高考数学难点突破_难点13__数列的通项与求和

难点 13 数列的通项与求和 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，是函数思想在数列中的应用 列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n 项和 通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 . 难点磁场 ( )设 正数组成的数列，其前 n 项和为 且对于所有的自然数 n， 的等差中项等于 的等比中项 . (1)写出数列 前 3 项 . (2)求数列 通项公式 (写出推证过程 ) (3)令 (2111 n N*)，求n(b1+b2+ +n). 案例探究 例 1已知数列 公差为 d 的等差数列，数列 公比为 q 的 (q R 且 q 1)的等比数列，若函数 f(x)=(x 1)2，且 a1=f(d 1)， a3=f(d+1)， b1=f(q+1)， b3=f(q 1)， (1)求数列 通项公式； (2)设数列 前 n 项和为 一切 n N*，都有 2111= 成立，求n 2. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力 级题目 . 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而 (2)中条件等式的左边可视为某数列前 n 项和，实质上是该数列前 n 项和与数列 关系，借助通项与前n 项和的关系求解 错解分析：本题两问环环相扣， (1)问是基础，但解方程求基本量 d、 q，计算不准易出错； (2)问中对条件的正确认识和转化是关键 . 技巧与方法：本题 (1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然， (2)问“借鸡生蛋”构造新数列 运用和与通项的关系求出 丝入扣 . 解： (1) a1=f(d 1)=(d 2)2， a3=f(d+1)= a1=(d 2)2=2d， d=2， an=n 1)d=2(n 1)；又 b1=f(q+1)=b3=f(q 1)=(q 2)2， 2213 )2( = q R，且 q 1，得 q= 2， bn=b 1=4 ( 2)n 1 (2)令 d1+ +dn=,(n N*), dn= , ,即 ( 2)n 1； 8 1 ( 2)n . 2)21(2)21()2(1)2(121222212212 例 2设 前 n 项和， 3(1)，数列 通项公式为 n+3; (1)求数列 通项公式； (2)把数列 公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列 通项公式为 2n+1; (3)设数列 第 n 项是数列 的第 r 项， 前 r 项的和； 前 n 项和， r n 4)( 命题意图：本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力 . 知识依托：利用项与和的关系求 (2)问中探寻 相通之处，须借助于二项式定理；而 (3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 . 错解分析：待证通项 2n+1与 意不到 r与 n 的关系，使 n，又含有 r，会使所求的极限模糊不清 . 技巧与方法 ： (1)问中项与和的关系为常规方法， (2)问中把 3 拆解为 4 1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔； (3)问中挖掘出 n 与 r 的关系，正确表示 题便可迎刃而解 . 解： (1)由 3(1)，可知 =23( 1)， 3( 即=3，而 1=23(1)，得 ，所以数列是以 3为首项，公比为 3 的等比数列，数列 通项公式 n. (2) 32n+1=3 32n=3 (4 1)2n=3 42n+ 42n 1( 1)+ +C 122 4 ( 1)+( 1)2n=4n+3， 32n+1 而数 32n=(4 1)2n=42n+ 42n 1 ( 1)+ +C 122 4 ( 1)+( 1)2n=(4k+1)， 32n 而数列 2n+1. (3)由 32n+1=4 r+3，可知 r=4 3312 n ， )19(827)91(91 27,2 734 33)52(2 )347(1212 89)()(,433811389)19(827821349444241212囊妙计 注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 . n 项和 2,1,11 作新数列法 累差叠加法 1+(1+2)+ +(归纳、猜想法 . n 项和常用求法 重要公式 1+2+ +n=21n(n+1) 12+22+ +1n(n+1)(2n+1) 13+23+ +1+2+ +n)2=41n2(n+1)2 等差数列中 Sm+n=n+比数列中 Sm+n=Sn+m+裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1) f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 等)!1(1!1)!1(1,c t g 2c t i )!1(!,111)1(111错项相消法 并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 . 歼灭难点训练 一、填空题 1.( )设 21 i)n， (n N*)，记 + + + 则_. 2.( )作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_. 二、解答题 3.( )数列 足 ，对于任意的 n N*都 有 0,且 (n+1) 2=0，又知数列 通项为 n 1+1. (1)求数列 通项 n 项和 (2)求数列 前 n 项和 (3)猜想 说明理由 . 4.( )数列 ， ,且满足 =2 n N*). (1)求数列 通项公式； (2)设 + + + ,求 (3)设 12( 1 (n N*),Tn=b1+ +bn(n N*),是否存在最大的整数 m，使得对任意 n N*均有 2存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 . 5.( )设数列 前 n 项和为 m+1) n 都成立，其中 m 为常数，且 m 1. (1)求证： 等比数列； (2)设数列 公比 q=f(m)，数列 足： 1a1,bn=f(1)(n 2,n N*)当 (3lg(3221 成立？ 6.( )已知数列 等差数列， ,b1+ +45. (1)求数列 通项 (2)设数列 通项 an=+(其中 a 0 且 a 1),记 前 n 项和，试比较 的大小，并证明你的结论 . 7.( )设数列 首项 ，前 n 项和 ： 3(2t+3)1=3t(t 0,n=2,3,4 ). (1)求证：数列 等比数列； (2)设数列 公比为 f(t)，作数列 使 ,bn=f(11n=2,3,4 )，求数列 通项 (3)求和： +1. 参考答案 难点磁场 解析： (1)由题意，当 n=1 时，有11 22 2 ， S1= 11 22 2 ，解得 .当 n=2 时，有22 22 2 ， S2=a1+ 代入，整理得 (2)2=16，由 0，解得 .当 n=3 时，有33 22 2 ， S3=a1+a2+ ， 代入，整理得 (2)2=64，由 0，解得 项为 2， 6， 10. (2）解法一：由 (1）猜想数列 有通项公式 n 通项公式是 n 2， (n N*） . 当 n=1 时，因为 4 1 2=2，又在 (1)中已求出 ，所以上述结论成立 . 假设当 n=k 时，结论成立，即有 k 2，由题意，有a 22 2 ，将 k得 2k= 题意，有11 22 2 a， =Sk+，将入得 (2 21 =2(+2整理得 2 4+4 16，由 0，解得=2+4k，所以 =2+4k=4(k+1) 2，即当 n=k+1 时，上述结论成立 ，上述结论对所有的自然数 n N*成立 . 解法二：由题意知a 22 2 ， (n N*)1()2,由此得 =81(+2)2， = 1 (+2)2 ()2 +( 4)=0，由题意知 +0， ，即数列 等差数列，其中 ，公差 d=4. an=n 1)d=2+4(n 1)，即通项公式为 n 2. 解法三：由已知得a 22 2 ,(n N*)，所以有11 22 2 a，由式得11 22 2 理得 2 2 1 ，解得S 21，由于数列 正项数列，而 2,211 而S 21，即 以 21以 2 为公差的 等差数 列 . 所以2 +(n 1) 2 = 2 n, 故 )2(,24)1(,21 n 2(n N*). (3)令 cn=1，则 2(2111 211(211)121121()5131()311(,121121)11212()11212(21212121 歼灭难点训练 一、 ,)2 2(|)21()21(|:11 2(1221)2 2(12121 2 212 2222 1 答案： 1+题意所有正三角形的边长构成等比数列 可得 2三角形的内切圆构成等比数列 可得 2163 这些圆的周长之和 c=r1+ +233 面积之和 S=n2+ +9案：周长之和233 a，面积之和9、 (1）可解得11 n 而 n，有 Sn=n2+n， (2)n+n 1. (3)n 1，验证可知， n=1 时， 1， n=2 时 n=3 时， S3;n=4时， n=5 时， n=6 时 n 5 时， 2n 可用数学归纳法证 明 (略） . (1）由 =2 = d=14 14 2, 0 2n. (2)由 0 2n 0 可得 n 5，当 n 5 时， n，当 n 5 时， Sn=9n+40，故 5 40951 922(3)111(21)22( 1)12( 1 (2)111()3121()211(2121 n ；要使 232m 1成立，即 m 8 且 m Z，故适合条件的 m 的最大值为 7. (1）由已知 =(m+1) m+1) ,由，得 =，即 (m+1)=n 都成立 . m 为常数，且 m 1 11 1等比数列 . (2)当 n=1 时， a1=m+1 ，从而 1. 由 (1)知 q=f(m)=1 bn=f(1)=11 1 n n N*,且 n 2) 1111nn 1111nn 为等差数列 .3+(n 1)=n+2， 21 n N*). 910,101,1111151414131(33lg(1(132211(1)设数列 公差为 d，由题意得：1452 )110(1010111得 ,d=3, n 2. (2)由 n 2,知 Sn=+1)+41)+ +23 1n) =(1+1)(1+41) (1+23 1n)，3 1= 13 n . 因此要比较 31 的大小，可先比较 (1+1)(1+41) (1+23 1n)与 3 13 n 的大小， 取 n=1 时，有 (1+1) 3 113 取 n=2 时，有 (1+1)(1+41) 3 123 由此推测 (1+1)(1+41) (1+23 1n) 3 13 n 若式成立，则由对数函数性质可判定： 当 a 1 时， 1， 当 0 a 1 时， 1， 下面用数学归纳法证明式 . ( )当 n=1 时，已验证式成立 . ( )假设当 n=k 时 (k 1），式成立，即： 3 13)23 11()411)(11( 那么当 n=k+1 时， 333322223323331)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(343)23(1313,0)13(49)13()13)(43()23(43)23(1313)313)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(因而这就是说式当 n=k+1 时也成立 . 由 (） (）可知式对任何正整数 n 都成立 . 由此证得： 当 a 1 时， 1；当 0 a 1 时， 1 . (1)由 S1=,+ 3t(1+ (2t+3)=3t. a2= 32,3