【毕业学位论文】（Word原稿）异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟-软件工程

异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 1 页 共 12 页 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 叶小军（安庆师范学院物理与工程学院 安徽 安庆 246011） 指导教师：张杰 摘要 : 衍射是光的波动性重要特征之一 ， 是光在传播过程中遇到障碍物时偏离原来的传播方向 ， 在观察屏上出现光强的不均匀分布 ， 当光源与观察屏离衍射屏无限远的这一类衍射称为夫琅和费衍射 。 本文 用分步积分法推导出夫琅禾费矩孔衍射的光强分布公式 ， 对光强分布进行讨论 ， 并且使用计算机模拟其衍射图样 。 然后从基尔霍夫衍射积分公式出发 ， 利用曲线坐标关系和椭圆的傅里叶变换 ， 导出了椭圆的夫琅禾费衍射精确解 。 继而由已知的 矩形夫琅禾费衍射 ， 求得了一类椭圆与矩形围成的几何图形的夫琅禾费衍射表达式 。 作出了几种该类图形的夫琅禾费衍射图样 ， 并进行了分析，接着从衍射积分公式出发 ， 利用贝塞尔函数 ， 求得夫琅禾费环孔衍射积分的精确解 ， 模拟了它的衍射图样 ， 并对衍射图样进行了分析 。 关键词 :夫琅禾费衍射 ，异形孔衍射， 光强 ， 数 ， 衍射积分 ， 衍射图样 许多的基础光学教材在讨论夫琅禾费衍射时 ， 一般都只是对 单缝、圆孔等一些简单规则孔的 夫琅禾费衍射进行讨论 ， 而对于 象矩孔、椭圆或者由这些简单形状的孔所组成的一些复杂异形孔的 夫琅禾费衍 射则很少 提及 。 其实 ， 夫琅禾费单缝衍射只不过是夫琅禾费矩孔衍射的一种特例 。本文将 根据惠更斯 利用 分步积分法推导出夫琅禾费矩孔衍射的光强分布公式 ， 而 夫琅禾费单缝衍射 仅 是矩孔衍射的一种特例 ； 然后巧妙地利用曲线坐标关系 ， 从菲涅耳 导出了椭圆孔径的夫琅禾费衍射精确解 ， 继而求出了一类椭圆与矩形围成的几何图形的夫琅禾费衍射精确解 ；最后 由衍射积分公式 出发，利用贝塞尔函数 得出了环形孔夫琅禾费衍射精确解 ， 而夫琅禾费圆形孔的衍射可以看作环形孔衍射的一种特例。 同时我们还将利用计算机对描绘出上述 各种衍射的衍射光强分布曲线以及 模拟其衍射图样 。 琅禾费矩孔衍射的光强 设用于夫琅禾费矩孔衍射实验的光源为单色点光源 。 实验时 ， 把点光源置于一会聚透镜的物方焦点上 ，从点光源发出的光经过会聚透镜折射后变成平行光 。 让平行光垂直入射到矩孔上 ， 在矩孔后置一会聚透镜 2， 在 2 的象方焦平面上放置观察屏 ， 则在屏上会观察到夫琅禾费矩孔衍射图样 。 实验装置如图 1 所示 ， 设矩孔沿 、 轴方向的边长分别为和 ， 屏上任意一点的衍射方向分别用与方向对应的衍射角 1和与方向对应的衍射角 2表示 。 在矩孔上任取一平行于轴的带面元 ， 该带面元的面积为 该带面元上所有次波在点的合振动为 则把 整个矩孔进行积分即可得出矩孔上所有次波在点的合振动 。 。 图 1 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 2 页 共 12 页 为了求出 在带面元 任取一小面元 ， 小面元的面积为 设该面元上的次波在点的振动为 则对 行积分即可得出带面元 所有次波在点的合振动 为了便于计算 ， 设光波在矩孔面上的初位相为零 ， 小面元 点的光程为 。 根据惠更斯 菲涅耳原理 ， 该面元上的次波在点的振动为： 1 2 ) (, 2c o s ( ) c d x d y t (1) 式中 ， 为常数 ， 在近轴条件下 ， 可以视倾斜因子 ( 1， 2)为常数 ， 并把振幅分母中的也视为常数 。令 = ( 1， 2)/ ， 则 (1)式简化为： 2c o s ( )d E c d x d y t r (2) 设带面元 中点 ( ， 0)到点的光程为 0， 则根据几何关系可知 ， = 0+ 2， 把其代入 (2)式得： 022c o s ( s i n ) d E c d x d y t r y (3) 对上式进行积分便可得出带面元 所有次波在点的合振动 即： 22022022c o s ( s i n ) s i n ( s i n / ) 2c o s ( )s i n / c d x t r y d b t r d (4) 设矩孔的中心点到点的光程为 0， 根据几何关系可知 ， 00 s r x ， 把其代入 (4)式得： 2 012s i n ( s i n / ) 2c o s ( s i n ) s i n / c b t r x d (5) 对上式进行积分便可得出矩孔上所有次波在点的合振动 ， 即： 222012s i ns i o s ( s i n ) s i c b t r x d 12012s i n s i ns i n s i o s ( )s i n s i a b t 0s i n s i n 2c o s ( )c a b t r (6) 式中 ， s 、 s 。 由 (6)式可知 ， 点的光强为： 2 2 2 2 20s i n s i n s i n s i n( ) ( ) ( ) ( ) ( )I c a b I (7) 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 3 页 共 12 页 式中 ， 0=( 2。 由于为观察屏上的任意一点 ， 因此 ， (7)式即为夫琅禾费矩孔衍射的光强分布公式。由（ 7）可使用 件 ， 作出不同矩孔衍射图样如下： 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800图 2（ a=b= 图 3（ a=b= a=b=f=600; 32; x=0; y=0; X， Y=x， y); ./f); ./f); 000000*(pi*b/*0)* 000000*(pi*a/*0)* I=().2).*().2); ,Y,I) *255) 类椭圆与矩形围成图形的夫琅禾费衍射 圆孔径的夫琅禾费衍射 不失一般性 ， 考虑在、平面上长短轴分别为 b、 a 的如下椭圆方程： 221(8) 此椭圆方程围成的几何图形即为椭圆形孔径 。 常用 =b/a 表示图形系数 ， 当 =1 时表示半径为 a 的圆形孔径 。 设 ( ， )是椭圆形平面孔径内某点的曲 线坐标 ， 则： (9) 据菲涅耳 平面孔径在焦平面上某点 (x， y)产生的光振动为： ( , ) ( , ) e x p ( ) u x y c g i k p q d d (10) 其中 1,( , )0, ， 波数 k=2 / ， 若焦距当为正入射时有mp x f，mq y f。 因仅考虑光强分布 ， (10)式可写成： 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 4 页 共 12 页 0, ( , ) e x p ( ) u x y c g i k x y d d (11) 设衍射屏上某点的曲线坐标为 (r， )， 则： 1c o s( ) s (12) 注意到 :d d 则 (11)式成为： 0( , ) ( , ) e x p c o s ( )u r c g i k r d d 20 00 e x p c o s ( ) ac i k r d d (13) 考虑如下贝塞尔函数积分公式和递推关系： 20 01( ) e x p ( c o s )2J x i x d 10 ( ) ( )d x J x d x x J x（ 14） 于是由 (13)式 ， 可得椭圆孔径的夫琅禾费衍射精确解为： 10 0 00 2 ( )( , ) 2 ( )a J k a ru r c J k r d c a b k a r （ 15） 其中0 如果以 22()r x y 代入 (15)式 ， 即得到以 (x， y)表示的光振动形式为： 222 10 222 ( ) ( , )()iJ k a x yu x y c ak a x y(16) 由式（ 16）可以 模 拟椭圆的衍射图样如下： 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800图 4 x=0; y=0; x1,x， y); r=2+(1.6*2); X=0.5*r; I=(2*,X)./X).2; %I); *255); 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 5 页 共 12 页 下面研究由椭圆与矩形围成的一类几何图形的夫琅禾费衍射 。 组成该类几何图形的椭圆与矩形对称轴相同且椭圆的长短轴比与矩形的长宽比也相同 ， 其围成的几何图形如图 5 中阴影部分所示 。 在以上导出椭圆孔径夫琅 禾费衍射精确解的基础上 ， 利用文献已经给出的矩形夫琅禾费衍射解 ， 可进一步求得一类椭圆与矩形围成图形的夫琅禾费衍射精确解 。 图 5：椭圆与矩形围成几何图形示意图 对于矩形孔径 ， 设长为 2b 、宽为 2a ， 其长宽比为 ， 即 ， 则由 (10)式可得： ,0( , ) e x p ( ) x y c i k x y d d (17) 积分可得矩形孔径夫琅禾费衍射解为： 0 s i n ( ) s i n ( )( , ) 4tk a x k b yu x y c a bk a x k b y(18) 若椭圆与矩形对称轴相同且椭圆的长短轴比与矩形的长宽比相同 ， 则由该类椭圆与矩形围成的几何图形在焦平面上某点 (x， y)产生的光振动为： ( , ) ( , ) ( , )i t i tu x y u x y u x y(19) 代入（ 16）和 (18)式 ， 可得： 22 2 210 222 s i n ( ) s i n ( )( , ) 4k a x y k a x k a yu x y c a ak a x k a yk a x y (20) 于是其衍射光强为： 2( , ) ( , )it x y u x y (21) (21)式即为由椭圆与矩形围成的一类几何图形的夫琅禾费衍射精确解 。 射图样分析 根据 (20)、 (21)式 ， 作出了几种由椭圆与矩形围成的几何图形的夫琅禾费衍射图样 ， 如图 6 9 所示 (= 在每个图中 ， (a)表示由椭圆与矩形围成的几 何图形 ;(b)表示焦平面上衍射强度的等高线 ;图 6、 7 是由外椭圆与内矩形围成的几何图形衍射情况 。 可见其衍射图样既有椭圆的衍射特征也有矩形的衍射特征 ，在中央主峰周围 ， 矩形衍射特征的次峰分布在椭圆衍射特征的椭圆环上 。 当内矩形减小时 ， 其矩形衍射特征随之减小 ;特别是在内矩形很小时 ， 次峰几乎消失 ， 衍射图样几乎表现为椭圆衍射的同心椭圆形条纹 ， 且该椭圆形条纹的长短轴方向正好与椭圆孔径的长短轴方向相反 。 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 6 页 共 12 页 (a) (b) 图 6 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800(a) (b) 图 7 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800(a) (b) 图 8 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800(a) (b) 图 9 图 8、 9 是由外矩形与内椭圆围成的几何图形衍射情况 。 其衍射图样也具有椭圆的衍射特征和矩形的衍射特征 ， 当内椭圆减小时 ， 其矩形衍射特征随之增大 ， 特别是在内椭圆很小时 ， 衍射图样几乎成为矩形的衍射 。 此外对比图 7 与图 9、图 6 与图 8， 可见在外周形状为椭圆时 ， 整体夫琅禾费衍射图样主要呈椭圆条纹特征 ;在外周形状为矩形时 ， 整体衍射图样主要呈矩形衍射特征 。 说明在一般情况下 ， 该类几何图形的夫琅禾费衍射图样受外 周形状的影响较大 。 a=b=f=600; 32; x=0; y=0; X,Y=x,y); r=.2+().2); D=0.5*r; 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 7 页 共 12 页 ./f); ./f); 000000*(pi*b/*0)* 000000*(pi*a/*0)* I=().*()-(2*,D)./D).2; ,Y,I); *255); 形孔的夫琅禾费衍射 解 ( )和 ( ) 设环孔周界是两个同心圆 ， 半径分别为1 2 2 1, ( )r r r r， 衍射图样上以点源几何象为原点时对任一点( ， )的光振动可写成如下形式： ()( , ) i k p p q c e d d (22) 积分前的常数 c 可用入射到环孔上的总能量、入射波长及开孔面积来确定 。 根据文献 ， 计算得到： 1 (23) 为了对式 (1)严格求解 ， 选取极坐标系 。 设 ( ， )是环孔上某点以环孔中心为原点时的极坐标 ， 则： c o s , s i n (24) 并设 ,r 是衍射图样上以点源几何象为原点时点的极坐标 ， 则： c o s , s i np r q r (25) 由和的定义可知 ， 22r p q， 是 ( ， )方向与中心方向 = =0 夹角的正弦 。 将式 (24)和式(25)代入式 (22)， 得： 2120( , ) e x p c o s ( ) r c i k r d d (26) 根据贝塞尔函数的积分表示： 2 c o )2i x i n ni e e d J x (27) 当 0n 时 ， 有： 2 c o )2 d J x (28) 考虑到00( ) ( )J x J x， 式 (26)化为 : 21 0( ) 2 ( )r c J k r d (29) 此外 ， 由熟知的递推关系： 111 ( ) ( )x J x x J (30) 取 =0， 进行积分 ， 有： 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 8 页 共 12 页 100( ) ( ) x y J y d y (31) 由式 (29)， (31)得： 210000( ) 2 ( ) ( ) r c J k r d J k r d 221 2 1 121212 ( ) 2 ( ) J k r r J k r rc r c rk r r k r r (32)_ 注意到 2221()D r r得 : 221 2 1 121222 1 2 12 ( ) 2 ( )1( ) () J k r r J k r ru r r r C Dr r k r r k r r （ 33） 因此 ， 强度 ( )可写作： 2 2 2 2 2 21 2 1 1212 2 22 1 2 12 ( ) 2 ( )1( ) | ( ) | ( ) () J k r r J k r rI r u r u r r r C Dr r k r r k r r （ 34） 并根据的著名公式 ， 中心强度 220I C D， 有： 2 2 21 2 1 12 1 02 2 22 1 2 12 ( ) 2 ( )1( ) () J k r r J k r rI r r r Ir r k r r k r r (35) 式 (35)即为所求出的精确解。 根据（ 35）式 ， 可编写程序 ， 作出了环形的夫琅禾费衍射图样 ， 如下所示： R=r=f=600; 00; x=0; y=0; x1,x,y); 2+2)./f); Y=1000000*(2*).*0)* X=1000000*(2*pi*r/*0)* I=(r.2*2*， X)./2*2*,Y)./Y).2; x1,); *25500000); 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 9 页 共 12 页 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800图 14 射图样分析 当1 0r时 ， 即为无遮挡的圆孔 。 式 (14)化为： 212 022 ( )( ) | |J k r rI r Ik r r (36) 式 (36)即大家熟知的夫琅禾费圆孔衍射的结果 。 当212 ， 将式 (35)中0 式 (35)化为： 2 2 21 2 1 121212 2 20 2 12 ( ) 2 ( ) ()()J k r r J k r r r k r r r (37) 当2 12 ， 式 (37)中分子、分母均趋于零 ， 以1 根据洛比达法则 ， 122 2 21 2 1 12121 2 1022 2 221012 ( ) 2 ( ) () l i m ( ) ()k r r J k r rd r k r r k r k r rd r (38) 由（ 38）可作圆的夫琅禾费衍射图样如下： 异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 10 页 共 12 页 100 200 300 400 500 600 700 800100200300400500600700800图 15 r=f=600; 00; x=0; y=0; x1,x,y); 2+2)./f); X=1000000*(2*pi*r/ *0)* I=(2*,X)./X).2; x1, I); *255); x， y=x， y); 2. 一般情形 由贝塞尔函数的递推公式： 11()( ) 2 ( ) 0x n J (39) 式 (35)化为： 2 2 2 2 2 22 2 2 0 2 1 2 1 0 1 0 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I r r J k r r J k r r r J k r r J k r r I r r (40) 在图样中心 (点源几何象 ) 0 处 ， 0r ， 因02( 0 ) 1 , ( 0 ) 0， 故0中央极大 ， 是一亮斑当 r 满足： 221 2 1 121212 ( ) 2 ( ) 0J k r r J k r r r k r r 0r (41) 即 r 满足： 2 1 2 1 1 1( ) ( ) 0r J k r r r J k r r， 0r 时强度 ( ) 0为极小 (零点 )。 次极大的位置由方程 ( ) 0dI r 的r 值来确定 ， 即由下式： 222 2 2 1 2 1( ) ( ) 0r J k r r r J k r r (42) 的根来确定 。 衍射图样是在中央主极大周围 ， 一系列共轴的明暗相同的同心圆环 。 原则上根据式 (40)， 式 (41)可求解异型孔的夫琅禾费衍射图样的计算机模拟 第 11 页 共 12 页 任一环孔的零点及各极大值的位置 ， 并进一步确定各次极大与主极大强度的相对值0 3. 结论 1. 由 (7)式可知 ， 夫琅禾费矩孔衍射的相对光强 I/是两个单缝衍射因子 ( )2、 ( )2 的乘积 ， 只要其中一个因子等于零 ， 衍射光的强度就等于零 。 因此 ， 夫琅禾费矩孔衍射的光强分布可视为分别在 1和 2两个方向上的两个单缝衍射相互调制的结果 。 参考夫琅禾 费单缝衍射的光强分布可知 ， 夫琅禾费矩孔衍射中央明纹在 1和 2两个方向上的半角宽度分别为： 12(43) 由 (43)式可知 ， 1、 2分别与、成反比 。 若 2。 因此 ， 光波在哪个方向上受到的限制越大 ， 衍射光在该方向上的条纹就越宽 ， 衍射现象就越明显 。 若设 ， 则由 (43)式可知 ， 2 0， 这说明 ， 当矩孔的某条边为无限长时 ， 衍射图样在沿着该边长的 方向上就缩得无限窄 ， 这时的夫琅禾费矩孔衍射就过渡到单缝衍射 。 因此 ， 夫琅禾费单缝衍射是夫琅禾费矩孔衍射的一种特例 。 2. 对于由椭圆与矩形围成的一类几何图形的夫琅禾费衍射完全可以用解析形式精