2015年全国各地数学中考试题圆的有关性质解析汇编一

第 1 页 共 54 页 2015 年全国各地数学中考试题 圆的有关性质解析汇编一 一 .选择题 1 (2015湖南株洲 ,第 6 题 3 分 )如图，圆 O 是 ABC 的外接圆， A 68，则 OBC 的大小是 ( ) A 22 B 26 C 32 D 68 【试题分析】 本题考点为：通过圆心角 BOC 2 A 136，再利用等腰三角形 AOC 求出 OBC 的度数 答案为： A 2、（ 2015湖南省常德市，第 6 题 3 分）如图，四边形 ABCD 为 O 的内接四边形，已知 BOD 100，则 BCD 的度数为： A、 50 B、 80 C、 100 D、 130 【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ：答案为 D 3, （ 2015四川南充 ,第 8 题 3 分）如图， PA 和 PB 是 O 的切线，点 A 和 B 是切点， AC 是 O 的直径，已知 P 40，则 ACB 的大小是（ ） （ A） 60 （ B） 65 （ C） 70 （ D） 75 100 0第6题图ODBAC第6 题图OCBA第 2 页 共 54 页 【答案】 C 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质 . 4（ 2015四川资阳 ,第 8 题 3 分）如图 4， AD、 BC 是 O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿O C D O 的路线匀速运动，设 APB=y（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是 考点：动点问题的函数图象 . 分析：根据图示，分三种情况：（ 1）当点 P 沿 O C 运动时；（ 2）当点 P 沿 C D 运动时；（ 3）当点 P 沿D O 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可 解答：解：（ 1）当点 P 沿 O C 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时， y=90， 当点 P 在点 C 的位置时， OA=OC， y=45， y 由 90逐渐减小到 45； （ 2）当点 P 沿 C D 运动时， 第 3 页 共 54 页 根据圆周角定理，可得 y902=45； （ 3）当点 P 沿 D O 运动时， 当点 P 在点 D 的位置时， y=45， 当点 P 在点 0 的位置时， y=90， y 由 45逐渐增加到 90 故选： B 点评：（ 1）此题主要考查了动点问题的函数图象 ，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图 （ 2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 5、（ 2015四川自贡 ,第 9 题 4 分）如图， AB 是 O 的直径，弦 ,C D A B C D B 3 0 C D 2 3 o ，,则 阴影部分的面积为 （ ） A.2 B. C.3D.23考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等 . 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个 扇形中来求 .根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知 E 是弦 CD 的中点 ,B 是弧 CD 的中点；此时解法有三： 解法一，在弓形 CBD 中，被 EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是 相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形 COB 来求；解法二，连接 OD,易证 ODE OCE ，所以阴影部分的面积之和转化到扇形 BOD 来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形 COD 的面积的一半 . 略解： AB 是 O 的直径， AB CD E 是弦 CD 的中点 ,B 是弧 CD 的中点（垂径定理） 在弓形 CBD 中，被 EB 分开的上下两部分的面积是相等的 (轴对称的性质 ) 阴影部分的面积之和等于扇形 COB 的面积 . E 是弦 CD 的中点， CD 2 3 11C E C D 2 3 322 AB CD OEC 90o DCOA BE第 4 页 共 54 页 COE 60o , 1OE OC2. 在 Rt OEC 中，根据勾股定理可知： 2 2 2O C O E C E 即 2 22 1O C O C 32. 解得 :OC 2 ;S 扇形 COB = 226 0 O C 6 0 2 233 6 0 3 6 0 oooo.即 阴影部分的面积之和为 23.故选D. 6. （ 2015浙江滨州 ,第 11 题 3 分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 试题分析：如图，等腰直角三角形 ABC 中， D 为外接圆，可知 D 为 AB 的中点，因此 AD=2， AB=2AD=4，根据勾股定理可求得 AC= ，根据内切圆可知四边形 EFCG 是正方形， AF=AD,因此 EF=FC=ACAF= 2. 故选 B 考点：三角形的外接圆与内切圆 7,（ 2015 湖南邵阳第 7 题 3 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O，已知 ADC=140，则 AOC 的大小是（ ） 第 5 页 共 54 页 A 80 B 100 C 60 D 40 考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理 . 分析： 根据圆内接四边形的性质求得 ABC=40，利用圆周角定理，得 AOC=2 B=80 解答： 解： 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC+ ADC=180， ABC=180 140=40 AOC=2 ABC=80 故选 B 点评： 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出 B 的度数是解题关键 8, （ 2015淄博第 11 题 ,4 分）如图是一块 ABC 余料，已知 AB=20cm， BC=7cm， AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（ ） A cm2 B 2cm2 C 4cm2 D 8cm2 考点： 三角形的内切圆与内心 . 分析： 当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为 r，则该三角形面积可表示为：=21r，利用三角形的面积公式可表示为 BCAD，利用勾股定理可得 AD，易得三角形 ABC 的面积，可得 r，求得圆的面积 解答： 解：如图 1 所示， 第 6 页 共 54 页 S ABC= r（ AB+BC+AC） = =21r， 过点 A 作 AD BC 交 BC 的延长线于点 D，如图 2， 设 CD=x， 由勾股定理得：在 Rt ABD 中， AD2=AB2 BD2=400（ 7+x） 2， 在 Rt ACD 中， AD2=AC2 x2=225 x2， 400（ 7+x） 2=225 x2， 解得： x=9， AD=12， S ABC= = 712=42， 21r=42， r=2， 该圆的最大面积为： S=r2=22=4（ cm2）， 故选 C 点评： 本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键 9 , （ 2015 上海 ,第 6 题 4 分）如图，已知在 O 中， AB 是弦，半径 OC AB，垂足为点 D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件 ，这个条件可以是（ ） A、 AD BD； B、 OD CD； 第 7 页 共 54 页 C、 CAD CBD； D、 OCA OCB 【答案】 B 【解析】因 OC AB，由垂径定理，知 AD BD，若 OD CD，则对角线互相垂直且平分，所以， OACB为菱形。 10 .（ 2015 湖北荆州第 5 题 3 分）如图， A， B， C 是 O 上三点， ACB=25，则 BAO 的度数是（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 考点： 圆周角定理 分析： 连接 OB，要求 BAO 的度数，只要在等腰三角形 OAB 中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 AOB=50，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得 解答： 解：连接 OB， ACB=25， AOB=225=50， 由 OA=OB， BAO= ABO， BAO= （ 180 50） =65 故选 C 点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键 11 . （ 2015浙江杭州 ,第 5 题 3 分）圆内接四边形 ABCD 中，已知 A=70，则 C=( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 第 8 页 共 54 页 【考点】圆内接四边形的性质 . 【分析】 圆内接四边形 ABCD 中，已知 A=70， 根据圆内接四边形互补的性质，得 C=110. 故选 D 12. （ 2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， OA交小圆于点 D，若 OD=2， tan OAB= ，则 AB 的长是 ( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】 C. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理 . 13. （ 2015浙江宁波，第 8 题 4 分）如图， O 为 ABC 的外接圆， A=72，则 BCO 的度数为【 】 A. 15 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】 B. 【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理 . 【分析】如答图，连接 OB， 第 9 页 共 54 页 A 和 BOC 是同圆中同弧 BC 所对的圆周角和圆心角， 2BOC A . A=72， BOC=144. OB=OC， C B O B C O . 1 8 0 1 4 4 182C B O . 故选 B. 14 . （ 2015山东威海，第 9 题 3 分）如图，已知 AB=AC=AD， CBD=2 BDC， BAC=44，则 CAD的度数为（ ） A 68 B 88 C 90 D 112 考点： 圆周角定理 . 分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明 CAD=2 CBD， BAC=2 BDC，结合已知条件 CBD=2 BDC，得到 CAD=2 BAC，即可解决问题 解答： 解：如图， AB=AC=AD， 点 B、 C、 D 在以点 A 为圆心， 以 AB 的长为半径的圆上； CBD=2 BDC， CAD=2 CBD， BAC=2 BDC， CAD=2 BAC，而 BAC=44， CAD=88， 故选 B 第 10 页 共 54 页 点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答 15.（ 2015山东潍坊第 10 题 3 分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ） A （ 4 ） cm2 B （ 8 ） cm2 C （ 4 ） cm2 D （ 2 ） cm2 考点： 垂径定理的应用；扇形面积的计算 . 分析： 作 OD AB于 C，交小 O于 D，则 CD=2，由垂径定理可知 AC=CB，利用正弦函数求得 OAC=30，进而求得 AOC=120，利用勾股定理即可求出 AB 的值，从而利用 S 扇形 S AOB 求得杯底有水部分的面积 解答： 解：作 OD AB 于 C，交小 O 于 D，则 CD=2， AC=BC， OA=OD=4， CD=2， OC=2， 在 RT AOC 中， sin OAC= = ， OAC=30， AOC=120， AC= =2 ， AB=4 ， 杯底有水部分的面积 =S 扇形 S AOB= 2=（ 4 ） cm2 故选 A 第 11 页 共 54 页 点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 16（ 2015甘肃兰州 ,第 9 题， 4 分）如图，经过原点 O 的 P 与 x 、 y 轴分别交于 A、 B 两点，点 C 是劣弧 上一点，则 ACB= A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 【 答 案 】 B 【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念 【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。 【解答过程】 ACB 和 AOB 都是 P 中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等 【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结 AB，还有可能需要说明 AB 是直径，或者点 P 在 AB 上。 【题目星级】 17.（ 2015山东东营 ,第 10 题 3 分）如图，在 Rt ABC 中， ABC=90， AB=BC 点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD，过点 B 作 BG CD，分别交 CD、 CA 于点 E、 F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结 DF给出以下四个结论： ； 若点 D 是 AB 的中点，则 AF= AB； 当 B、 C、 F、 D四点在同一个圆上时， DF=DB； 若 ，则 其中正确的结论序号是（ ） A B C D 第 12 页 共 54 页 【答案】 C 考点： .相似三角形的判定和性质； .圆周角定理； .三角形全等的判定与性质 . 18.（ 2015山东临沂 ,第 8 题 3 分）如图 A， B， C 是 上的三个点，若 ，则 等于（ ） (A) 50. (B) 80. (C) 100. (D) 130. 【答案】 D 【解析】 第 13 页 共 54 页 试题分析：根据圆周的度数为 360，可知优弧 AC 的度数为 360 100=260，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得 B=130. 故选 D 考点：圆周角定理 19 (2015深圳，第 9 题 分 )如图， AB 为 O 直径，已知为 DCB=20o,则 DBA 为（ ） A、 o50 B、 o20 C、 o60 D、 o70 【答案】 D 【解析】 AB 为 O 直径，所以， ACB=90o， DBA DCA o70 20 (2015南宁，第 11 题 3 分 )如图 6， AB 是 O 的直径， AB=8，点 M 在 O 上， MAB=20,N 是弧 MB的中点 ,P 是直径 AB 上的一动点，若 MN=1，则 PMN 周长的最小值为（ ） . （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 考点：轴对称最短路线问题；圆周角定理 . 分析：作 N 关于 AB 的对称点 N，连接 MN， NN， ON， ON，由两点之间线段最短可知 MN与 AB 的交点P即为 PMN 周长的最小时的点，根据 N 是弧 MB 的中点可知 A= NOB= MON=20，故可得出 MON=60，故 MON为等边三角形，由此可得出结论 解答：解：作 N 关于 AB 的对称点 N，连接 MN， NN， ON， ON N 关于 AB 的对称点 N， MN与 AB 的交点 P即为 PMN 周长的最小时的点， N 是弧 MB 的中点， A= NOB= MON=20， MON=60， MON为等边三角形， 图 6 第 14 页 共 54 页 MN=OM=4， PMN 周长的最小值为 4+1=5 故选 B 点评：本题考查的是轴对称最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 21. （ 2015四川乐山 ,第 10 题 3 分）如图，已知直线 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， P 是以C（ 0， 1）为圆心， 1 为半径的圆上一动点，连结 PA、 PB 则 PAB 面积的最大值是（ ） A 8 B 12 C D 【答案】 C 22. （ 2015四川凉山州 ,第 10 题 4 分）如图， ABC 内接于 O， OBC=40，则 A 的度数为（ ） 第 15 页 共 54 页 A 80 B 100 C 110 D 130 【答案】 D 考点：圆周角定理 23. （ 2015四川泸州 ,第 8 题 3 分）如图， PA、 PB 分别与 O 相切于 A、 B 两点，若 C=65，则 P 的度数为 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考点：切线的性质 . 分析：由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP， OB 垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知 C 的度数求出 AOB 的度数，在四边形PABO 中，根据四边形 的内角和定理即可求出 P 的度数 解答：解： PA、 PB 是 O 的切线， OA AP， OB BP， OAP= OBP=90， 又 AOB=2 C=130， 则 P=360（ 90+90+130） =50 故选 C 点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本第 8 题图POABC第 16 页 共 54 页 题的关键 24. （ 2015四川眉山，第 11 题 3 分）如图， O 是 ABC 的外接圆， ACO=45，则 B 的度数为（ ） A 30 B 35 C 40 D 45 考点： 圆周角定理 . 分析： 先根据 OA=OC， ACO=45可得出 OAC=45，故可得出 AOC 的度数，再由圆周角定理即可得出结论 解答： 解： OA=OC， ACO=45， OAC=45， AOC=180 45 45=90， B= AOC=45 故选 D 点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 25（ 2015甘肃武威 ,第 8 题 3 分） ABC 为 O 的内接三角形，若 AOC=160，则 ABC 的度数是（ ） A 80 B 160 C 100 D 80或 100 考点： 圆周角定理 分析： 首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案 ABC 的度数，又由圆的内接四边第 17 页 共 54 页 形的性质，即可求得 ABC 的度数 解答： 解：如图， AOC=160， ABC= AOC= 160=80， ABC+ ABC=180， ABC=180 ABC=180 80=100 ABC 的度数是： 80或 100 故选 D 点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解 二 .填空题 1.（ 2015福建泉州第 17 题 4 分）在以 O 为圆心 3cm 为半径的圆周上，依次有 A、 B、 C 三个点，若四边形OABC 为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦 AC 所对的弧长等于 2或 4 cm 解：连接 OB 和 AC 交于点 D， 四边形 OABC 为菱形， OA=AB=BC=OC， O 半径为 3cm， OA=OC=3cm， OA=OB， OAB 为等边三角形， AOB=60， AOC=120， = =2， 第 18 页 共 54 页 DCBAO 优弧 = =4， 故答案为 3， 2或 4 2.（ 2015 湖北鄂州第 15 题 3 分） 已知点 P 是半径为 1 的 O 外一点， PA 切 O 于点 A，且 PA=1， AB 是 O 的弦， AB= ，连接 PB，则 PB= 【答案】 1 或 . 考点： 1.垂径定理； 2.圆的认识； 3.切线的性质 3, （ 2015 上海 ,第 17 题 4 分）在矩形 ABCD 中， AB 5， BC 12，点 A 在 B 上如果 D 与 B 相交，且点 B 在 D 内，那么 D 的半径长可以等于 _ (只需写出一个符合要求的数 ) 【答案】 15 【解析】 第 19 页 共 54 页 (2015江苏南昌 ,第 10 题 3 分 )如图，点 A, B, C 在 O 上， CO 的延长线交 AB 于点 D, A=50, B=30则 ADC 的度数为 . 第 10题第 9题NMDBFEO OPABAC答案：解析： A=50, BOC=100, BOD=80, ADC= B BOD=30 80=110 4 (2015江苏南京 ,第 15 题 3 分 )如图，在 O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD=35，则 B+ E= _ 【答案】 215 考点：圆内接四边形的性质 5. （ 2015浙江衢州 ,第 14 题 4 分） 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了 ，则此时排水管水面宽 等于 . 第 20 页 共 54 页 【答案】 【考点】 垂径定理；勾股定理 . 【分析】 如答图，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ， 则 . ， . 下雨后，水管水面上升了 ，即 ， . . 6. （ 2015四川南充 ,第 16 题 3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点，BP 与半圆交于点 Q，连结 DQ给出如下结论： DQ 1； ； S PDQ ； cos ADQ= 其中正确结论是（填写序号） 【答案】 【解析】 试题分析：根据切线的性质可得 DQ=AD=1，过点 Q 作 QE BC，则 BQE BPC，则 ，则 ，过点 Q 作 QF AD，则 DF= ，则 cos ADQ= = .则 正确 . 考点：圆的基本性质 . 第 21 页 共 54 页 7、（ 2015四川自贡 ,第 13 题 4 分）已知， AB 是 O 的一条直径 ，延长 AB 至 C 点，使 AC 3BC ,CD 与 O 相切于 D 点，若 CD 3 ,则劣弧 AD 的长为 . 考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等 . 分析：本题劣弧 AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧 AD 所对的 圆心角的度数 .在连接 OD 后，根据切线的性质易知 ODC 90o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt OPC 获得解决 . 略解：连接半径 OD.又 CD 与 O 相切于 D 点 OD CD ODC 90o AC 3BC AB 2OB OB BC 1OB OC2又 OB OD 1OD OC2 在 Rt OPC c o s O D 1DOCO C 2 DOC 60o AOD 120o 在 Rt OPC 根据勾股定理可知： 2 2 2O D D C O C CD 3 2 22O D 3 2 O D 解得： OD 1 则劣弧 AD 的长为 1 2 0 O D 1 2 0 1 231 8 0 1 8 0 oooo. 故应填 238. （ 2015浙江丽水，第 13 题 4 分）如图，圆心角 AOB=20，将 AB 旋转 n 得到 CD ，则 CD 的度数是 度 【答案】 20. 【考点】旋转的性质；圆周角定理 . 【分析】如答图， DCBA O13题DCBA O13题第 22 页 共 54 页 将 AB 旋转 n 得到 CD ， 根据旋转的性质，得 CD AB . AOB=20， COD=20. CD 的度数是 20. 9. （ 2015四川省宜宾市，第 14 题， 3 分）如图， AB 为 O 的直径，延长 AB 至点 D，使 BD=OB， DC 切 O 于点 C，点 B 是 CF 的中点，弦 CF 交 AB 于点 F 若 O 的半径为 2，则 CF= . 23 OFABECD第 23 页 共 54 页 10. （ 2015浙江省绍兴市，第 12 题， 5 分）如图，已知点 A（ 0， 1）， B（ 0， 1），以点 A 为圆心， AB为半径作圆，交 x轴的正半轴于点 C，则 BAC 等于 度 考点：垂径定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理 . 分析：求出 OA、 AC，通过余弦函数即可得出答案 解答：解： A（ 0， 1）， B（ 0， 1）， AB=2， OA=1， AC=2， 在 Rt AOC 中， cos BAC= = ， BAC=60， 第 24 页 共 54 页 故答案为 60 点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出 AC、 OA 的长 11 (2015贵州六盘水，第 11 题 4 分 )如图 6 所示， A、 B、 C 三点均在 O 上， 若 AOB 80，则 ACB 考点：圆周角定理 . 专题：计算题 分析：直接根据圆周角定理求解 解答：解： ACB= AOB= 80=40 故答案为 40 点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 12 (2015贵州六盘水，第 18 题 4 分 )赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和 8 次地震却安然无恙。如图 10，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，则桥弧 AB 所在圆的半径 R 米 考点：垂径定理的应用；勾股定理 . 分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可 解答：解：根据垂径定理，得 AD= AB=20 米 设圆的半径是 r，根据勾股定理， 第 25 页 共 54 页 得 R2=202+（ R 10） 2， 解得 R=25（米） 故答案为 25 点评：此题综合运用了勾股定理以及垂径定理注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算 13.（ 2015江苏泰州 ,第 12 题 3 分）如图， O 的内接四边形 ABCD 中， A=115，则 BOD 等于 _. 【答案】 150. 考点： 1.圆内接四边形的性质； 2.圆周角定理 . 14.（ 2015江苏徐州 ,第 15 题 3 分）如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 E，连接 AC若 CAB=22.5，CD=8cm，则 O 的半径为 4 cm 考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 . 专题： 计算题 分析： 连接 OC，如图所示，由直径 AB 垂直于 CD，利用垂径定理得到 E 为 CD 的中点，即 CE=DE，由 OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 COE 为等腰直角三角形，求出 OC 的长，即第 26 页 共 54 页 为圆的半径 解答： 解：连接 OC，如图所示： AB 是 O 的直径，弦 CD AB， CE=DE= CD=4cm， OA=OC， A= OCA=22.5， COE 为 AOC 的外角 ， COE=45， COE 为等腰直角三角形 ， OC= CE=4 cm， 故答案为： 4 点评： 此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键 15.（ 2015山东东营 ,第 15 题 4 分）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB为 0.8m，则排水管内水的深度为 m 【答案】 0.8 第 27 页 共 54 页 考点： 1.垂径定理； 2.勾股定理 . 16（ 2015四川甘孜、阿坝，第 23 题 4 分）如图， AB 是 O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，则 ABC的大小为 30 度 考点： 垂径定理；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理 . 分析： 根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解 解答： 解：连接 OC， 弦 CD 垂直平分半径 OA， OE= OC， OCD=30， AOC=60， ABC=30 故答案为： 30 点评： 本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出 OCE=30， EOC=60然后再圆周角第 28 页 共 54 页 定理，从而求出 ABC=30 17（ 2015四川广安，第 12 题 3 分）如图， A、 B、 C 三点在 O 上，且 AOB=70，则 C= 35 度 考点： 圆周角定理 . 分析： 由 A， B， C 三点在 O 上，且 AOB=70，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案 解答： 解： AOB=70， C= AOB=35 故答案为： 35 点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形 结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 18（ 2015甘肃兰州 ,第 20 题， 4 分）已知 ABC 的边 BC=4cm， O 是其外接圆，且半径也为 4cm，则 A的度数是 _ 【 答 案 】 30 【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的 一半， 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。 【思路点拔】 BC=半径，那么 BC 与对应的两条半径所构成的三角形就 是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。 【解答过程】分别连结 OB 和 OC，因为 BC=OB=OC，所以 O=60， 则在 O 中， A=21 B=30. 【题目星级】 第 29 页 共 54 页 三 .解答题 1.（ 2015山东威海，第 22 题 9 分）如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 D，交BC 于点 E （ 1）求证： BE=CE； （ 2）若 BD=2， BE=3，求 AC 的长 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理 . 专题： 证明题 分析： （ 1）连结 AE，如图，根据圆周角定理，由 AC 为 O 的直径得到 AEC=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE； （ 2）连结 DE，如图，证明 BED BAC，然后利用相似比可计算出 AB 的长，从而得到 AC 的长 解答： （ 1）证明：连结 AE，如图， AC 为 O 的直径， AEC=90， AE BC， 而 AB=AC， BE=CE； （ 2）连结 DE，如图， BE=CE=3， BC=6， BED= BAC， 而 DBE= CBA， BED BAC， = ，即 = ， BA=9， AC=BA=9 第 30 页 共 54 页 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理 2（ 2015四川资阳 ,第 22 题 9 分）如图 11，在 ABC 中， BC 是以 AB 为直径的 O 的切线，且 O 与 AC相交于点 D， E 为 BC 的中点，连接 DE. （ 1）求证： DE 是 O 的切线； （ 2）连接 AE，若 C=45，求 sin CAE 的值 . 考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形 . 分析：（ 1）连接 DO， DB，由圆周角定理就可以得出 ADB=90，可以得出 CDB=90，根据 E 为 BC 的中点可以得出 DE=BE，就有 EDB= EBD， OD=OB 可以得出 ODB= OBD，由的等式的性质就可以得出 ODE=90就可以得出结论 （ 2）作 EF CD 于 F，设 EF=x，由 C=45，得出 CEF、 ABC 都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 BE=CE= x， AB=BC=2 x， AE= x，进而就可求得 sin CAE 的值 解答：解：（ 1）连接 OD， BD， OD=OB ODB= OBD AB 是直径， ADB=90， CDB=90 E 为 BC 的中点， DE=BE， EDB= EBD， ODB+ EDB= OBD+ EBD， 即 EDO= EBO 第 31 页 共 54 页 BC 是以 AB 为直径的 O 的切线， AB BC， EBO=90， ODE=90， DE 是 O 的切线； （ 2）作 EF CD 于 F，设 EF=x C=45， CEF、 ABC 都是等腰直角三角形， CF=EF=x， BE=CE= x， AB=BC=2 x， 在 RT ABE 中 ， AE= = x， sin CAE= = 点评：本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键 3、（ 2015四川自贡 ,第 24 题 14 分）在 ABC 中， , c o s 3A B A C 5 A B C5 ,将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到 11ABC . .如图 ，当点 1B 在线段 BA 延长线上时 . .求证： 11BB CAP ； .求 1ABC 的面积； . 如图 ，点 E 是 BC 上的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在 ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F的对应点是 1F ，求线段 1EF 长度的最大值与最小值的差 . A 1B 1ACBF 1A 1B 1AE CBF第 32 页 共 54 页 考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理、圆的基本性质等 . 分析： . .见图 要使 11BB CAP 根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角 12 来证得 . 如图根据 AB AC 可以得出 B ACB ，根据旋转的特征可以得出 1B C BC ，所以 1B ，而2 ACB (旋转角相等 ) ，所以 12 . . 求 1ABC 的面积可以把 1AB 作为底边，其高在 1BA的延长线上，恰好落在等腰三角形 ABCV 的 AB 上；在等腰 ABCV 和 1BBCV ,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定理可以求出 1A B B B C E、 、 ，而11A B B B A B， 1ABC 的面积可以通过 11 AB CE2 求出 . . 见图 .点 C 到 AB 的垂线段最短，过点 C 作 CF AB 于 F ；点 F 点 F 的对应点是 1F ，若以点 C 为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 1F , 1EF 有最小值； 根据 的 CA AB 5和求出的 BC 6 ，当点 F 为线段 AB上的移到端点 A 时 CA 最长，此时其对应点 F 移动到 1A 时 1CA 也就最长； 如图 ，以点 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 于的延长线 1F , 1EF 有最大值 . 1EF 有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决（见图 ） . 2.略解： . .证明： , 1A B A C B C B C ,B A C B 1 B 2 ACB (旋转角相等 ) 第 33 页 共 54 页 12 11BB CAP .过 A 作 AF BC 于 F ,过 C 作 CE AB 于 E ,A B A C A F B C BF CF （三线合一） 在 Rt AFBV 中 ， c o s B F 3ABCA B 5 ,又 AB 5 BF 3 BC 6 1B C BC 6 作 CE AB 后 1BE B E （ 三线合一 ） 1B B 2BE 在 Rt AFBV 中 ， c o s B E 3BECB C 5 18BE51 36BB 5-=22 1 8 2 4C E 6 55 （注：也可以用三角函数求出） 1 3 6 1 1A B 555 1ABC 的面积为： 1 1 1 2 4 1 3 22 5 5 2 5 .如图过点 C 作 CF AB 于 F ,以点 C 为圆心 CF 为半径画圆