2017_18学年高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法名师讲义.docx

3.3一元二次不等式及其解法第一课时一元二次不等式及其解法预习课本P7478，思考并完成以下问题 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？ (2)如何求解一元二次不等式？ (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？ 1一元二次不等式含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式点睛一元二次不等式应满足：(1)一元，即只包含一个未知数，其他均为常数；(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且最高次项的系数不能为0.2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0) 的解集或xx2Rax2bxc0) 的解集点睛(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R()解析：(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，它是一元二次不等式(2)错误因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120的解集为R.答案：(1)(2)(3)(4)2不等式x(2x)0的解集为()Ax|x0 Bx|x2Cx|x2或x0 Dx|0x2解析：选D原不等式化为x(x2)0，故0x2.3不等式x22x52x的解集是()Ax|x5或x1 Bx|x5或x1Cx|1x2x，得x24x50，因为x24x50的两根为1,5，故x24x50的解集为x|x54不等式3x25x40的解集为_解析：原不等式变形为3x25x40.因为(5)2434230，所以由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40的解集为.答案：一元二次不等式解法典例解下列不等式：(1)2x25x30；(4)x26x100.解(1)490，方程2x25x30的两根为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.120，解方程3x26x20，得x1，x2，作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3)0，方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，40的解集是，则ab的值为()A14 B10C10 D14(2)已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集解析(1)由已知得，ax2bx20的解为，且a0的解集为(2,1)，则函数yf(x)的图象为()解析：选B因为不等式的解集为(2,1)，所以a0的解集为x|2x0的解集解：由题意知即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0)即6x25x10，解得x0，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x1，故选B.3在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为()A(0,2) B(2,1)C(，2)(1，) D(1,2)解析：选B由abab2ab，得x(x2)x(x2)2xx2x2x20，所以2x1.4设a1，则关于x的不等式a(xa)aC. D.解析：选Aa1，a(xa)0.又aa，x或x0(m0)的解集可能是()A. BRC. D解析：选A因为a24m0，所以函数ymx2ax1的图象与x轴有两个交点，又m0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.6已知全集UR，Ax|x210，则UA_.解析：UAx|x210x|1x1答案：x|1x17若二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为(1,0)和(3,0)，则不等式ax2bxc0的解集是_解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(，1)(3，)答案：(，1)(3，)8已知函数f(x)若f(a)3，则a的取值范围是_解析：当a0时，a22a3，0a1；当a0时，a22a3，a0.解：将x23ax18a20变形得(x6a)(x3a)0，方程(x6a)(x3a)0的两根为6a，3a.所以当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x6a；当a0时，6a3a0，原不等式的解集为x|x0；当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x3a10若函数f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax22ax20恒成立(1)当a0时，不等式为20，显然恒成立；(2)当a0时，有即所以0a2.综上可知，实数a的取值范围是0,2)层级二应试能力达标1不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A(，4)(4，) B(4,4)C(，44，) D4,4解析：选A不等式x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40，解得a4或a0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)0的解集是()A(，1)(3，) B(1,3)C(1,3) D(，1)(3，)解析：选A由题意，知a0，且1是axb0的根，所以ab0，所以(axb)(x3)a(x1)(x3)0，所以x3，因此原不等式的解集为(，1)(3，)3已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，且，()是方程f(x)0的两根，则，a，b的大小关系是()Aab BabCab Dab解析：选A，为f(x)0的两根，为f(x)(xa)(xb)2与x轴交点的横坐标a，b为(xa)(xb)0的根，令g(x)(xa)(xb)，a，b为g(x)与x轴交点的横坐标可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.4若0a1，则不等式x23(aa2)x9a30的解集为()Ax|3a2x3a Bx|3ax3a2Cx|x3a2或x3a Dx|x3a或x3a2解析：选A因为0a1，所以03a2x的解集为_解析：由f(x)x，得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5,0)(5，)答案：(5,0)(5，)6对于实数x，当且仅当nxn1(nN)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析：由4x236x450，得x，又当且仅当nx0的解集；(2)若不等式f(x)10的解集为，求m的值解：(1)当m1时，不等式f(x)0为2x2x0，因此所求解集为(，0).(2)不等式f(x)10，即(m1)x2mxm0，由题意知，3是方程(m1)x2mxm0的两根，因此m.8已知M是关于x的不等式2x2(3a7)x3a2a20的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集解：原不等式可化为(2xa1)(x2a3)0，所以a.若a5，所以32a，此时不等式的解集是；若a，由2a3(a1)，所以32a，此时不等式的解集是.综上，当a时，原不等式的解集为.第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式典例解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)原不等式等价于即2x3.原不等式的解集为x|2x0，即0.等价于(3x2)(4x3)0.x0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0或f(x)0；0f(x)g(x)0且g(x)0f(x)g(x)0或f(x)g(x)0的解集是(1，)，则关于x的不等式0的解集是()A. B.C. D.解析：选A依题意，a0且1.0(axb)(x2)0(x2)0，即(x1)(x2)0x2或x1.不等式中的恒成立问题典例已知f(x)x22(a2)x4，如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22(a2)x40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0 a4.故a的取值范围是(0,4)对于xa，b，f(x)0(或0)恒成立，应利用函数图象1已知f(x)x22(a2)x4，是否存在实数a，使得对任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由解：若对任意，x3,1，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3,1，f(x)0恒成立对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量2已知函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立，试求x的取值范围解：原函数可化为g(a)2xax24x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法af(x)恒成立af(x)max(f(x)存在最大值)；af(x)恒成立af(x)min(f(x)存在最小值)(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方层级一学业水平达标1不等式0的解集是()A. B.C. D.解析：选A0(4x2)(3x1)0x或x，此不等式的解集为.2不等式2的解集为()A1，) B1,0)C(，1 D(，1(0，)解析：选B不等式2，即20，即0，所以0，等价于x(x1)0且x0，所以1x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0,2)解析：选D不等式x2mx0，对xR恒成立，0即m22m0，0m2.4不等式2的解集是()A. B.C.(1,3 D.(1,3解析：选D由2，得0，即0.所以原不等式等价于即所以所以原不等式的解集是(1,35若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为()A1 B1C3 D3解析：选C由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3.6不等式1的解集为_解析：因为1等价于0，所以0，等价于解得4x.答案：7若不等式x24x3m0的解集为空集，则实数m的取值范围是_解析：由题意，知x24x3m0对一切实数x恒成立，所以(4)243m0，解得m.答案：8在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是_解析：根据定义得(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，又(xa)(xa)0对任意的实数x都成立，所以0，即14(a1a2)0，解得a0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)0，得3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0的解集为(1,3)，或(2)由f(2)0，得122a(5a)b0.又对任意实数a，f(2)0恒成立，(10)242(12b)0，b，实数b的取值范围为.层级二应试能力达标1不等式组的解集为()Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析：选C由得所以0x1，所以原不等式组的解集为x|0x1，故选C.2已知集合M，Nx|x3，则集合x|x1等于()AMN BMNCR(MN) DR(MN)解析：选D0(x3)(x1)0，故集合M可化为x|3x0恒成立且a1,1x3.4对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2) B(，2C(2,2) D(2,2解析：选D当a20时，2a2.当a20时，40恒成立综上所述，2a2.5若函数f(x)log2(x22axa)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：已知函数定义域为R，即x22axa0对任意xR恒成立(2a)24a0.解得1a0.答案：(1,0)6已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.解析：0(ax1)(x1)0，根据解集的结构可知，a0且，a2.答案：27已知不等式mx22xm20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1)对所有实数x，都有不等式mx22xm20恒成立，即函数f(x)mx22xm2的图象全部在x轴下方当m0时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0时，由二次函数的图象可知有解得m0，知g(m)在2,2上为增函数，则只需g(2)0即可，即