5-7-1数值原理与数的进制,题库教师版

题库 教师版 本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。 一、位值原理 位值原理的 定义： 同一个数字，由于它在所写的数里 的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“ 2” ,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式： 以六位数为例： a 100000+b 10000+c 1000+d 100+e 10+f。 二、数的进制 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1的自然数进位制。比如二进 制，八进制，十六进制等。 二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0和 1。二进制的计数单位分别是 1、 21、 22、 23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110在二进制中表示为： (100110)2=1 25+0 24+0 23+1 22+1 21+0 20。 二进制的运算法则 ： “满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意： 对于任意自然数 n,我们有 。 n 进制： n 进制的运算法则是“逢 n 进一，借一当 n”， n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 进制间的转换： 如右图所示。 知识点拨 教学目标 5十进制 二进制 十六进制 八进制 题库 教师版 模块一、 位置原理 【例 1】 某三位数 它的反序数 差被 99 除，商等于 _与 _的差； 【 解解 析析 】 本题属于基础型题型。我们不妨设 a b c。 ( 99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a) 99=(99 99= 【 巩巩 固固 】 差被 9 除，商等于 _与 _的差； 【 解解 析析 】 ( 9=(10a+b)-(10b+a) 9=(9 9= 【 巩巩 固固 】 和被 11 除，商等于 _与 _的和。 【 解解 析析 】 ( 11=(10a+b)+(10b+a) 11=(11a+11b) 11=a+b。 【例 2】 (美国小学数学奥林匹克 )把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换 后的新的两位数的差是 45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【 解解 析析 】 设原来的两位数为 交换后的新的两位数为 根据题意， ( 1 0 ) ( 1 0 ) 9 ( ) 4 5a b b a a b b a a b ， 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为 9，即9a ， 4b ，原来的两位数中最大的是 94 【 巩巩 固固 】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数 (这个数也叫原数的反序数 )，新数比原数大 8802求原来的四位数 【 解解 析析 】 设原数为 则新数为 ( 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) 9 9 9 ( ) 9 0 ( )d c b a a b c d d c b a a b c d d a c b 根据题意，有 9 9 9 ( ) 9 0 ( ) 8 8 0 2d a c b ， 1 1 1 ( ) 1 0 ( ) 9 7 8 8 8 8 9 0d a c b 推知 8 ， 9 ，得到 9d ， 1a ， 9c ， 0b ，原数为 1099 【 巩巩 固固 】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如， 99 就是一个巧数，因为 9 9 (9 9) 99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。 【 解解 析析 】 设这个巧数为 则有 ab+a+b=10a+b， a(b+1)=10a，所以 b+1=10， b=9。 满足条件的巧数有： 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 99。 【例 3】 (第五届希望杯培训试题 )有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少？ 【 解解 析析 】 设这六个不同的三位数为 , , , , ,a b c a c b b a c b c a c a b c b a， 因为 1 0 0 1 0a b c a b c ， 1 0 0 1 0a cb a c b ，它们的和是： 2 2 2 ( ) 1 5 5 4 ，所以 1 5 5 4 2 2 2 7 ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为 4；又 1 2 3 6 7 ，所以最大的数大于 3 ，所以最大的数为 4，其他两数分别是 1， 2 【 巩巩 固固 】 (迎春杯决赛 )有三个数字能组成 6 个 不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求所有这样的 6个三位数中最小的三位数 【 解解 析析 】 设三个数字分别为 a、 b、 c，那么 6个不同的三位数的和为： 2 ( ) 1 0 0 2 ( ) 1 0 2 ( ) 2 2 2 ( )a b c a c b b a c b c a c a b c b a a b c a b c a b c a b c 所以 2 8 8 6 2 2 2 1 3 ，最小的三位数的百位数应为 1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 9，此时十位数为 13 1 9 3 ，所以所 例题精讲 题库 教师版 有这样的 6个三位数中最小的三位数为 139 【 巩巩 固固 】 用 1， 9， 7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【 解解 析析 】 卡片“ 9”倒过来看是“ 6”。作为卡片“ 9”，由第 3题的结果可知， 1， 9， 7可组成的六个不同的三位数之和是（ 1 9 7） 222；同理，作为卡片“ 6”， 1， 6， 7 可组成的六个数之和是（ 1 6 7） 222。这 12个数的平均值是：（ 1 9 7）（ 1 6 7） 222 12 【 巩巩 固固 】 从 1 9 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个 三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【 解解 析析 】 设这三个数字分别为 a、 b、 c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为 222（ a b c） 3330，推知 a b c 15。所以，当 a、 b、 、 5、 9时，它们组成的三位数最小为 159，最大为 951。 【 巩巩 固固 】 a， b， c 分别是 09: 中不同的数码，用 a， b， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数 之和是 2234，那么另一个三位数是几？ 【 解解 析析 】 由 a ， b ， c 组成的六个数的和是 222 ( ) 因为 2234 222 10，所以 10 若 11 ，则所求数为 2 2 2 1 1 2 2 3 4 2 0 8 ，但 2 0 8 1 0 1 1 ，不合题意 若 12 ，则所求数为 2 2 2 1 2 2 2 3 4 4 3 0 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意 若 13 ，则所求数为 2 2 2 1 3 2 2 3 4 6 5 2 ， 6 5 2 13 ，符合题意 若 14 ，则所求数为 2 2 2 1 4 2 2 3 4 8 7 4 ，但 8 7 4 1 9 1 4 ，不合题意 若 15 ，则所求数 2 2 2 1 5 2 2 3 4 1 0 9 6 ，但所求数为三位数，不合题意 所以，只有 13 时符合题意，所求的三位数为 652 【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入 0 9 中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的 9 倍。求出所有这样的三位数。 【 解解 析析 】 因为原两位数与得到的三位数之和是 原两位数的 10倍，所以原两位数的个位数只能是 0或 5。如果个位数是 0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的 10倍，所以个位数是 5。设原两位数是 则 b=5，变成的三位数为 题意有 100a 10b 5（ 10a 5） 9，化简得 a b 4。变成的三位数只能是 405， 315， 225， 135。 【 巩巩 固固 】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口 处两个数字中间多一个 0 的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。 【 解解 析析 】 设第一个 2 位数为 10a+b；第二个为 10b+a ；第三个为 100a+b ；由题意： (100a+b)-（ 10b+a）=( 10b+a)-（ 10a+b) ；化简可以推得 b=6a， 0 a,b 9，得 a=1， b=6；即每小时走 615 ；（ 601 45=11；再行 11 小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。 【 巩巩 固固 】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些 新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有 0 的四位数 M ，它比新数中最大的小 3834，比新数中最小的大 4338求这个四位数 【 解解 析析 】 设组成这个四位数的四个数码为 a ， b ， c ， d (91a b c d )， 则有 3 8 3 4 4 3 3 8 8 1 7 2a b c d d c b a ， 可得 9 9 9 ( ) 9 0 ( ) 8 1 7 2 7 9 9 2 1 8 0a d b c ， 则 8， 2 ， 9a ， 1d ， 1 9 4 3 3 8M ，且 、 c 、 b 、 9，由于 8 9 17 的个位数字为 7，所以 b ， c 中有一个为 7，但 2 ，所以 c 不能为 7，故 7b ，5c ， 1 5 7 9 4 3 3 8 5 9 1 7M 【例 5】 已知 1 3 7 0 ,a b c d a b c a b a a b c d 求. 【 解解 析析 】 原式： 1111a 111b 11c d 1370，所以 a 1， 则 111b 11c d 1370 1111 259，推知 b 2；进而推知 c 3， d=4所以 1234。 题库 教师版 【 巩巩 固固 】 (2008 年清华附中考题 )已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 2008，则所有这样的四位数之和为多少 【 解解 析析 】 设这样的四位数为 则 2008a b c d a b c d ，即 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2 2 0 0 8a b c d ，则 1a 或 2 若 2a ，则 1 0 1 1 1 2 6b c d ，得 0 ， 3d ， 2003 ； 若 1a ，则 1 0 1 1 1 2 1 0 0 7b c d ， 由 于 1 1 2 1 1 9 2 9 1 1 7 ，所以1 0 1 1 0 0 7 1 1 7 8 9 0b ，所以 8b ，故 b 为 9， 1 1 2 1 0 0 7 9 0 9 9 8 ，则 c 为偶数，且1 1 9 8 2 9 8 0c ，故 7c ，由 c 为偶数知 8c ， 5d ， 1985 ； 所以，这样的四位数有 2003和 1985两个，其和为： 2 0 0 3 1 9 8 5 3 9 8 8 【例 6】 有一个两位数，如果把数码 3 加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码 3 加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码 3，则可得到一个四位数将 这两个三位数和一个四位数相加等于 3600 求原来的两位数 【 解解 析析 】 设原来的两位数是 则得到的两个三位数分别为 3 3四位数为 33由题知3 3 3 3 3 6 0 0a b a b a b ，即 1 0 3 3 0 0 3 0 0 3 1 0 3 6 0 0ab ab ， 21 294 ，故 14 【 巩巩 固固 】 如果把数码 5 加写在某自然数的右端，则该数增加 1111A ，这里 A 表示一个看不清的数码，求这个数和 A。 【 解解 析析 】 设这个数为 x，则 10x+51111A ，化简得 9x= 1106A ，等号右边是 9的倍数，试验可得 A=1， x=1234。 【 巩巩 固固 】 某八 位 数 形如 2它与 3 的乘积形如 4则七位数 是多少？ 【 解解 析析 】 设 x ，则 72 2 1 0a b c d e f g x ， 4 1 0 4a b cd x， 根 据 题 意 ， 有 72 1 0 3 1 0 4 ，得 77 6 1 0 4 5 9 9 9 9 9 9 6x ，所以 8571428x 【例 7】 一 个六位数 如果满足 4 a b c d e f fa b c d e，则称 “迎春数” (例 如4 102564410256 ，则 102564 就是 “ 迎春数 ”) 请你求出所有 “ 迎春数 ” 的总和 【 解解 析析 】 由于是把六位数 末位 f 调到首位构成了新六位数 所以不妨把 成一个整体，设 ，则根据位值原理可知“迎春数”是 10，并满足关系式： 4 1 0 1 0 0 0 0 0A f f A 对等式化简得： 3 9 9 9 9 9 6 所以： 2564 因为 A 是五位数， f 是一位数，所以 f 可以为 4， 5， 6， 7， 8， 9 而“迎春数” 1 0 1 0 2 5 6 4 2 5 6 4 1a b c d e f A f f f f ， 那么，所有“迎春数”的总和是： 2 5 6 4 1 4 5 6 7 8 9 2 5 6 4 1 3 9 9 9 9 9 9 9 【 巩巩 固固 】 (2008 年“华杯赛”决赛 )设六位数 足 fa b c d e f a b c d e f ，请写出这样的六位数 【 解解 析析 】 令 x ，则： 510fa b c d e f x ， 10x f，所以 51 0 1 0f x f x f ，可得 5101 0 1此时可将 1f ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9一一代入进行检验，可得当 1f 时，111111x ；当 4f 时， 102564x 只有这两个数满足条件 由于将 f 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行： 5 5 2 5 4 4 2 4 2410 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0101 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1ff f f f f f f f ，所以 424 1010 1 0 1fx f ，则 5 2 5 2 2 54 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1f f f f fx f ff f f 是整数 题库 教师版 设其为 a ，则 6 6 61 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 9 9 9 9 9 91 0 1 11 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1f f fa f f f f 是整数，所以 10 1f 是999999的约数 当 1f ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 时， 10 1f 分别为 9， 19， 29， 39， 49， 59， 69， 79， 89，由 39 9 9 9 9 9 3 7 1 1 1 3 3 7 容易知道其中只有 9和 39是 999999的约数，此时 f 分别为 1和 4这样的六位数有 111111 和 102564 【例 8】 记四位数 X ，由它的四个数字 a,b,c,d 组成的最小的四位数记为 X ，如果* 999 ，那么这样的四位数 X 共有 _个 【 解解 析析 】 * 999 得到 9 9 9 1 0 0 0 1X X X ，所以如果 a 、 b 、 c 、 d 组成的四位数 X 末位数字不是 0，那么 X 等于将 X 的千位数字加 1，个位数字减 1，反过来 X 等于 X 的千位数字减 1，个位数字加 1，所以 X 为 11a bc d，与 X 比较， b 和 c 位置没有换，交换的是 a 和 d ， X表示为 可以得到等式 1 ，即 1所以 a 和 d 的取值组合，只有 2和 1， 3和 2，9和 8，共 8 种情况 对于其中任意一种组合，由于 由四个数字 a b c d、 、 、 组成的最小的四位数，分别考虑 b 、c 中有 0的情况 (可能两个都为 0；若只有一个 0，则 0b ， d c a )；以及 b 、 c 都不为 0的情况 (此时 d b c a )，可知两种情况下各有 3种可能，共 6种可能： 000 0 比如以 4a ， 3d 为例， 能的取值有 3004， 3034， 3044， 3334， 3344，34444这 6个数根据乘法原理，满足条件的四位数一共有 8 6 48 种 如果 a 、 b 、 c 、 d 组成的最小的四位数 X 末位数字是 0，显然 X 的百位、十位都是 0，此时 a 、b 、 c 、 d 无法组 成其它的四位数，不合题意 由于每一个 X 对应一个 X ，所以满足条件的四位数 X 共有 48个 【例 9】 将 4 个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数 (4 3 2 1 24 )将这 24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5 的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被 4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000 4000 之间求这 24 个四位数中最大的那个 【 解解 析析 】 从题中可以看出，这 4 个数都不为 0设这 4 个不同的数从小到大依次为 a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是 是 5的倍数，又 c 不为 0，所以 5c 它们组成的 24个四位数中，第二大的是 是 2的倍数但不是 4的倍数，所以 b 是偶数，而 的倍数由 b 是偶数且 5 知 b 为 4 或 2若为 2，那么 1a ，但此时 12是 4 的倍数，矛盾，所以，又 是 4的倍数，所以 a 为 1或 3 它们组成的 24个四位数中，第五小的为 (最小的 5个依次为 ，第五大 (第二十小 )的为 (最大的 5个依次为 ，所以 得到的四位数的千位为 3由于 ，所以 ，那么减法算式中百位要向千位借位，所以 13 ，故 4 又 5 ，所以 1a ，那么 3a ， 7d ， 它们组成的 24个四位数中最大的为 即 7543 模块二、数的进制 【例 10】 2 2 2(1 0 1 ) (1 0 1 1 ) (1 1 0 1 1 ) _； 2 2 2 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( ） ） ） ）； 4 7 1 0( 3 0 2 1 ) ( 6 0 5 ) ( ) ； 8 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 1 2 4 7 ) ( 1 6 0 3 4 ) ( 2 6 5 3 1 ) ( 1 7 4 4 ) _； 若 (1030) 140n ，则 n _ 【 解解 析析 】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0( 1 0 1 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 1 0 1 1 ) ( 5 ) ( 1 1 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 1 1 1 0 0 ) ； 可转化成十进制来计算： 题库 教师版 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( 1 9 9 ) ( 2 1 ) ( 3 ) ( 1 9 2 ) ( 1 1 0 0 0000 ） ） ） ）； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101 (11） ）进行除法计算，只是每次借位都是 2，可得2 2 2 2 2 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 1 1 ( 1 1 0 0 0 0 0 0 ） ） ） ） ） ）； 本题涉及到 3个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜： 324 7 1 0 1 0 1 03 0 2 1 ) ( 6 0 5 ) ( 3 4 2 4 1 ) ( 6 7 5 ) ( 5 0 0 ) ( ； 十进制中，两个数的 和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方 法叫“ 凑整法”，在 n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整 n 原式8 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 1 2 4 7 ) ( 2 6 5 3 1 ) ( 1 6 0 3 4 ) ( 1 7 4 4 ) 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 3 0 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 ) ( 1 3 1 2 1 ) ； 若 (1030) 140n ，则 3 3 140 ，经试验可得 5n 【 巩巩 固固 】 8 5 25 6 7 ( ( ( ） ） ）； 在八进制中， 1 2 3 4 4 5 6 3 2 2 _； 在九进制中， 1 4 4 3 8 3 1 2 3 7 1 2 0 1 1 7 7 0 5 7 6 6 _ 【 解解 析析 】 本题是进制的直接转化： 8 5 25 6 7 ( 1 0 6 7 ( 4 2 3 2 ( 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 ） ） ）； 原式 1 2 3 4 ( 4 5 6 3 2 2 ) 1 2 3 4 1 0 0 0 2 3 4 ； 原式 1 4 4 3 8 ( 3 1 2 3 5 7 6 6 ) ( 7 1 2 0 1 1 7 7 0 ) 1 4 4 3 8 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 4 3 8 【例 11】 在几进制中有 4 13 100 ？ 【 解解 析析 】 利用尾数分析来解 决 这个问题： 由于1 0 1 0 1 0( 4 ) ( 3 ) (1 2 )，由于 式中为 100，尾数为 0， 也就是说已经将 12全部进到上一位 所以说进位制 n 为 12的约数，也就是 12， 6， 4， 3， 2中的一个 但是 式子中 出现了 4，所以 n 要比 4大， 不可能是 4， 3， 2进制 另外，由于1 0 1 0 1 0( 4 ) (1 3 ) ( 5 2 )，因 为 52 100 ，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100， 于是知道 10n ，那么 n 不能是 12 所以， n 只能是 6 【 巩巩 固固 】 在几进制中有 1 2 5 1 2 5 1 6 3 2 4 ？ 【 解解 析析 】 注意 1 0 1 0 1 0(1 2 5 ) (1 2 5 ) (1 5 6 2 5 )，因为 15625 16324 ，所以一定是不到 10就已经进位，才能得到16324，所以 10n 再注意尾数分析，1 0 1 0 1 0( 5 ) ( 5 ) ( 2 5 )，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位 所以说进位制 n 为 21的约数，又小于 10，也就是可能为 7或 3 因为出现了 6，所以 n 只能是 7 【 巩巩 固固 】 算式 1 5 3 4 2 5 4 3 2 1 4 是几进制数的乘法？ 【 解解 析析 】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20 ，但是现在为 4，说明进走20 4 16 ，所以进位制为 16的约数，可能为 16、 8、 4或 2 因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、 2进位，而在十进制中有 1 5 3 4 2 5 3 8 3 5 0 4 3 2 1 4 ，所以在原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8进制 【例 12】 将二进制数 ( 化为十进制数为多少？ 【 解解 析析 】 根据二进制与十进制之间的转化方法， ( =1 24+1 23+0 22+1 21+0 20+1 2 26+8+0+2+0+ 【 巩巩 固固 】 二进制数 10101011110011010101101 转化为 8 进制数是多少？ 【 解解 析析 】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表： 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111 从后往前取三合一进行求解，可以得知 (10101011110011010101101)2=(25363255)8。 题库 教师版 【 巩巩 固固 】 将二进制数 换为十六进制数。 【 解解 析析 】 在转 换为高于 9进制的数时，遇到大于 9的数用字母代替，如： 0、 1、 2、3。根据取四合一法，二进制 【 巩巩 固固 】 某数在三进制中为 12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第 l 位数字是几 ? 【 解解 析析 】 由于 32=9，所以由三进制化为 9 进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为 12，用位值原理将其化为 1 31+2 30=5，所以化为 9 进制数后第一位为 5. 【例 13】 现有 1 克， 2 克， 4 克， 8 克， 16 克的砝码各 1 枚， 在天平上能 称多少种不同重量的物体？ 【 解解 析析 】 因为砝码的克数恰好是 1， 2， 4， 8， 16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示： 1， 2， 22=4，23=8， 24=16，在砝码盘上放 1克砝码认为是二进位制数第一位 (从右数 )是 1，放 2克砝码认为是二进位制数第二位是 1，放 16克砝码认为是二进位制数第五位是 1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是 1，最大的是 (11111)2=24+23 22 21 20=(31)10，这就是说 1至 31 的每个整数 (克 )均能称出。所以共可以称出 31 种不同重量的物体。 【例 14】 在 6 进制中有三 位数 化为 9 进制为 求这个三位数在十进制中为多少 ? 【 解解 析析 】 ( =a 62 b 6+c=36a+6b+c； (=c 92+b 9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a；于是 35a=3b+80c；因为 35的倍数， 80的倍数所以 3的倍数，又 (3，5)=1所以， b=0或 5 当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c； (7， 16)=1，并 且 a、 c 0，所以 a=16， c=7。但是在 6,9 进制，不可以有一个数字为 16 当 b=5，则 35a=3 5+80c；则 7a=3+16c； 后， 3+2c 0。所以 c=2或者 2+7k(因为有 6进制，所以不可能有 9或者 9以上的数，于是 c=2； 35a=15+80 2， a=5。所以 ( =(552)6 =5 62+5 6+2=212。这个三位数在十进制中为 212。 【 巩巩 固固 】 在 7 进制中有三位数 化为 9 进制为 求这个三位数在十进制中为多少？ 【 解解 析析 】 首先还原为十进制： 27( ) 7 7 4 9 7a b c a b c a b c ； 29( ) 9 9 8 1 9c b a c b a c b a 于是 4 9 7 8 1 9a b c c b a ；得到 48 80 2a c b，即 24 40a c b 因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8的倍数，所以 b 也应该是 8的倍数，于是 0b 或 8 但是在 7进制下，不可能有 8这个数字于是 0b ， 24 40，则 35 所以 a 为 5的倍数， c 为 3的倍数 所以， 0a 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 5a ， 3c ； 所以77( ) ( 5 0 3 ) 5 4 9 3 2 4 8 于是，这个三位数在十进制中为 248 【 巩巩 固固 】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“ 0” 就是三进制数，求此人的年龄 【 解解 析析 】 设这个人为 a 岁，得(10) (3)0又 10( 3 ) ( 1 0 )0 3 0 3 3a a a ，解得 0a ，不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数 设这个人是 ，由题意得：(10) (3)0ab 因为 2 1 0( 1 0 ) ( 3 )1 0 , 0 3 3 0 3 9 3a b a b a b a b a b ，所以 10 9 3a b a b ，即 2又因为 0三进制数， a ， b 都小于 3，所以 2a ， 1b 所以，这个人为 21岁 设 这 个 人 为 ， 由 题 意 有 ，(10 ) ( 3 )0 因 为( 1 0 ) 1 0 0 1 0a b c a b c ，32( 3 )0 3 3 3 2 7 9 3a b c a b c a b c ，所以 1 0 0 1 0 2 7 9 3a b c a b c 即 73 2a b c 又 题库 教师版 a 、 b 、 c 都小于 3，所以上述等式不成立所以这个人的年龄不可能是三位数 综上可知这个人的年龄是 21岁 【 巩巩 固固 】 N 是整数，它的 b 进制表示是 777，求最小的正整数 b，使得 N 是十进制整数的四次方 【 解解 析析 】 设 整数， 247 7 7b b x x N ，因为质数 7能整除 27 7 7，所以也能整除 x，不妨设 7， m 是大于 0的自然数。则： 427 7 7 7b b m ，化简得： 2 3 417b b m ，易知， m=1时， b=18。 【例 15】 试求 (22006 以 992 的余数是多少 ? 【 解解 析析 】 我 们通过左式的短除法，或者直接运用通过 2次幂来表达为 2进制： (992)10=(1111100000)2， (22006 =2006 2111.123个 1我们知道在 2进制中5021 1 1 . 0 0 0 .1 2 3 14 2 435个 1 个 或 以 上一定能整除(1111100000)2，于是我们注意到5021 1 1 . 0 0 0 .1 2 3 14