2016年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=x|y= ， B=x|2x 0，则（ ） A AB=B A B=BAB 3设 ， ， 是非零向量，已知：命题 p： ， ，则 ；命题 q：若 =0， =0 则 =0，则下列命题中真命题是（ ） A p p p） （ q） D p q 4 =（ ） A B 1C D 1 5执行如图所示的程序框图，则输出 i 的值为（ ） A 4B 5C 6D 55 6在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为（ ） A 32B 0C 32D 1 7如图，四棱锥 S 底面为正方形， 底面 下列结论中不正确的是（ ） A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 第 2 页（共 21 页） D 成的角等于 成的角 8已知 x， y 满足条件 ，若 z=mx+y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 ） A 1 或 B 1 或 2C 1 或 2D 2 或 9已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A =1B =1 C =1D =1 10将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分 . 11长方形 ， ， ， O 为 中点，在长方形 随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 12已知直线 ax+6=0（ a 0， b 0）被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为 2 ，则 13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 14已知函数 f（ x） = ，若存在 ，当 042 时，f（ =f（ 则 最大值是 第 3 页（共 21 页） 15给出下列命题： 已知 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 函数 f（ x 1）是偶函数，且在（ 0， +）上单调递增，则 f（ 2 ） f（ f（ ）2 已知直线 y 1=0， x+=0，则 3， 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6小题，满分 75分 明过程或演算步骤 . 16已知 a， b， c 分别为 个内角的对边，且 （ ）求 B 的大小； （ ）若 a+c=5 ， b=7，求 的值 17某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成 0， 10）， 10，20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）六组，并作出频率分布直方图（如图）将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为 “课外体育达标 ” （ 1）请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 前提下认为 “课外体育达标 ”与性别有关？ 课外体育不 达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 （ 2）现按照 “课外体育达标 ”与 “课外体育不达标 ”进行分层抽样，抽取 12 人，再从这 12 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记 “课外体育达标 ”的人数为 ，求 得分布列和数学期望 附参考公式与数据： P（ K2 4 页（共 21 页） 18已知正项等差数列 首项为 ，前 n 项和为 ， 2， 成等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 + + + ， + + + ，证明： n 19如图，三棱柱 ， D、 M 分别为 1B 的中点， 的正三角形， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： 平面 3）求二面角 B 余弦值 20已知函数 f（ x） = x2+x （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 问过点 P（ 1， 3）存在多少条直线与曲线 y=g（ x）相切？并说明理由 21已知椭圆 C： + =1，（ a b 0）的离 心率为 ， 别为椭圆的上、下焦点，过点 直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B，若 长为 4 （ 1）求椭圆 C 的标准方程 （ 2） P 是 y 轴上一点，以 邻边作平行四边形 P 点的坐标为（ 0， 2）， 1，求平行四边形 角 长度取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简复数，得出其共轭复数 【解答】 解： = = ， 复数 的共轭复数是 + 故选： A 2已知集合 A=x|y= ， B=x|2x 0，则（ ） A AB=B A B=BAB 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 求 出集合 A， B，根据集合包含关系的定义，可得答案 【解答】 解： 集合 A=x|y= =（ ， 2， B=x|2x 0=（ 0， 2）， 故 BA， 故选： C 3设 ， ， 是非零向量，已知：命题 p： ， ，则 ；命题 q：若 =0， =0 则 =0，则下列命题中真命题是（ ） A p p p） （ q） D p q 【考点】 命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断 真假即可 【解答】 解： ， ， 是非零向量， 若 ， ，则 ；则命题 p 是真命题， 若 =0， =0，则 =0，不一定成立， 比如设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 2， 0），满足 =0， =0，但 =20，则 =0 不成立， 即命题 q 是假命题， 则 p q 为真命题 ， pq 为假命题，（ p） （ q）， p q 都为假命题， 故选： A 4 =（ ） 第 6 页（共 21 页） A B 1C D 1 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果 【解答】 解： =2 =21， 故选： D 5执行如图所示的程序框图，则输出 i 的值为（ ） A 4B 5C 6D 55 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，当 i 的值为 5 时满足条件，退出循环，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和， 容易得到 0， 5 50， 故输出 i 的值为 5 故选： B 6在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为（ ） A 32B 0C 32D 1 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由二项式系数的性质求出 n 的值，再令 x=1 求出展开式中各项系数的和 【解答】 解：二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是 32， 2n=32，解得 n=5； 令 x=1，可得展开式中各项系数的和为（ 312 ） 5=32 第 7 页（共 21 页） 故选： C 7如图，四棱锥 S 底面为正方形， 底面 下列结论中不正确的是（ ） A 平面 平面 成的角等于 平面 成的角 D 成的角等于 成的角 【考点】 直线与平面垂直的性质 【分析】 根据 底面 面 正 方形，以及三垂线定理，易证 据线面平行的判定定理易证 平面 据直线与平面所成角的定义，可以找出 平面 成的角， 平面 成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果 【解答】 解： 底面 面 正方形， 连接 据三垂线定理，可得 A 正确； 面 面 平面 B 正确； 底面 平面 成的角， 平面 成的， 而 平面 成的角等于 平面 成的角，故 C 正确； 成的角是 成的角是 而这两个角显然不相等，故 D 不正确； 故选 D 8已知 x， y 满足条件 ，若 z=mx+y 取得最大值的最优解不唯一，则实数 ） A 1 或 B 1 或 2C 1 或 2D 2 或 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值 第 8 页（共 21 页） 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分 由 z=mx+y 得 y= mx+z，即直线的截距最大， z 也最大 若 m 0，目标函数 y= mx+z 的斜率 k= m 0，要使 z=mx+y 取得最大值的最优解不唯 一， 则直线 z=mx+y 与直线 x y+1=0 平行，此时 m= 2， 若 m 0，目标函数 y= mx+z 的斜率 k= m 0，要使 z=y 得最大值的最优解不唯一， 则直线 z=mx+y 与直线 x+y 2=0，平行，此时 m= 1， 综上 m= 2 或 m=1， 故选： B 9已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A =1B =1 C =1D =1 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 先求出焦点坐标，利用双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，可得 =2，结合 c2=a2+出 a， b，即可求出双曲线的方程 【解答】 解： 双曲线的一个焦点在直线 l 上， 第 9 页（共 21 页） 令 y=0，可 得 x= 5，即焦点坐标为（ 5， 0）， c=5， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10， =2， c2=a2+ ， 0， 双曲线的方程为 =1 故选： A 10 将函数 f（ x） =图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的 |x2|，则 =（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角函数的最值，求出自变量 后判断选项即可 【解答】 解：因为将函数 f（ x） =周期为 ，函数的图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象若对满足 |f（ g（ |=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 |x2|， 不妨 ， ，即 g（ x）在 ，取得最小值， 2 2） = 1，此时 = ，不合题意， ， ，即 g（ x）在 ，取得最大值， 2 2） =1，此时 = ，满足题意 故选： D 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分 . 11长方形 ， ， ， O 为 中点，在长方形 随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 本题利用几何概型 解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点到 O 的距离大于 1 的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可 【解答】 解：根据几何概型得： 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率： 第 10 页（共 21 页） = = 故答案为： 12已知直线 ax+6=0（ a 0， b 0）被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为 2 ，则 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 由圆的方程得到圆的半径为 ，再由弦长为 2 得到直线过圆心，即得到 a 与 利用基本不等式即可得到结论 【解答】 解：圆 x2+2x 4y=0 可化为（ x 1） 2+（ y 2） 2=5，则圆心为（ 1， 2），半径为 ， 又由直线 ax+6=0（ a 0， b 0）被圆 x2+2x 4y=0 截得的弦长为 2 ， 则直线 ax+6=0（ a 0， b 0）过圆心，即 a+2b 6=0，亦即 a+2b=6， a 0， b 0， 所以 6=a+2b2 ，当且仅当 a=2b 时取等号， 所以 ，所以 最大值为 ， 故答案为： 13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 15 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个 组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥， 三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是 3，三棱柱的高是 3； 三棱锥的底面也是侧视图，高是 1， 第 11 页（共 21 页） 所以几何体的体积是 V= =15， 故答案为： 15 14已知函数 f（ x） = ，若存在 ，当 042 时，f（ =f（ 则 最大值是 【考点】 分段 函数的应用 【分析】 由题意作函数 f（ x） = 的图象，从而可得 1， = ，记 g（ = ，则 g（ = 3 +8 338），从而判断函数的单调性及最值，从而求得 【解答】 解：由题意作函数 f（ x） = 的图象如下， ， 结合图象可知， 3 +4， 解得， 1， 故 = = +4= ， 记 g（ = ， g（ = 3 +8 338）， 故 g（ 1， 上是增函数，在（ ， 3上是减函数， 故 最大值是 g（ ） = ， 故答案为： 第 12 页（共 21 页） 15给出下列命题： 已知 服从 正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 22） = P（ 2） = 函数 f（ x 1）是偶函数，且在（ 0， +）上单调递增，则 f（ 2 ） f（ f（ ）2 已知直线 y 1=0， x+=0，则 3， 其中正确命题的序 号是 （把你认为正确的序号都填上） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据随机变量 服从标准正态分布 N（ 0， 2），得到正态曲线关于 =0 对称，利用 P（ 2 2） =可求出 P（ 2） 确定函数 f（ x）图象关于 x= 1 对称，在（ 1， +）上单调递增，即可得出结论； 已知直线 y 1=0， x+=0，则 a+3b=0 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 0， 2）， 正态曲线关于 =0 对称， P（ 2 2） = P（ 2） = （ 1 =确； 函数 f（ x 1）是偶函数， f（ x 1） =f（ x 1）， 函数 f（ x）图象关于 x= 1 对称， 函数 f（ x 1）在（ 0， +）上单调递增， 函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递增， f（ =f（ 3） =f（ 1），（ ） 2 1 2 ， f（ 2 ） f（ f（ ） 2，正确； 已知直线 y 1=0， x+=0，则 a+3b=0，故不正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6小题，满分 75分 明过程或演算步骤 . 16已知 a， b， c 分别为 个内角的对边，且 （ ）求 B 的大小； （ ）若 a+c=5 ， b=7，求 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求 B 的大小； （ ）由余弦定理可求 |42，利用平面向量数量积的运算即可得解 【解答】 解：（ I）在 ， ， ， B+C）， 由于 ，可得： ， B（ 0， ）， B= ； 第 13 页（共 21 页） （ ） B= ， a+c=5 ， b=7， 由余弦定理 b2=a2+2得： 49=a2+ a+c） 2 375 3 解得： 2，即 |42， = |BC| 42 = 21 17某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分 钟）进行调查，将收集到的数据分成 0， 10）， 10，20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）六组，并作出频率分布直方图（如图）将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为 “课外体育达标 ” （ 1）请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 前提下认为 “课外体育达标 ”与性别有关？ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 （ 2）现按照 “课外体育达标 ”与 “课外体育不达标 ”进行分层抽样，抽取 12 人，再从这 12 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记 “课外体育达标 ”的人数为 ，求 得分布列和数学期望 附参考公式与数据： P（ K2 考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型 随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）由题意得 “课外体育达标 ”人数为 50，则不达标人数为 150，由此列联表，求出，从而得到在犯错误的概率不超过 前提下没有理由认为“课外体育达标 ”与性别有关 （ 2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为 9 人，在达标学生中抽取人数为 3 人，则 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（ ） 【解答】 解：（ 1）由题意得 “课外体育达标 ”人数为： 第 14 页（共 21 页） 200（ 10=50， 则不达标人数为 150， 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 = ， 在犯错误的概率不超过 前提下没有理由认为 “课外体育达标 ”与性别有关 （ 2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为： 12 =9 人， 在达标学生中抽取人 数为： 12 =3 人， 则 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P E（ ） = = 18已知正项等差数列 首项为 ，前 n 项和为 ， 2， 成等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 + + + ， + + + ，证明： n 【考点】 数列的求和；等差数列与等比数列的综合 【分析】 （ 1）通过设正项等差数列 公差为 d，并利用首项和公差 d 表示出 过 ， 2， 成等比数列构造方程，进而计算可得结论； 第 15 页（共 21 页） （ 2）通过（ 1）可知 = ，利用等比数列的求和公式计算可知 ，通过裂项可知 = ，进而并项相加即得结论 【解答】 （ 1）解：设正项等差数列 公差为 d，则 d0， 依题意， +d， +5d， ， 2， 成等比数列， （ 6+2d） 2=（ 2+3）（ 10+5d）， 整理得： 36+24d+40+25d，即 4d 14=0， 解得： d=2 或 d= （舍）， 数列 通项公式 n； （ 2）证明：由（ 1）可知 = = ， 由等比数列的求和公式可知 + + + = =1 ， = = ， + + + =1 + + =1 ， 显然，当 n1 时 ，故 n 19如图，三棱柱 ， D、 M 分别为 1B 的中点， 的正三角形， ， （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： 平面 3）求二面角 B 余弦值 第 16 页（共 21 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 中点 H，连接 据线面平行的判定定理即可证明 平面 （ 2）根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明 平面 3）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角 B 【解答】 （ 1）证明：取 中点 H，连接 D、 M 分别为 1B 的中点， D， D， 则四边形 平行四边形， 则 M 面 面 平面 （ 2）证明：取 中点 E， 边长为 2 的正三角形， ， ， = ， 则 1+1=5= 则 则 在正三角形 ， ， +1=4= 则 直角三角形， 则 即 11， 平面 3）建立以 E 为坐标原点， 反向延长线， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 E（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 0， 1）， A（ 2， ， 0）， 0， ， 0）， 则设平面 法向量为 =（ x， y， z）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， 0， 1）， 则 ，即 ， 令 y=1，则 x= ， z=0，即 =（ ， 1， 0）， 平面 （ x， y， z）， =（ 1， ， 1）， =（ 2， 0， 0）， 第 17 页（共 21 页） 则 ，得 ，即 ， 令 y=1，则 z= ， x=0，即 =（ 0， 1， ）， 则 ， = = = = ， 即二面角 B 余弦值是 20已知函数 f（ x） = x2+x （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）令 g（ x） =f（ x） 问过点 P（ 1， 3）存在多少条直线与曲线 y=g（ x）相切？并说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间； （ 2）设切点为（ x0+求出切线斜率 K，求出切线方程，切线过点 P（ 1， 3） ，推出关系式，构造函数 g（ x）（ x 0），求出导函数，通过讨论 当 m 0 时，判断 g（ x）单调性，说明方程 g（ x） =0 无解，切线的条数为 0， 当 m 0 时，类比求解，推出当 m 0时，过点 P（ 1， 3）存在两条切线， 当 m=0 时， f（ x） =x，说明不存在过点 P（ 1， 3）的切线 【解答】 解：（ 1） f（ x） = x2+x，（ x 0）， f（ x） =x+ +1= = ， m0 时， f（ x） 0，函数在（ 0， +）递增， m 0 时，令 f（ x） 0，解得： x ， 令 f（ x） 0，解得： x ， f（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增； 第 18 页（共 21 页） （ 2）设切点为（ x0+则切线斜率 k=1+ ， 切线方程为 y（ x0+=（ 1+ ）（ x 因为切线过点 P（ 1， 3），则 3（ x0+=（ 1+ ）（ 1 即 m（ 1） 2=0 令 g（ x） =m（ 1） 2（ x 0），则 g（ x） =m（ ） = ， 当 m 0 时，在区间（ 0， 1）上， g（ x） 0， g（ x）单调递增； 在区间（ 1， +）上， g（ x） 0， g（ x）单调递减， 所以函数 g（ x）的最大值为 g（ 1） = 2 0 故方程 g（ x） =0 无解，即不存在 足 式 因此当 m 0 时，切线的条数为 0 当 m 0 时，在区 间（ 0， 1）上， g（ x） 0， g（ x）单调递减， 在区间（ 1， +）上， g（ x） 0， g（ x）单调递增， 所以函数