2016年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年江西省九江市高考数学一模试卷（文科） 一、选择 S(本大題共丨 2 小題，每小題 5 分 0 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合題目要求的 .） 1已知集合 A=1， 2， 3， 4，集合 B=x|xA，且 2xA，则 AB=（ ） A 1， 2B 1， 3C 2， 4D 3， 4 2若复数 z 满足 z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A 1B 1C i 3甲、乙两人玩数字游戏，先由甲在一张卡片上任意写出一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才写 出的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b1， 2， 3，若 |a b|1，则乙获胜，现甲、乙两人玩一次这个游戏，则乙获胜的概率为（ ） A B C D 4若椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1 共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= y= y= y=2x 5已知命题： px（ 0， ）， 1 恒成立，命题 q： x（ 0， ），使 2x 3x，则下列结论中正确的是（ ） A命题 “pq”是真命题 B命题 “p（ q） ”是真命题 C命题 “（ p） q”为真命题 D命题 “（ p） （ q） ”是真命题 6等比数列 ， 示其前 n 项和， ， ，则公比 q 为（ ） A 2B 3C 2D 3 7已知函数 f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，则 f（ ） =（ ） A 2B 1C 1D 2 8执行如图所示的程序框图，如果输入的 t 2， 2，则输出的 S 属于（ ） 第 2 页（共 21 页） A 6， 2B 5， 1C 4， 5D 3， 6 9将函数 y=2x+）的图象向左平移 个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则 |的最小值为（ ） A B C D 10抛物线 p 0）的焦点为 F，斜率 k=1 的直线过焦点 F，与抛物线交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若 面积为 2 ，则该抛物线的方程为（ ） A x 11如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 6C D 12已知函数 f（ x）和 g（ x） 是两个定义在区间 M 上的函数，若对任意的 xM，存在常数，使的 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 则称 f（ x）与 g（ x）在区间 M 上是 “相似函数 ”，若 f（ x） =23（ a+1） ax+b 与 g（ x） =x+ 在区间 1， 3上是 “相似函数 ”，则 a， b 的值分别是（ ） A a= 2， b=0B a= 2， b= 2C a=2， b=0D a=2， b= 2 第 3 页（共 21 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 ， 是 夹角为的单位向量，若 = +2 ，则 | |= 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=2x y 的取值范围是 15在边长为 2 的正方形 B， C 分别是边 中点，沿 A 翻折成一个三棱锥 P ，则三棱锥 P 外接球的表面积为 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知（ 2c a） b=6，若 两条中线 交于点 D，则四边形 积的最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17设等差数列 公差 d0，已知 ，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设数列 ，求数列 前 n 项和 18如图所示，已知直三棱柱 ABC， B=2， E， F， H 分别是 中点 （ 1）证明： 2）求四面体 E 体积 19模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于 120 分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的 22 列联表，已知在甲、乙两个班全部 100人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 100 （ 1）请完成上面的 22 列联表 （ 2）根据列联表的数据，若按 可靠性要求，能否认为 “成绩与班级有关系 ”？ 第 4 页（共 21 页） （ 3）在 “优秀 ”的学生人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有 2 人的概率 参考公式与临界表： P（ K2k） k 0已知椭圆 C： =1（ a b 0）的长轴的长是短轴长的两倍， 焦距为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程 （ 2）若直线 l： y=kx+m（ m0）与椭圆 C 相交于不同两点 M， N，直线 斜率存在且依次成等比数列，求 k 的值及 m 的取值范围（ O 为坐标原点） 21已知函数 f（ x） =（ aR） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间 （ 2）在曲线 y=f（ x）上是否存在两点 A（ B（ （ x1使得该曲线在 A，B 两点处的切线相交于点 P（ 0， t）？若存在，求实数 t 的取值范围，若不存在 ，请说明理由 选修 4何证明选讲】 22如图，已知 圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上的两个点， E， ，交 F， G （ ）求证： C 是劣弧 的中点； （ ）求证： G 选修 4标系与参数方程】 23在平面直角坐标系 ，已知直线 l： （ t 为参数）与圆 C：（ 为参数）相交于 A， B 两点 （ 1）求直线 l 及圆 C 的普通方程 （ 2）已知 F（ 1， 0），求 |值 选修 4等式选讲】 第 5 页（共 21 页） 24设函数 f（ x） =|2x 1|+|1|（ a 0） （ 1）当 a=2 时，解不等式 4f（ x） f（ 0） （ 2）若对任意 xR，不等式 4f（ x） f（ 0）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2016 年江西省九江市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择 S(本大題共丨 2 小題，每小題 5 分 0 分 在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合題目要求的 .） 1已知集合 A=1， 2， 3， 4，集合 B=x|xA，且 2xA，则 AB=（ ） A 1， 2B 1， 3C 2， 4D 3， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 中的元素，根据题意确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 x=1， 2， 3， 4，得到 2x=2， 4， 6， 8， B=3， 4， A=1， 2， 3， 4， 则 AB=3， 4， 故选： D 2若复数 z 满足 z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A 1B 1C i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 根据复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出 【解答】 解： z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 为虚数单位）， z= = =1 i， 故选： B 3甲、乙两人玩数字游戏，先由甲在一张卡片上任意写出一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才写出的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b1， 2， 3，若 |a b|1，则乙 获胜，现甲、乙两人玩一次这个游戏，则乙获胜的概率为（ ） A B C D 【考点】 互斥事件的概率加法公式 【分析】 先求出基本事件总数，再由列举法求出乙获胜包含的基本事件个数，由此能求出结果 【解答】 解： a， b1， 2， 3， 基本事件总数 n=33， 乙获胜， a， b1， 2， 3， |a b|1， 当 a=1 时， b=1， 2； 当 a=2 时， b=1， 2， 3； 当 a=3 时， b=2， 3 乙获胜的概率 p= = 故选： A 第 7 页（共 21 页） 4若椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1 共焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= y= y= y=2x 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 运用椭圆和双曲线的 a， b， c 的关系，求得 a， b 的关系，可得双曲线的渐近线方程 【解答】 解：由椭圆 + =1（ a b 0）与双曲线 =1 共焦点， 可得 + ，即 即为 a= b， 可得双曲线的渐近线方程为 y= x， 即为 y= x 故选： A 5已知命题： px（ 0， ）， 1 恒成立，命题 q： x（ 0， ），使 2x 3x，则下列结论中正确的是（ ） A命题 “pq”是真命题 B命题 “p（ q） ”是真命题 C命题 “（ p） q”为真命题 D命题 “（ p） （ q） ”是真命题 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出命题 p， q 的真假，从而得到答案 【解答】 解：命题： p： x（ 0， ）， x+ ） （ 1， ； p 真， 命题 q： x（ 0， ）， 1， 3x 2x，故 q 是假命题， 故 pq 假， A 错误 ， p（ q）真， B 正确， （ p） q 假， C 错误，（ p） （ q）假， D 错误； 故选： B 6等比数列 ， 示其前 n 项和， ， ，则公比 q 为（ ） A 2B 3C 2D 3 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由 ， ，两式相减可得： 可得出 【解答】 解：由 ， ，两式相减可得： 得 q= =3， 第 8 页（共 21 页） 故选 ： D 7已知函数 f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数，则 f（ ） =（ ） A 2B 1C 1D 2 【考点】 函数奇偶性的性质；函数的值 【分析】 根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： f（ x） = 是定义在（ 1， 1）上的奇函数， f（ 0） =0， 即 =0， 则 f（ x） = ， f（ x） = f（ x）， = ， 整理得 bx=成立，则 b=0， 则 f（ x） = ， 则 f（ ） = ， 故选： A 8执行如图所示的程序框图，如果 输入的 t 2， 2，则输出的 S 属于（ ） 第 9 页（共 21 页） A 6， 2B 5， 1C 4， 5D 3， 6 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论 【解答】 解：若 0t2，则不满足条件输出 S=t 3 3， 1， 若 2t 0，则满足条件，此时 t=2（ 1， 9，此时不满足条件，输出 S=t 3（ 2，6， 综上： S=t 3 3， 6， 故选： D 9将函数 y=2x+）的图象向左平移 个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则 |的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数 y=x+）的图象变换规律可得 函数解析式为： y=2x+ +），其周期 T= ，由题意可得（ ， 0），（ ， 0）两点在函数图象上，可得： +） =0， +） =0，从而解得 =， =，（ kZ），即可得解 |的最小值 【解答】 解：将函数 y=2x+）的图象向左平移 个单位后，可得函数解析式为： y=2x+ +），其周期 T= ， 其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等， （ ， 0），（ ， 0）两点在函数图象上，可得： 2（ ） + +=+） =0， 2 + +） =+） =0， 解得： =， =，（ kZ）， |的最小值为： 故选： B 10抛物线 p 0）的焦点为 F，斜率 k=1 的直线过焦点 F，与抛物线交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若 面积为 2 ，则该抛物线的 方程为（ ） A x 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出直线 方程，联立方程组，利用根与系数的关系解出 |根据三角形的面积列出方程解出 p，得到抛物线的方程 第 10 页（共 21 页） 【解答】 解：抛物线的焦点坐标为（ ， 0），直线 方程为 y=x 联立方程组 ，消元得 2， 设 A（ B（ 则 y1+p， S = = =2 p=2 抛物线方程为 x 故选： C 11如图所示， 网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B 6C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是由棱柱截割去两个三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积 【解答】 解：如 图示： ， V=222 2 221= ， 故选： C 12已知函数 f（ x）和 g（ x）是两个定义在区间 M 上的函数，若对任意的 xM，存在常数，使的 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 则称 f（ x）与 g（ x）在第 11 页（共 21 页） 区间 M 上是 “相似函数 ”，若 f（ x） =23（ a+1） ax+b 与 g（ x） =x+ 在区间 1， 3上是 “相似函数 ”，则 a， b 的值分别是（ ） A a= 2， b=0B a= 2， b= 2C a=2， b=0D a=2， b= 2 【考点】 函数的值域 【分析】 由题意求出函数 g（ x）的最小值，然后对函数 f（ x）求导，进一步得到其在 1，3上的最小值求解 【解答】 解： 当 x1， 3时， g（ x） =x+ 4，当且仅当 x=2 时取等号， ， g（ =4， f（ x） =66（ a+1） x+6a=6（ x 1）（ x a）， 当 a1 时， x1， 3， f（ x） 0，故 f（ x）在 1， 3上单调递增，不合题意； 当 a 1 时，由 f（ x） 0，得 x 1 或 x a，由 f（ x） 0，得 1 x a， 故 f（ x）在（ ， 1）上单调递增，在（ 1， a）上单调递减，在（ a， +）上单调递增， 依题意可得： a=2 f（ x） =292x+b，则 f（ 2） =4+b=4，解得： b=0 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 ， 是 夹角为的单位向量，若 = +2 ，则 | |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 计算 ，开方即可得出 | | 【解答】 解： ， =3 | |= 故答案为 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 z=2x y 的取值范围是 0，6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得 k 值 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 第 12 页（共 21 页） 联立 ，得 C（ 1， 2）， 由 z=2x y 得： y=2x z， 显然直线过 C（ 1， 2）时， z 最小， z 的最小值是 0， 直线过 B（ 3， 0）时， z 最大， z 的最大值是 6， 故答案为： 0， 6 15在边长为 2 的正方形 B， C 分别是边 中点，沿 A 翻折成一个三棱锥 P ，则三棱锥 P 外接球的表面积为 6 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据题意，得折叠成的三棱锥 P 条侧棱 两互相垂直，可得 三棱锥 P 外接球的直径等于以 长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合 、 P=1 算出外接球的半径 R= ，结合球的表面积公式即可算出三棱锥P 外接球的表面积 【解答】 解：根据题意，得三棱锥 P ， ， P=1 两互相垂直， 三棱锥 P 外接球的直径 2R= = 可得三棱锥 P 外接球的半径为 R= 根据球的表面积公式，得三棱锥 P 外接球的表面积为 S=4（ ） 2=6 故答案为： 6 第 13 页（共 21 页） 16在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知（ 2c a） b=6，若 两条中线 交于点 D，则四边形 积的最大值为 3 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 2 ，可求 ，结合范围 B（ 0， ），可得 B= ，由余弦定理及基本不等式可得 6，可求三角形 面积的最大值，利用重心的性质即可得解 S 四边形 【解答】 解： （ 2c a） （ 2 2 2A+B） = ， ， B（ 0， ），可得 B= ， 由余弦定理可得： 36=a2+2可得： 36=a2+ac： 6， 如图所示， D 为 重心 S 四边形 S 故答案为： 3 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17设等差数列 公差 d0，已知 ，且 等比数列 （ 1）求数列 通项公式 （ 2）设数列 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）由 等比数列，可得 ，即（ 2+d） 2=2（ 2+3d），解出即可得出 （ 2） = = ，利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1） 等比数列， ， 第 14 页（共 21 页） （ 2+d） 2=2（ 2+3d），化为 2d=0， d0，解得 d=2 +2（ n 1） =2n （ 2） = = ， 数 列 前 n 项和 + += = 18如图所示，已知直三棱柱 ABC， B=2， E， F， H 分别是 中点 （ 1）证明： 2）求四面体 E 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连结 BC由中位线定理得 BC，由 C 得 平面 平面 ，于是 BC，从而 （ 2）过 F 作 M，则 平面 出 S 是 F 【解答】 证明：（ 1）连结 BC E， F 分别是 中点， BC， C， H 是 中点， 平面 面 面 ， 面 ， ， 平面 ， BC平面 ， BC，又 BC 解：（ 2）过 F 作 M，则 平面 1 S = ， F = = 第 15 页（共 21 页） 19模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于 120 分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的 22 列联表，已知在甲、乙两个班全部 100人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 100 （ 1）请完成上面的 22 列联表 （ 2）根据列联表的数据，若按 可靠性要求，能否认为 “成绩与班级有关系 ”？ （ 3）在 “优秀 ”的学生人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有 2 人的概率 参考公式与临界表： P（ K2k） k 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）设求出乙班优秀人数，填写列联表即可； （ 2）计算观测值 照数表得出概率结论； （ 3）利用分层抽样求出所抽的 6 人中甲班、乙班的学生数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率即可 【解答】 解：（ 1）设乙班优秀人数为 x 人，则 = ，解得 x=20； 故列联表如下： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 40 50 乙班 20 30 50 合计 30 70 100 （ 2） 故没有达到可靠性要求，不能认为成绩与班级有关系； （ 3）在所抽的 6 人中，甲班有 6=2 人，设为 A、 B， 第 16 页（共 21 页） 乙班有 6=4 人，设为 C、 D、 E、 F， 从这 6 人中任选 3 人，基本事件有 20 种， 其中甲班恰有 2 人的事件为 4 种， 所以所求的概率为 P= = 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程 （ 2）若直线 l： y=kx+m（ m0）与椭圆 C 相交于不同两点 M， N，直线 斜率存在且依次成等比数列，求 k 的值及 m 的取值范围（ O 为坐标原点） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为 2 ，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （ 2）联立 ，得（ 1+4（ 1） =0，由此利用韦达定理、等比数列、根的判别式，结合已知能求出 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： =1（ a b 0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2 ， ，解得 a=2， b=1， c= ， 椭圆 C 的标准方程为 （ 2）由题意，得 k0， 联立 ，消去 y 并整理，得（ 1+4（ 1） =0， 设 M（ N（ 则 ， ， 由题意 （否则 ，则 ，直线 至少有一个斜率不存在，矛盾）， +x1+ 第 17 页（共 21 页） 又直线 斜率依次成等比数列， = +， 由 m0，得： ，解得 k= ， 由 =6416（ 1+4 1） =16（ 4） 0， 得 m 1 或 1 m 0 或 0 m 1 或 1 m ， m 的取值范围是（ ） （ 1， 0） （ 0， 1） （ 1， ） 21已知函数 f（ x） =（ aR） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间 （ 2）在曲线 y=f（ x）上是否存在两点 A（ B（ （ x1使得该曲线在 A，B 两点处的切线相交于点 P（ 0， t）？若存在，求实数 t 的取值范围，若 不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）原问题等价于函数 y=g（ x）与 y=2 t 至少有 2 个不同的零点，根据函数的单调性求出 g（ x）的最小值，从而求出 t 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2a， a0 时， f（ x） 0， f（ x）在 R 递增， a 0 时， f（ x） 0，解得： x f（ x） 0，解得： x 故 f（ x）在（ ， 递减，在（ +）递增； （ 2）以点 A 为切点的切线方程为： y +2=（ 2 x 点 P（ 0， t）在切线上， t +2=（ 2 a）（ 整理得（ 21） =2 t， 令 g（ x） =（ 2x 1） 则原问题等价于函数 y=g（ x）与 y=2 t 至少有 2 个不同 的零点， g（ x） =4g（ x） 0x 0， g（ x） 0x 0， g（ x）在（ ， 0）递减，在（ 0， +）递增， 且当 x 0 时， g（ x） 0， 1=g（ 0） 2 t 0，解得： 2 t 3， 故 t（ 2， 3） 选修 4何证明选讲】 第 18 页（共 21 页） 22如图，已知 圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上的两个点， E， ，交 F， G （ ）求证： C 是劣弧 的中点； （ ）求证： G 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）要证明 C 是劣弧 中点，即证明弧 弧 等，即证明 据已知中 G， 圆 O 的直径， E