数值分析原理实验报告

1 / 9数值分析原理实验报告数值分析实验报告 1 2 3 4 5 湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告 湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告 xn?) 数值分析实验报告 2 / 9姓名：学号：学院：老师： XXX XXXX 实验一 一、实验内容 用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解课本例，设置精度为 10-6。 ?8-32?x1?20?411?1?x2?33?6312?x?36? ?3? 二、实验公式 ? 雅克比迭代法的基本思想：设方程组 Ax?b 的系数矩阵的对角线元素 ?aii?0(i?1,2,.,n)，根据方程组 Ax?b 推导出一个迭代3 / 9公式，然后将任意选取的?(0)?(1)?(1)?(2) xxxx 一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出， 1、雅克比迭代法 ?(k)?(k) xx收敛时，如此反复进行，得到向量序列。当其极限即为原方程组的解。 2、高斯塞德尔迭代法： 在雅可比迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧 的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法。算法可相应地从雅可比迭代法改造得到。 3、两种迭代法的公式 雅可比迭代法： xi(k+1)4 / 9=1/aii(bi-aijxj(k) 高斯-塞德尔迭代法： xi(k+1)=1/aii(bi-aijxj(k+1)-aijxj(k) 三、实验程序 1、雅克比迭代法的程序 format long;%设置为长格式显示,显示 15 位小数 A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;%输入系数矩阵 b=20 33 36; e=; %控制误差 n=max(size(A); %测定维数 for m=1:n if A(m,m)=0 对角元为零，不能求解 return end end x=zeros(n,1); %设置初始解 k=0; %预设迭代次数为 0 kend=50; %最大迭代次数为 50 r=1; %前后项之差的无穷范数，初始值设为 1 while ke %达到预定精度或迭代超过 50 次推出计算 x0=x; %几下前次近似解 for m=1:n s=0; for l=1:m-1 5 / 9s=s+A(m,l)*x0(l); end for l=m+1:n s=s+A(m,l)*x0(l); end x(m)=b(m)/A(m,m)-s/A(m,m); end r=norm(x-x0,inf); %重新计算前后项之差的无穷范数 k=k+1; end if kkend 迭代不收敛，失败 else 求解成功 x k end ans = 求解成功 x = k = 16 2、高斯塞德尔迭代法的源程序只要在上面的雅克比迭代法的程序中作一处更改便可，即将上面的第 21 行的程序s=s+A(m,l)*x0(l);改为 s=s+A(m,l)*x(l);其结果如下：6 / 9 x = k = 9 四、实验分析 由实验可见对此题高斯赛德尔迭代法比雅可比迭代法的收敛速度快。因为由 高斯赛德尔迭代法和雅克比迭代法的原理可知，雅克比迭代法只是利用了前次迭代的结果，而高斯赛德尔迭代法也利用了当前迭代过程中已经算出来的新的分量，即当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。因此一般情况下高斯赛德尔迭代法比雅可比迭代法的收敛速度快。 实验二 一、实验内容 例 判别方程 x3?3x?1?0 的实根存在区间，要求区间长度不7 / 9大于 1，然后用二分法求出最小正根的近似值，精度?10?3。 二、实验原理 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在a,b上连续，f(a)f(b) 先用画图的方法来粗略估计其根的范围，程序如下： ezplot(x-3*x+1); axis(-2 2 -10 10); grid 由上图可知其根分布区间大概分布在(-2,-1),(0,1)和中。编写二分法求解最小正根的近似值程序如下 : format long; f=inline(x-3*x+1); a=0; b=1; Eps=1E-5; for k=1:50 A(k)=a; B(k)=b; ya=fev(转 载于: 海达 范文 网:数值分析原理实验报告)al(f,a); yb=feval(f,b); temp=(a+b)/2; X(k)=temp; yt=feval(f,temp); F(k)=yt; if abs(yt) disp(k a(k) b(k) H=1:k,A,B,X,F; disp(H); disp(x=); disp(X(k); disp(y=); disp(yt); format short 8 / 9以下为运行结果：ka(k) x(k) f(x) ); b(k) 0 0 x(k) 数学与信息工程学院 实 课程名称： 实 验 室： 实验台号： 班 级： 姓 名： 实验日期： 验 报 告 计算方法 7404 2016 年 5 月 21