第六届中国西部数学奥林匹克.doc

第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006年11月4日 8：0012：00 江西 鹰潭一 设是给定的正整数，. 求的最大值，这里 二求满足下述条件的最小正实数k：对任意不小于k的4个互不相同的实数a，b，c，d，都存在a，b，c，d的一个排列p，q，r，s，使得方程有4个互不相同的实数根三 如图，在PBC中，过点P作PBC的外接圆w的切线，与CB的延长线交于点A. 点D和E分别在线段PA和圆w上，使得，PDPE. 连接BE，与PC相交于点F. 已知AF，BP，CD三线共点（1） 求证：BF是的角平分线；（2） 求的值 四设正整数a不是完全平方数，求证：对每一个正整数n，的值都是无理数这里，其中表示不超过x的最大整数第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006年11月5日 8：0012：00 江西 鹰潭五设证明：若，则六如图，AB是圆O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作圆O的割线，与圆O交于D，E两点，OF是BOD的外接圆O1的直径，连接CF并延长交圆于点G求证：O，A，E，G四点共圆七设是一个不小于3的正整数，是一个实数证明：如果和都是有理数，那么存在正整数，使得和都是有理数八给定正整数，求的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集，都存在集合X的一个子集，满足：（1）；（2）对，都有这里表示有限集合A的元素个数解 答第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006年11月4日 8：0012：00 江西 鹰潭一设n是给定的正整数，n2，. 求的最大值，这里解 由AMGM不等式，得所以等号成立当且仅当.故y的最大值是. 二求满足下述条件的最小正实数k：对任意不小于k的4个互不相同的实数a，b，c，d，都存在a，b，c，d的一个排列p，q，r，s，使得方程有4个互不相同的实数根解 所求最小正实数.一方面，若，取，则对的任意排列，方程的判别式，该方程无实数根.所以，.另一方面，设是不小于4的4个不同实数，不妨设，考察方程（1）和.（2）首先，故（1）、（2）都有两个不同实根.其次，若（1）与（2）有公共实根，则两式相减，得，这时，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而符合要求.综上，问题的答案为.三. 如图，在PBC中，过点P作PBC的外接圆w的切线，与CB的延长线交于点A. 点D和E分别在线段PA和圆w上，使得，PDPE. 连接BE，与PC相交于点F. 已知AF，BP，CD三线共点(1) 求证：BF是的角平分线；(2) 求的值解（1）当BF平分时，由于，所以，BD平分，于是，所以，由Ceva定理的逆定理知，AF，BP，CD三线共点若还有一个角满足，且三线共点，不妨设在线段PF内，则在线段AD内，于是， ，所以，这与三线共点矛盾 所以，BF是的内角平分线（2）不妨设圆O的半径为1，由（1）知，E是的中点因为，所以由PDPE知，又，所以，在直角三角形BDE中，有，所以 四设正整数a不是完全平方数，求证：对每一个正整数n，的值都是无理数这里，其中表示不超过x的最大整数证明：设，其中整数，则，且，而令.则 下面证明，对所有正整数n，.由于，所以 由可得.消去得， 其中.由数学归纳法易得 由和，可得相乘得 ，又因，故又由相乘得 ，即所以，对所有正整数n，都有 故由 得，对所有正整数n，都有因此，从而对所有正整数n，都有，故由知，是无理数.第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006年11月5日 8：0012：00 江西 鹰潭五设证明：若，则证明 注意到若x，y是整数，则由奇偶性分析知若，则由上知于是可设，（c，d不可能相等），其中a，b，c，d，e，f都是正整数则，假设ba，且fe，则，两式相减得，则，而，矛盾！故ba，fe不可能同时成立所以，于是六如图，AB是圆O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作圆O的割线，与圆O交于D，E两点，OF是BOD的外接圆O1的直径，连接CF并延长交圆于点G求证：O，A，E，G四点共圆证明 连接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO因为OF是等腰DOB的外接圆的直径，所以OF平分，即又，所以 又 ，所以，所以，G，A，C，D四点共圆所以 而 ， ， 结合，得 因为B，D，E，A四点共圆，所以， 又OAOE，所以 由，得 ，所以，O，A，E，G四点共圆七设是一个不小于3的正整数，是一个实数证明：如果和都是有理数，那么存在正整数，使得和都是有理数证明 首先，我们证明如下结论：设是一个实数，如果是有理数，那么对任意正整数m，是有理数对m用数学归纳法由是有理数，得也是有理数设对一切，是有理数，则由知也是有理数，即当时命题也成立 由上述结论，对，分别令得到都是有理数，又，从而命题得证八给定正整数，求的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集，都存在集合X的一个子集，满足：（1）；（2）对，都有这里表示有限集合A的元素个数解 .（1）当时不一定存在条件的Y.事实上，令，考虑X的一个划分.因为，因此Y中至少有两个元素属于同一个，故此时，矛盾.（2）下证符合题意.记，则存在z个在所有中未出现的元素，记为.如果，则取便可.下设.设在中仅出现1次的元素有t个，因，则，所以 .故在