后老师说再用小棒数一数，然后数出一根，再数出一根，再数出1、2有两根。对吧，现在还有很多小弟弟小妹妹也在这样学。师：加法学习以后学减法，然后学乘法，再学除法。除法就会麻烦一点。有谁能举一个除法算式？许多学生举手。生：824师：对，这是由8与2这两个数组成的除法算式，计算出的结果是4。我相信，同学们都能列举出这样的算式。（二）利用运算的封闭性引入分数。并研究的含义。1、利用四则计算的封闭性，引发认知矛盾与冲突。师：如果现在让同学们写出一些加、减、乘、除的算式，相信你一定会写。来，看下面这个问题。教师出示灯片：12和21这两个算式都是用1和2组成的乘法算式。请你用1和2这两个数，组成尽可能多的加法、减法、乘法和除法算式，并计算出结果。（写一写）师：在你的练习纸上有这个题，开始做。（学生独立解决，教师巡回指导）（学生编题，实际用时：1分25秒）师：好了。许多同学写得很快。哪一个同学愿意把你写得算式说给大家听？生：加法：123，213。减法：211。乘法：212，122。除法：212。师：他说得对吗？生齐答：对。师：棒极了！她的意思就是这样教师依次出示灯片：加法：12213；减法：211，“12？”有这个算式吗？没有学过。乘法：12212；除法：212, 有这样写得吗？“12？”生：没有。师：现在你们看，加法和乘法很“舒服”的。加法12213，乘法12212。在这四种运算中，留下两个地方不太“舒服”。师：一个就是12？我们没有很好的研究。还有就是12？这两个算式对我们来说有点陌生。今天我们不研究12？那我们接下来研究谁？生：12。师：我们来研究12？2、用除法意义迁移，引出分数。师：根据除法的意义，安静地想一想：12是什么意思？（学生安静地想了45秒）师：举手的同学越来越多了。其实关于除法我们也不忙于回答，我们接着看。出示灯片：被除数除数商师：集体读一遍。生：齐读。师：大家都知道422，它是什么意思？生1：把4平均分成两份，每份是2。师：说得对吗？生2：就是4里面有几个2。师：一个是平均分，一个是里面有几个，也就是包含几个。出示灯片：221师：在422中，4是被除数，2是除数，2是商。在221这个算式中，1是叫什么？生：商。灯片继续出示：12？师：12？这个算式，它表示什么意思？生：1分成2份，等于一分之二。师：有谁听懂她说的？是什么意思？生：她说，把1分成两份，每一份是一分之二。师：是怎么分的？（生坐在位置上回答：平均分）师重复：平均分。师：能说出它（12？）的商是多少吗？学生回答：一分之二。教师灯片出示12，部分学生马上改口：二分之一。灯片出示：读作二分之一。教师边讲解边板书：（说）被除数除数商，注意看商和它的写法： （写） 1 2 12教师板书的顺序是自上而下，边写边说，1除以2的商是二分之一。这个数的读法是自下而上。 ，它的意思是。师：我们除号不写了，用什么来替代了？（生：横）师：这个数有三层，你仔细看这个数。（停留时间：15秒）师：这个数是什么数？生答：分数教师板书：分数设计意图这个引入研究课题的环节，是从数学运算的封闭性入手的。数学运算的封闭性是指在一个数的集合中，如果在这个集合中的两个数经过某种运算后，运算的结果仍然是在这个集合中，那么就称这个集合对于这种运算来说是封闭的。例如，自然数集合对于加法运算来说是封闭的，因为在自然数集合中，任意选取两个元素（两个自然数）经过加法运算后，得到的结果仍然是一个自然数，即这个结果（元素）仍然在自然数集合中。显然，除法运算对于自然数集合来说是不封闭的。大家知道数学的发展有两大动力，一是现实生活的需要。在现实中会有各种问题需要数学来解决，这种需要会推动数学的发展；二是数学自身内部发展的需要。数学在发展过程，也在不断寻找自身内部的和谐，在数学发展的历史上，有许多例子说明，新的数学知识的产生，是由于数学内部想建立某种“和谐体系”的需要。如，希望某种运算总是可以实施。当遇到开方运算在实数范围内不是总可以实施时，数学家们就引入了“虚数”，进而形成了复数集合。学生在以前的学习中，遇到除法时，总是较大的数除以较小的数，较小的数是否可以除以较大的数呢？这样的除法算式还有意义吗？它的商是怎样表示的？在数学内部可以规定出一个“和谐”的除法体系吗？这样的体系在现实生活中，有实际应用价值吗？诸如此类的问题，人类如果想解决，就需要创造出新的数学知识。这个引入环节，就是试图让学生初步经历和感受：数学内部的这些问题以及人类要解决这些问题所创造出新的数学知识的过程。二是在分数的书写顺序中，我自己给学生示范写出的第一个分数是从上往下写的。从分数与除法的关系看，12，从上往下写正好符合是1除以2的商，这样一种意义。如果我们把分别写分子，分数线，分母相应的称为“上，中，下”。那么分数的书写顺序可以有以下四种：（1）上，中，下；（2）下，中，上；（3）中，下，上；（4）中、上、下；这四种书写顺序都可以有自己意义，对于（1）“上、中、下”写法的意义在于“被除数除以除数等于商”；（2）“下，中，上”写法的意义在于“除数除被除数等于商”；（3）“中，下、上”写法的意义在于“平均分，共分几份，表示几份”。（4）“中，上、下”写法的意义在于“平均分，表示几份，共分几份”。一般在初学分数时，采用（1）或（3）这两种写法。当学生弄清分数的意义后，书写顺序只是一种习惯不必太强调它的含义。（三）动手折纸，初步理解分数的含义。师：是分数，它还是一个商。你看是谁除以谁的商？（生：12的商）出示灯片：是一个分数，它是12的商。齐读一遍。师：刚才我们说了12的意思，它还是一个商。如果我们用一张纸去折，这个商应该怎么折出来？生：把一张纸对折成两份，有两个。师：拿出一张白纸，折出，在每一份上写出。（操作时间：57秒）师：两个都写好的同学，摸一下其中一块的大小。灯片出示：把一张纸平均分成2份，一份是。齐读一遍。继续动态出示灯片： 师：如果让你用手去摸的大小，你会摸哪一块？怎么摸？（学生陆续举手后，教师说可以摸左边这一块，也可以摸右边的这一块。）请同学继续看下面的问题，（连续出示灯片）：14？(1)想一想：商是多少？(2)动手折纸，并在每一份上写上分数。(3)摸一摸，每一份的大小。师：要求清楚吗？开始做。（操作时间：1分钟）教师展示两位学生的作业（折的方法不一样，结果相同）。师：想一想，是怎样得到的？折纸的过程是怎样的？其中的一份，有多大？出示灯片：18师：在折过的纸上，再折出，并在每一份上写出，再摸一摸，开始。学生独立操作，（实际用时1分30秒）教师展示一位学生的作业。师：一共有几个？如果要摸其中一个，可以摸哪里？（学生说随便哪一块都可以，教师演示。）师：原来有一个，现在又有一个，这两块的大小都去摸一摸。师：下面我们不折纸了，但你要说，如果折纸的话，可以怎么折？灯片出示：116？生1：把再折一次。是一小条，再对折一次。师：这个我们会折，我们要想一下，打开以后一小块一小块多起来了。如果摸一下的大小，那就会比？（生齐答：小）比呢？（生齐答：小多了）师：这个词用得好。小多了！全班齐读：二分之一的含义是：是一个分数，它是12的商。把一张纸平均分成2份，一份是。说一说，下面这些分数的含义： (1)先说给自己听一听；(2)再说给同桌听一听。 （实际用时45秒）师：请同学挑一个分数说，要求有两个。一，要闭上眼睛说；二，要说得尽可能快。自己先准备一下。 （实际用时30秒）师：谁来挑战一下。生1：是一个分数（学生打断，没有闭上眼睛）。是一个分数，它是14的商。师：眼睛闭上了，说得也很快。很好。还有一种怎么说？生2：是一个分数，它是1与4的商。师：还有一种怎么说？生3：是一个分数，它是1与16的商。把一张纸平均分成16分，每份是。师：他说得好吗？全班学生齐答：好！并自发的鼓掌。教师激励评价：棒极了！前面两个同学都说，他说，说得有快又好。我相信有很多同学都能这样说。设计意图这个环节试图让学生在认识的基础上，进一步认识其他的分数，并且通过折纸操作，不但理解分数表示两个数的商，还把利用纸的等分明确在一个除法算式中商（分数）的具体含义。让学生通过“摸一摸”这样的操作活动，对分数表示的具体量有初步的感知，并且为下面的环节（初步的分数四则运算）奠定良好的基础。（四）认识分数各部分的名称以及分数与除法的关系。灯片出示：，师：这些分数我们都已经认识，挑出一个，它有名字。分子 （相当于被除数）分母 （相当于除数）分数线（相当于除号）逐步出示灯片：18师生一起互动学习。师：整个是分数，它上面的这个数1叫分子，大家看一看，这个1在整个除法算式中相当于什么？生齐答：相当于被除数。师：分数中间的这条线叫分数线。它在除法算式中又相当于什么呢？生齐答：相当于除号。师：分数线下面的这个数叫分母。它在除法算式中相当于什么呢？生齐答：相当于除数。师：各部分的名称知道了，整个是什么？生齐答：商。出示灯片： 师：在上面的分数中，挑一个说一说，这个分数的分子是几，分母是几，相当于什么？生1：我挑选的是第一个。2是分子，相当于被除数；下面一条是分数线，相当于除号；最下面的2是分母，相当于除数。学生鼓掌。师：请你挑一个分数，同桌两人相互说一说。开始。（用时45秒）设计意图设计这个环节的主要意图有两点：一是让学生认识分数各部分的名称并对照除法算式，明确分数与除法之间的关系。如果“分数的初步认识”从分实物引入，如下面的教学设计二就是从分苹果引入的，那么可能需要专门有一节课，让学生学习分数与除法之间的关系。而本教学设计是从除法引入分数的，从某种意义上说，分数这个“儿子”是除法这个“妈妈”生出来的，它们有着一种天然的血缘关系，所以学生能比较自然而轻松的知道“分子相当于被除数”等等结论。二是在学生挑选分数说意义中，教师给出了一些假分数和真分数。主要是想让学生见一见，在分数中，分子可能小于分母，也可能大于或等于分母。也就是说，在学生学习分数的第一节课中，就见到“各种各样”的分数，而不是“分子总是比分母小的分数”。避免造成为进一步学习不利的因素。（五）运用图形直观，进行分数加法、分数乘整数、分数除以分数的运算，初步理解分数运算的意义。1、师生对话，利用图形的直观，进行分数的运算。老师动态出示灯片。师：如果这是一张纸，平均分成两份，一份是多少？（生：） 师追问：右边一块呢？（生：）师：注意看。马上有学生脱口而出：。教师没有立即判断，又有学生说、。师：注意看，现在分成几份了？其中的一份（出现阴影），这份是整个图形的几分之几？ 生：是。师：我们刚才折过。想一下，我们是对折再对折，得到一份。所以当然是。师：下面一份呢？（出现阴影） 生：也是。师：在上面的图中，实质上出现了两个不同的分数，一个是，另一个是。你看谁大？生：大。因为是一张纸两份中的一份，是一张纸四份中的一份。师：，如果去摸一下的话，那块大，那块小。你看，几个加起来就是呢？生：2个。教师在学生回答的基础上，出示灯片：师：这是同数连加，能写出乘法算式吗？学生齐答：2观察算式，运用图形直观理解。师：这个算式我们要想一下。（引导学生看直观图）是哪两块合起来，两个四分之一相加也就是的2倍，右边的两块合起来就与左边一块一样大小。出示灯片： 学生踊跃举手。生：师：很好。想一下，（引导学生看直观图）是这一块，它当中去掉一块，留下的一块与一样大。出示灯片：学生踊跃举手。生1：应该等于2。师：为什么？生2：因为，相当于两个加起来是。所以2师：有道理吗？（生：有道理）师：也就是说减一个再减一个就等于0，也就是四分之一有2份。说明里面有2个。师：大家看，前面我们比较分数的大小，后面我们写算式。我们不知不觉写出了加、减、乘、除的算式。2、学生独立思考，利用图形的直观，进行分数的运算。教师进一步出示灯片：学生注意力集中，异口同声：继续出示灯片：学生齐答：。独立练习：根据下图，比较分数的大小，并用分数写出一些加法、减法、乘法、除法算式。学生独立作业。（实际用时：8分零7秒）师：好，停一下。老师非常高兴地看见我们不断地在写，有些同学已经写出了很多很多。谁愿意把你写出来的算式说给大家听。拿到上面展示。（举手如林）学生上台展示。生： ，2， 2， 2，2， 2， 2 4 4，8 一名男生一口气报出15个算式，而且非常的有序，赢得了全班同学热烈的掌声。师：其实我们随便挑选几张，很多同学都写出了许多算式。（教师演示）我们挑一个算式，来说一下。挑一个除法算式，难一点的2。只要看一下图形就能知道。如果有时间，我相信同学们还能写出一些算式。设计意图这个环节主要是让学生进一步感受“分数是一个数”。由于它是一种数，所以，我们试图研究它的“大小比较”、“四则计算”等数的属性。“分数”这个词是由“分”和“数”组成的，“分”就是强调要“平均分”，“数”就是要突出数的属性。人们在分数初步认识的教学中，多数课都是对“分”比较重视，强调“平均分”比较多，对“数”的属性则研究不多。而在这个教学的环节中，主要研究分数的大小比较与四则计算，使得学生在学习分数的第一课时中，就初步的感受到，分数与以前学过的整数一样，也可以比较大小和四则计算。这些数的属性的研究主要是借助了图形的直观，可以使学生感受研究一个数学问题可以数形结合。（五）回顾与总结师：我们回顾一下，这节课我们做了什么？生1：今天我们学了分数。生2：我们知道了是的2倍，是的2倍，是的2倍。师：有谁还记得分数最开始是从哪里生出来的吗？谁是它的妈妈？生：我们先从11开始的。师：哪里开始有？生：从算式12开始。师：我们一开始做不出的题目12？，现在我们会做了，结果是，分数是从除法里面生出来的。我们一起来回顾这节课学习的过程。（教师重新在电脑上放这节课幻灯片，呈现整节课的学习过程。）我们做了这些事情。这节课就上到这里。下课。总的设计意图本节课的设计主要是围绕着以下的教学目标：1、通过研究，这四个分数，初步理解分数的意义、分数与除法的关系；2、能够根据分数以及与它对应的图形，初步比较分数的大小并进行分数的四则计算；3、经历从运算封闭性的角度引入分数的过程，初步体验数学在寻求自身内部和谐的过程中也会生产新的内容。4、体会人类在研究数时，常常会研究它的含义、大小比较以及它的运算等属性；5、感受到分数与整数一样也可以进行大小比较与四则计算；经历数形结合解决问题的过程；6、通过操作、想象等活动培养学生的操作能力与空间观念。显然，这样的教学目标，对“分数初步认识”中“初步”的内涵有了一些拓展，主要是有了初步的分数大小比较与四则计算。这样学生对于分数是一种数可能会理解得更好一些。整节课主要研究了四个分数，学生对这四个分数的意义有了相对比较深刻的理解，这样对建立“几分之一”这类分数的数学模型有帮助，为以后更进一步学习其他的分数奠定了基础。“数形结合”是这节课贯穿始终的一条主线，实质上是让学生一方面知道分数是一个商，是分子除以分母所得的商。另一方面这个抽象的分数也可以用图形来表达它的实际大小，它所表示的部分与整体的关系。整节课通过学生动手操作、观察比较、数形结合、独立思考、同桌交流等方式，试图培养学生的数学能力，提高学生的数学素养。教学设计乙（从分苹果引入）：(一)从自然数过渡到分数，引出课题。教学开始，教师手里拿着两个大小有明显差异的苹果，问学生两个苹果用什么数表示；学生回答后，教师把其中的一个苹果分给前排的两个同学，手里还有一个苹果，继续让学生用数表示；教师把手上的这个苹果又分给另外两个学生，手里已没有苹果，这时再让学生用数表示。教师指着有一个苹果的那两个学生说，如果这两个同学都想吃这个苹果，那么怎样分比较合理？进而复习平均分，教师把两个苹果都对中切开，使每一个苹果都变成两个半个苹果后，让学生用数表示。引出分数，提示课题。设计意图这个环节主要是让学生从熟悉的自然数表示事物的量开始，提示出当自然数不能表示一些事物的量时，需要引入新的一种新的数表示事物的量，让学生感知分数产生的实际意义。二、着力弄清的意义，为迁移作准备。1、结合图形初步理解的含义；结合下图，使学生理解阴影部分和空白部分都可用表示：逐步使学生感到只要是“半个”都可用表示，让学生举例说明。(1)引导学生掌握的读法，并理解“2”（分母）“1”（分子）的含义；(2)引导学生理解的含义，逐步使学生懂得是一个数，它表示把一个东西平均分成两份，表示这样1份的数。 设计意图这个教学环节主要是想使学生初步理解二分之一的意义。“半个”是学生原来生活中已经有的概念，这是建立二分之一这个新数的一个固着点。因此，在这个环节中，使学生建立“半个”与“二分之一”的联系。用三个图形，把它们都平均分成两份，每一份都可以用二分之一表示，一方面为学生初步理解二分之一提供直观的帮助；另一方面，也使学生初步地感受到两个二分之一合起来就是一个整体，就是“1”。 2、结合具体实物，揭示部分与整体之间的关系；教师手里拿着两个半个苹果（因为原来两个苹果有明显大小，所以这里的两个半个也有明显大小），问学生它们都用表示，为什么有大小？让学生根据原来苹果的大小推断半个苹果的大小。再让学生反过来思考，教师问学生：如果小明和小红都从自己家里拿来半个西瓜，拿到教室后大家发现，小红的半个比小明的大，想一想，原来的西瓜谁大？让学生根据一个东西二分之一的大小来推断原来东西的大小。根据学生的回答完成下面的板书：设计意图这个环节主要使学生能够根据分数推断整体与部分之间的大小关系。这是分数的一大特点，当我们知道一个分数所表示的具体量时，就可以去推断整体的大小。当我们知道两个分数所表示的具体量时，不但可以直接比较这两个具体量的大小，而且还能比较它们所对应的整体的大小。三、认识其他分数，进一步理解分数的意义1、听写；2、先想一想的含义，再四人小组交流与讨论；3、动手折纸，并用阴影表示出纸的； 学生可能出现的折纸形式：4、 从四分之一逐步推广到四分之几；引导学生理解分数。 设计意图这个环节主要是让学生从二分之一过渡到四分之一和四分之几。通过写、自己思考、小组交流、动手操作对四分之一有一个比较好的理解。再利用图形的直观，认识四分之几的其他分数，并且在一个图中，阴影部分和空白部分同时用分数表示，一方面能更好地理解分数的意义；另一方面也使学生直观感知阴影与空白所对应的分数与整体之间的关系。四、课堂练习分别用分数表示阴影部分和空白部分； 上面的这些题目，一个一个地出现，先出现从上往下数的第二个题，即让学生用分数表示只有一格是阴影的这个图形。然后依次向下出现，直到出现最下面的一张。填写分数后，让学生从上往下，看一看有什么规律。再从下往上看，有什么规律，并出现最上面这一题，再让学生填写相应的分数。设计意图这个环节主要是对已经学习的分数概念进行巩固和练习，在巩固和练习的过程中，又有适度地拓展，让学生表示出五分之五和五分之零，通过对这两个分数的理解，学生可能会对分数有进一步的认识。另外也让学生初步感知量变与质变的规律。 五、反例巩固，归纳解题的思维过程 下面图形的阴影部分都用表示对不对，为什么？ 学生先讨论，再师生一起共同归纳。 第题不等分；第题不是4等分（分母错）；第题阴影部分不是1.份（分子错）。师生一起归纳出解这类题的思维过程：要等份；共分几份；表示几份。设计意图这个环节是用反例来巩固已经学习的分数概念，当学生学习一个概念时，通常我们应该先让学生接触“正例”，说明这个概念是什么，而不是首先让学生接触这个概念不是什么。但当学生初步地理解了分数的概念以后，运用反例，可以使学生更好地理解分数的意义，这样就能知道这个概念是什么和不是什么。对一个事物的理解常常是当理解了这个事物的对立面以后，就对这个事物本身有了更深刻地理解。在这个环节中，归纳了解决这一类问题的思路，这实质上是对数学思维过程的分析，分析当出现一个图形，这个图形的阴影部分或者空白部分要用分数表示时，可以按照怎么样的思维过程来解决这个问题。一是要等分，也就是首先要看这个图形是不是等分成若干份，如果没有等分，要进一看是不是可以等分。如果不能等分说明不能用分数来表示，否则就可以用分数来表示。二是共分几份，在等分的前提下，要进步看，一共分成几份，这是写出分数的分母。三是表示几份，进一步看要表示的是哪一部分，通常是指要表示的是阴影部分还是空白部分，这个部分有几份。这是要出的分数的分子。只有这三步完成了，这个题目就完成了。要检查做得对不对，也可以按照这三步去检查。把解决问题的思维过程拉长，有利于学生更好地掌握解决这类问题的方法，特别有利于提高中下学生解决问题的正确率。六、师生共同小结 今天我们学习了什么内容？我们懂得了什么？我们是怎样学习分数的？ 总的设计意图这节课从知识与技能这个目标维度来说，主要的教学目标：一是初步理解分数的意义；二是初步感知分率与具体量的对应关系；三是能在整体中用分数表达出部分；四是初步感知整体与部分的相对性和量变与质变规律。为了达到这样的教学目标，在设计时，主是想让学生先认识二分之一，在认识二分之一时，建立起对于分数比较好的结构，然后进行迁移。学生学习数学的方式之一就是在学习某一个数学的知识或方法上建立起比较牢固的结构，对这一知识或方法有比较深刻地理解，然后再运用迁移，再去学习对一些类似的知识或方法。这节课化了较多的时间来认识二分之一，包括学生二分之一所对应的具体量，由于单位“1”的大小不同，它们所对应的具体量也不同。强调结构，强调迁移可以认为是本设计的特点之一。特点之二是强调部分与整体的关系。在设计中，这个特点主要体现在三个方面，一是阴影部分和空白部分所对应的分数总是成对出现。二是通过两个半个苹果都用二分之一表示，但大小不同，再得出整体的大小与它们所对应的二分之一的大小的关系。三是在练习中的拓展，出现五分之五和五分之零这样的分数，感知整体与部分的关系。特点之三是重视归纳解决问题的思维过程。建立分几步解决这类问题的过程，比较有利于提高中下学生解决问题的正确率。四、 执教老师的感受与课后反思。笔者在同一个上午用上面的两个教学设计各上了一节课，由于两节课的教学目标相差较大，所以在上课时，需要保持“清醒的头脑”，主要是每一节课始终要围绕它的教学目标展开，有相应的教学环节来保证目标的落实。两节课的环节不能出现交叉的现象，这对教师来说是一个挑战。或许这也是提高教师教学能力的一条途径。通过这两节课的教学，主要有以下两点感受。1、学生需要丰富的学习经历与体验。以上的教学设计甲与乙是从不同的角度提出问题，从不同的需要入手引入分数，笔者从上课的过程和课后的反思中，深切地感受到学生在这些不同的学习方式中，有着不同的体验，而这种不同的学习经历，正是学生需要的。从两个教学设计的特点看，今天上的两节中，甲班学生经历了从数学内部自己发展的需要引入分数的历程；而乙班学生则经历了由于现实生活的需要引入分数的过程。我们要从整体入手考虑学生的学习方式，即要以一个单元或某些知识领域为单位设计教学，让每一个学生都有丰富的学习经历。也就是说，今天是甲班感受了从“数学到数学”的过程，乙班感受从“生活到数学”的过程，明天或今后的教学中，要注意让甲班的学生经历从“生活到数学”，而让乙班经历从“数学到数学”。这样我们才能做到让学生有着丰富的学习方式。另外，无论是运用教学设计甲还是乙的教学，有的知识的教学需要学生接受，而有些知识的学习需要探索；有些需要学生独立思考，有些则需要学生小组合作。这些也正是学生学习方式多样化的体现。2、学生需要足够的思考时间与空间。学生在学习过程中，老师是否预设了学生足够的思考时间与空间，将直接关系到学生的学习质量，尤其是学生的创造力。在教学设计甲的最后一个环节，先是师生一起写出了几个简单的分数加、减、乘、除的算式（共四个，每种运算各一个。）然后让学生自己根据图形写出分数计算的算式。笔者认为这个题目有很大的创造空间，又让学生用八分多钟时间解决这个问题，学生就有了足够的思考时间和空间，在这样的前提下，学生创造出了许多算式。有些算式是根本没有出现过的，也就是说，完全是由学生自己创造出来的。下面是两个学生写出的算式：学生要解决的问题：学生甲的解答：学生乙的解答：在教学设计乙中，1、让学生根据二分之一所对应的具体量的大小来推断整体的大小。2、以及出现零分数和分子与分母相等的分数，让学生理解其意义；3、让学生判断，下面图形的阴影部分都用表示对不对，为什么？以上三个内容都给学生有比较大的探索空间，例如，第3点第（1）小题中，当学生判断出不能用四分之一表示后，教师继续问：用什么分数能表示出阴影部分的大小呢？学生有很大的拓展空间，如有学生说用四分之零点五；有的学生说四分之二分之一；有的学生说用七分之一等等。这些都是很有创造性的回答。我相信，如果老师提供合适的材料，让学生有足够的时间与空间思考，那么，学生的创造力常常会超出我们对学生的估计。五、 从前测、后测、访谈和问卷调查中得到的结论与思考。本研究在杭州市崇文实验学校进行，在这个学校我们选择了没有上过分数初步认识的两个三年级的班级。（由于这个学校经常有教研活动，许多三年级的班已经上过了分数的初步认识，所以不能随机的抽取两个教学班。）这两个班级分别是三（1）班（上利用运算的封闭性引入分数的课）和三（4）班（上用分苹果引入分数的课），为方便叙述起见，在下文中，我们分别称它们为甲班和乙班，甲、乙两班分别对应于教学设计甲和乙。由于这个学校全部都是人数不超过30人的小班，所以甲、乙两班的人数分别是30人、29人。1、前测中得出的结论和思考。当我们选定两个班级进行对比教学研究后，首先对这两个班的全部学生进行了前测，抽取个别学生进行了访谈。前测主要了解学生已有的关于分数知识与技能的情况。（详见附件一：“分数初步认识”的前测试卷和结果）（1） 三年级学生对有关分数的知识知道得较少，教学的起点要低。从前测和访谈中我们可以看到，由于在小学生的生活中，用到的分数知识比较少，家庭或社会的其他教育机构也很少有对分数的系统教学。所以，三年级学生对分数的知识认识很少。学生对分数的概念，读、写方法，以及大小比较等知识基本上是空白。还有一些学生认为“分数”就是平时考试时的“分数”，认为满分是100分。例如，一位姓杨的学生，在前测试卷中的第1题，要求“用分数表示图形的阴影部分”时，应该用二分之一表示的地方，他写出了“50”。我们在访谈时，问他“为什么你在这里写了50”？他说：“因为满分是100，也就是整个圆是100，阴影部分是整个圆的一半，就是100250，所以，我就写了50”。这说明学生对分数的意义没有了解。在测查“分数大小比较”时，让学生分别比较：与，与的大小，从正确率的角度看，甲班约有近50%的学生是做对的，乙班约有近60%的学生是做对的。仅从这些数据看，有超过50%的学生能够比较这两组分数的大小，但实质上学生并非按照分数意义，或大小比较的方法来进行比较的，他们能够做对这些题，从某种意义上说是一种巧合。我们在抽取访谈的学生中，比较这两组数的方法主要有以下两种：一是用加法，即把每一个分数的分子与分母相加得到和，然后比较和的大小，由和的大小来决定对应的分数的大小。如一个姓朱的学生得到，问他为什么时，他说：“因为10111,10212,1112，所以。”另一种方法是用乘法，即把每一个分数的分子与分母相乘得到积，然后比较积的大小，由积的大小来决定对应的分数的大小。我们还发现有的学生在比较与的大小时，得到，是因为62,21，这位姓李的学生说，先比较下面，再比较上面，就得到了。学生在计算15时，有许多学生写出结果是5，访谈时问一位姓朱的学生，为什么155？他说：“我也不知道，因为15做不出，而515，所以我就写了个5。”综上所述，学生对有关分数的知识认识较少。在这样的前提下，我们在设计分数的初步认识时，教学起点应该低一点，应比较多的考虑动手操作，实物演示，图形直观，这样会更有利于学生学好分数。（2） 要重视分数的读法与写法的教学。分数由三部分组成，这三部分是学生熟悉的数字与横线，好象分数的读法与写法对学生来说很容易，其实不然。我们在前测与访谈中发现，约有14%的学生把二分之一写成。学生写倒了，主要有两个原因：一是受汉字书写习惯影响。分数有上、中、下三部分组成，从语文的角度看，这是一个上下结构的“字”，因此，对于上下结构的汉字，书写顺序是从上往下写，所以，学生在写分数时，也是从上往下写。二是写法与读法顺序的不一致。我们在读分数时，是从下往上读，而老师在教学学生写分数时，常常不是从下往上写。在访谈中，我们问学生，为什么把二分之一的“2”写在上面？学生回答:“因为读的时候是先读二的，所以把二写在上面。”可见，我们在教学中，要重视分数读、写方法的教学，要使学生明确读法与其相对应的分数的写法相一致。2、课后对学生的问卷调查和后测中得出的结论与思考。学生上完课以后，我们对上课的所有学生进行了课后的问卷调查和后测，抽取个别学生进行了访谈。问卷调查主要想了解学生情感态度方面的情况，如学生对上这节课的感兴趣程度等等。后测是想了解学生对知识与技能的掌握情况。访谈是想从知识与技能和情感态度两个方面了解学生个体的情况。经过我们对访谈、问卷调查、后测试卷的整理与分析，得到以下一些结论。（详细情况请见附件二：甲、乙两班学生课后书面问卷内容及结果。附件三：分数初步认识的后测试卷与结果。）（1）学生能够按照这样的教学设计学习分数。从两个教学设计中，我们可以看到对学生的要求都比较高，甲设计要求学生比较分数的大小与四则计算。乙设计要求学生理解在不同整体下，同一个分数所对应的具体量的不同，以及象分子与分母一样的分数（假分数的一种）和零分数的意义。应该说这些要求比较高，但从学生课后的问卷中，即从学生自己从情感态度的角度看，我们可以得出：学生完全可以按照这样的要求学习。在问卷中，当问“听了这节课后，你觉得学习分数是否容易？”时，认为是“容易的或一般”甲班占97%，乙班占100%。但要注意的是认为是“容易的”比例乙班（57.7%）要明显地高于甲班（37%），说明教学设计甲的难度要高于教学设计乙。“通过学习，对分数的知识你觉得掌握得如何？”时，甲、乙两班分别有46.7%和61.6%的学生认为掌握得好。认为掌握得不够好的学生甲、乙两班分别是6.6%和3.7%。也就是说，学生从情感上认为自己有能力学习这样的内容，达到这样的要求。（2）学生喜欢经历这样的教学过程。从问卷调查中，我们还可以看到，学生喜欢经历由这样的教学设计所产生的教学过程。当问“你觉得这节课是否有趣？”时，甲、乙两班学生分别有83.3%和72%的学生认为上这样的课有趣。分别只有3.3%和8%的学生认为这节课没有趣。其余学生认为一般。当问“你愿意再上这样的课吗？”甲、乙两班学生分别有90%和73%的学生愿意；乙班中有7.7%的学生不愿意再上这样的课，甲班中没有人不愿意再上这样的课。当问“在这节课中，你觉得你们班同学在学习中是否投入？”时，甲班学生认为“很投入”的比例（80%）要明显地高于乙班学生认为“很投入”的比例（65.3%）。说明教学设计甲虽然有难度，但这种挑战性也会从一定程度上吸引学生。（3） 目标不同，经历不同，知识与技能的掌握也不同。由于两个教学设计在追求目标上的的不同，所以，两节课的教学的环节显得差异较大。从前测与后测的数据对比中，我们可以看到，还是教学过程中比较重视和强调的知识与技能，学生的增量比较明显。例如，甲班在前测中，学生对于分数与除法的关系不清，认为在除法中，只能大数除以小数，而在后测中，显然错误率比乙班要低得多。又如，对于根据图写出分数的算式，基本上没有人会，但在后测中，所有学生都会，而且有20人至少写出了8个算式。这体现了“种瓜得瓜，种豆得豆。”在两个教学设计目标差异很大的前提前下，我们不能简单地比较两个设计的教学效果。从后测中，我们也可以看到，后测的试卷太难，灵活性强的题目比较多，缺少一些基础性的问题，学生的错误率比较高。如，乙班学生在解决“用分数表示图形中的空白部分”时，第（2）小题是把一个长方形平均分成6份，得到6个正方形，把其中的1个正方形涂上阴影，再分别在2个正方形内画出对角线，得到4个三角形，再分别在每个正方形中，选一个三角形余上阴影，让学生用分数表示整个图形的空白部分。这个题只有48%的学生能做对，其余学生都不能对知识迁移解决这个问题。在分析学生前测与后测试卷中，对分数大小比较内容的掌握情况时，发现多数题目的正确率是后测高于前测，但对于比较与的大小时，两个班的正确率都是下降。也就是说这个题目是“越教越笨”。这可能与两个班的教学中，都没有把让学生掌握比较同分母分数大小的方法作为教学目标，这样也就没有相应的教学环节来保证，学生运用什么方法比较分数大小，为什么其他题都会上了课后正确率上升，而这题反而下降，需要作进一步的研究。3、课后对听课老师的问卷中得到的结论与思考。在上完两节课以后，我们对前来听课的老师进行了问卷调查，收回有效问卷共119份。我们在对这些问卷进行整理、统计、分析得出以下结论。（详见附件四：听课教师问卷调查内容与结果。）（1） 听课老师对两个教学设计都比较认可；虽然每个老师都有自己对于课堂教学设计的价值观，但对这两个教学设计都比较认同。在问卷中当问及“如果把课从好到差分成A、B、C三等，您认为这两节课分别属于哪一等？”时，有60.6%的听课老师认为教学设计甲属于A等；有67.6%的听课老师认为教学设计乙属于A等；分别有36.5%和30.5%的老师认为教学设计甲和乙分别属于B等。当我们请听课的老师对这两节课作总体评价时，有许多老师写着“这两节课都很好，听了以后很有启发。”“听过很多分数初步认识的课，能够象这两节课那样启发学生数学的思维还是第一次见到。”从上述的数据和老师的评价中，我们可以看到，多数老师能够用多元的价值观，从多种不同的角度来判断两个教学设计的差异，而不是用一种简单的标准去衡量这两节课，从而去完全肯定一个，否定另一个。（2） 听课老师认为教学设计乙的目标定位比教学设计甲更合理。“双基”的落实也更好。大家知道，教学目标的定位是否合理十分重要。在问卷中，当问及“你认为这两节课的教学目标定位是否合理？”时，有38.8%的老师认为两节课的目标定位都合理； 有 52.6%的老师认为教学设计乙的目标定位比教学设计甲更合理；而认为教学设计甲比乙更合理的只有4.3%；当问及“你认为这两节课在“基础知识”和“基本技能”的落实方面哪一节课做得更好？”时，有47.9%的老师认为教学设计乙比甲做得更好；而只有12%的老师认为教学设计甲比乙的双基落实做得更好。有65.2%的老师认为教材应该象教学设计乙这样编。由此可见，老师们对于分数的初步认识的课，有着相对比较固定的教学目标（包括对于基础知识与基本技能的要求）和教学模式，他们不会因为教学目标的变化，而改变课堂教学中，对于“双基”的要求。很显然，如果把“根据图形写出分数计算的算式”作为分数初步认识课的教学目标，那么教学设计乙自然没有达到这样的要求。所以，对于课的目标定位十分重要，而所有的教学环节都应该围绕着目标而展开，以保证目标的落实。（3） 听课老师认为教学设计甲的探索性更强，认为学生会比较喜欢用教学设计甲上课。新课程不断提倡让学生积极探索的学习方式，在上面的两个教学设计中，都比较重视让学生主动的探索。当问及：“对这两节课，从是否引导学生积极探索的角度看，你认为哪一节课做得更好？”时，有47%的老师认为在探索性方面教学设计甲比教学设计乙做得更好。有33.7%的老师认为两节课都做得好。而只有14.3的老师认为教学设计乙做得更好。当问及“如果课堂教学大体上分成三个水平：记忆水平 理解水平 探究水平，那么这两节课从总体上说属于哪一级水平？”时，有57.3%的老师认为教学设计甲的课属于探究水平，而只有15.8%的老师认为教学设计乙的课属于探究水平。则说明多数老师肯定了教学设计甲的探索性比较强。当问及“你认为学生会更喜欢哪一节课？”时，有45.9%的老师认为学生会喜欢用教学设计甲上课。而我们在挑了三个学生（成绩分别为上、中、下）让他们同时上这两节课，课后访谈中发现，数学能力比较强的