大学物理解题法期末复习题

例：半径为R的大圆静止不动，半径为r的小圆沿大圆内侧做无滑滚动，小圆的角速度恒为，求：(1)小圆绕大圆一周所用的时间。,解：无滑滚动 vc= r,C点绕O点一周所用的时间,求：(2)C点相对O点的加速度,解：C点相对O点做匀速圆周运动,求：(3)接触点A相对O点的加速度,由加速度变换公式：,O,C,A在同一直线OA上两加速度方向相同标量相加,例：质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下，设容器质量为M，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态，求：(1) 当小球沿内壁滑到容器底部的B点时，受到向上的支持力为多大？,由于小球相对于桌面轨迹较复杂，而相对于容器，小球的轨迹仍为圆弧，取容器为参考系（非惯性系）,分析：容器未固定，可以滑动,要求B点的支持力，先求B点的向心力,为求B点速率，注意到小球+容器(+地球)组成的系统：,桌面参考系中，水平方向上不受外力，动量守恒,支持力不做功（与相对位移方向垂直，一对支持力做功之和为0）,只有重力做功，系统的机械能守恒,要求B点的向心力，先求B点的速率(相对于容器),解：根据水平方向系统动量守恒及下滑过程中系统机械能守恒,以B点为重力势能零点,其中vm, vM分别表示小球到达B点时小球、容器相对桌面的速度,现在以容器为参考系，求在B点小球相对容器的速度vm,容器参考系中，小球圆周运动的向心力,小球运动到容器底部这一特殊位置时，,求：(2) 小球相对于桌面的运动轨迹在B点的曲率半径？,对容器没有水平方向的作用力，从而容器参考系的加速度为0，则容器参考系中的惯性力也为0。,由于在B点，容器参考系的加速度为0，小球在地面参考系中的法向加速度(小球速度水平向右)也为, 相对桌面,例：轨道上的小车质量为M，它下面用长为l 的绳子系一质量为m的砂袋。现有一质量为m0的子弹水平地射入砂袋内，而与砂袋一起运动，最大摆角为。若不计小车与轨道间的摩擦。求：子弹射入时的速度v0,解：子弹+砂袋 完全非弹性碰撞,动量守恒,子弹+砂袋+小车, 上摆过程,最高点处三者具有共同的对地速度,水平方向动量守恒,只有重力做功 (拉力为一对内力) ，,三式联立，可得,机械能守恒,例：如图所示，小车从A点自静止开始，沿路径AEDBCE运动。其中，半径为 r 的环形路径EDBCE内的DBC段为一缺口，而BOC=BOD= ，不计摩擦，问：(1)当高度h=?时，小车才能越过缺口循上述路径运动？ (2)要使h值为最小，角为几度？,解：小车越过DC时只受重力作用，故作斜抛运动。,如图建立坐标系，其轨道方程,设D点的速度为v，,要求D点抛出，C点落回，即斜抛轨迹经过C点,C点坐标：x=2r sin y=0,代人轨迹方程，得抛出速度为,低于此速度，小车落入圆内,高于此速度，小车飞到圆外,当高度h=?时，小车到D点的速度满足,由以上两式，解得：,小车从点A滑到点D的过程中，斜面和环壁对小车的支承力N不作功，则由小车与地球组成的系统，其机械能守恒。,欲求h值最小时的角，即求极值,即,解得：,思考：小车在D点所受的环壁压力,临界问题,例：一质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑桌面上，在球顶有一质量为m的质点，由静止沿球面下滑。求：(1) m脱离M前的轨迹，(2) m绕球心O的角速度。,解：要求的是m相对桌面的轨迹，以及m相对球心O的角速度,(1) 以桌面为参考系，建立坐标系Oxy，设m在某时刻t的坐标为(x,y),设O在t时刻的坐标为X，脱离前有：,由于桌面光滑，在水平方向上，m和M系统动量守恒,设m相对桌面的水平速度为vx，M相对桌面的速度为V,即,结合初始条件：t=0时，x=0，X=0，两边积分, 轨迹方程为,或写为,可见，其轨迹为一椭圆，半长轴在y轴上，半短轴在x轴上。,(2) m相对于O作圆周运动，设其角速度为，则其绝对速度,解得：,桌面参考系中，只有重力做功，机械能守恒！,以桌面处为重力势能零点,代入解得：,(3) 若M=2.43m，求：m在什么位置处开始脱离半球？,m开始脱离半球的条件：,支持力为0,惯性系中,以M为参考系，是否仍然成立？,脱离的瞬时，M的加速度=,0,若M=2.43m，解得：cos=0.7, -3.5, 2.8 (后两者大于1舍去), 在=arccos0.7=45.57处，m开始脱离半球。,这与M固定不动时的计算结果相同。即相当于M不动。,讨论：,若Mm,这表明，M一下子滑出，m竖直下落。,若MR)：,球体内(rR)：,球体内(rR)：,其在距离球心为r处产生的电场为：,无限大厚板，=kx，k为常量，求板内外的场强？,例：电荷体密度为+ 的均匀带电球体，若保持电荷分布不变，在其中挖去一个小球体，小球球心O相对O的位置矢量为 ，证明：腔内为匀强电场。,分析：电荷(电场)分布已不是球对称，无法直接用高斯定理。,补偿法：带正电大球+带负电小球,解：考察腔内任一点P处，,两球内P处,与P的位置无关,无限长空腔圆柱体，腔内为匀强电场,设OP=b，OP=d,例：在点电荷q的电场中，取一个半径为r的圆平面，q位于其轴线上距离为d 处，求：通过圆平面的电通量。,r,R,q,分析：平面上各处与电场线夹角各异，考虑以q处为球心，半径为R的球冠面S的电通量。,解：由于球冠面上各处场强大小相同，方向即dS 的法线方向,d,O,球冠的面积,球面内包围一点电荷q，由高斯定理可知，整个球面的电通量为, 穿过球冠面的电通量(电场线条数)为,球冠面积S占整个球面积S0的比例为,解2：由于球面上电场线的疏密程度均匀(E大小相同)，可由面积之比求出电通量之比。,电势的计算, 一些常见均匀带电体的电势,均匀球面内(r R),点电荷、均匀带电球面(体)外,=面上电势，与r无关,平行板电容器板间(匀强电场)电势差,无限长均匀带电直线、圆柱面(体)外,其中r0为电势零点到轴的距离(注意不能选在无限远处),无限长均匀圆柱面内,=面上电势，与r无关,例：在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，其上电荷均匀分布，电荷面密度为，A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(3R/2, 0)，求：电势差UAB,分析：由上下对称及电势叠加可知，半球面在Oxy平面上的电势就是完整球面的电势的一半。,解：将半球面扩展为完整球面,则面内(上)A点电势为,面外B点电势为,半球面，电势差,例：两个均匀带电的同心半球面如图相对放置，其半径分别为R1与R2，电荷面密度分别为s1和s2， 求：大球底面直径AOB上的电势分布,分析：由对称性及电势叠加原理可知，半球面在AOB平面上的电势等于完整球面产生的电势的一半。,解：由均匀带电球面的电势分布,半个小球面在AOB上的电势,可以看出，在与小球面的底面重合的区域各点电势相等，而超出小球面底面的部分则与r有关。,则AOB上的电势分布为,半个大球面在AOB上的电势,若,则,例：地面上有一固定点电荷A，其正上方有一带电小球B，在重力和A的库仑斥力作用下，B在A的上方H/2H之间来回振动，求：B运动的最大速率。,分析：由于重力及库仑力均为保守力，所以机械能守恒。而所谓速率最大，即振动的平衡位置，受力为零处。,设在高度h处受力平衡,解：设A带电为Q，B带同号电荷q，B质量为m，,平衡位置处机械能,运动范围为H/2H，这两处B的动能为0,联立可得,A,例：如图，接地导体球附近有一点电荷q,相距l求：导体上感应电荷的电量,接地U=0，,解：设感应电量为q,球外没有其他带电体时,感应电荷分布在球面上，但不均匀,球面在球心的电势,任取球面上一块电荷元dq，其在球心处的电势为,接地意味着导体电势为零，不意味着电荷为零,球心的电势为0等势体,球心总电势, 电介质的极化,例：如图，均匀电介质球被均匀极化，极化强度为P，求：极化电荷在球心产生的退极化场。,解：以球心O为原点，选与P平行的方向为z轴，建立如图的极坐标系,电介质球表面上的某球面元dS处的束缚电荷面密度：,其中n为介质球表面的外法线方向,分析：本题极化电荷分布在球面上，,求(非均匀)带电球面在球心的场强，,已知极化强度P极化电荷面密度。,当q p/2 为负电荷,极化电荷分布关于z轴对称,整个球面上在球心的场强,方向如图,图中球面元dS在球心的场强,由对称性可知，球心处的退极化场的方向应该是水平向左,只需计算z分量：,例：在无限大均匀电介质内，挖一个半径为R的无限长圆柱形空腔，设腔外电介质被均匀极化，极化强度P 沿y方向，求：极化电荷在空腔轴线上产生的场强。,分析：此问题中极化电荷分布在圆柱面上，,求(非均匀)带电圆柱面在其轴线上的场强，,解：如图，将圆柱面分成许多无限长窄条，,已知极化强度P，则极化电荷面密度可求。,考察与y方向夹角为q，角宽度为dq 的窄条，,n为腔外介质表面的外法线方向,+ + + +,-,介质,介质,介质分子,极化电荷分布关于yOz平面对称,q p/2 为正电荷,此线密度为dl的无限长带电直线在轴线上的场强大小,此窄条(直线)的极化电荷线密度,方向如下图,+ + + +,-,介质,介质,与P同向，不是极化电荷在介质内的场强。,由于极化电荷分布关于yOz平面对称，其在空腔区域轴线上的总场强沿y轴方向，,故只需对y轴方向的分量进行积分：,是由极化电荷产生的，未包括导致介质极化的外电场；, 电容的计算,例：平行板电容器，极板面积为S，板间间距为d，现充有两种电容率分别为e1和e2，厚度分别为d1和d2的均匀电介质。,求：此平行板电容器的电容。,解：设两极电荷面密度分别为+s0和-s0,取圆柱形高斯面，由高斯定理,两板间的电势差,A B,各层电介质中的电场强度不同,电容为,相当于两个电容器的串联,另一种情况,A B,由于极板为等势体,各层电介质中的电场强度相同,两板间的电势差,相当于两个电容器的并联,现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的相互作用，认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。,例：两个相距很远的导体球，半径分别为a、b(a)，每球各带有电荷q，现用一根细长导线将两球联接，静电平衡后忽略导线中所带电荷，求:(1)电荷迁移方向及最终两球上的电荷量，(2)该导体组的电容。,解：(1)设联接后两球的电量最终分别变为q1、q2，则由电荷守恒,两球电势分别为,其中l为两球心距离,联接两球等势 Ua=Ub，即,面密度,电荷由小球b大球a,或由联接前的电势高低来判断电荷的流向,由电荷守恒,联接前大球电势,显然,小球电势,由高电势的小球b流向低电势的大球a,得,也可将此导体组看作是两个孤立导体球的并联，或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。,对(1)也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布,(2)两球的总电量为2q，电势均为,例：一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，(1)充电至两极板分别带电为+q和-q后，断开电源，再把两板慢慢拉开至间距为2d ，(2)若保持与电源连接以维持电压为U，再把两极板慢慢拉至2d，求：两种过程中外力克服电场力所做的功？,解：(1)断开电源后，移动过程中极板上的电荷量将保持不变,从而板间的场强也将保持不变,板间的电场能量密度也不变,间距从d到2d，电场力做负功，,一个极板受到另一个极板的电场的吸引力,而外力的功,而电场能量的增量,(2)保持电源连接，移动过程中极板间的电压将保持不变,而间距从d到2d，电容减半,则电场能量的改变量为,拉开极板的过程中外力做负功？,在此过程中除外力做正功外，由于极板上电荷量的变化，还有电源在做负功(对电源做功)，从而导致了电场能量的减少。,过程中极板上电量的改变量为,把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：,外力做功为,例：一平行板电容器，极板面积为S，极板间距为d，,求：电容器能量的变化？,充电后断开电源，保持其电量q不变，,将一块厚为b(0)，放在光滑的水平面上。环内外分布有垂直环面向上的均匀磁场B，若将圆环以角速度w绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转，求：环上因转动而形成的附加张力。,分析：此带电圆环静止时，环上各处的电荷之间会有电场力的作用，为维持平衡，环上已经有张力存在。,本题要求的是，当环旋转后，会形成圆电流，磁场对圆环就有安培力的作用，环上又需要一个附加的张力:,抵消安培力、提供向心力,径向向外,其中电流强度,如俯视图示,设dl 两端的附加张力为T，,dj 2,dj 2,如图，T与水平虚线夹角为,T 沿俯视图中“竖直”方向的分量为,由牛顿第二定律,若为通有电流I 的载流圆环,圆环不旋转，无向心力,例：如图，空间分布着足够大的匀强磁场B，其方向垂直屏幕向里，磁场中有两点a和b，相距为l，ab连线水平且与B垂直，一质量为m，电量为q(0)的粒子从a点以水平初速v0对着b点射出，考虑粒子的重力，问：要使粒子能经过b点，v0有哪些可能取值？,解：洛伦茨力与重力平衡时,匀速直线运动,由于重力，也不会是圆周运动。,此解记为v01，还有没有其他可能？,若v0v01，上偏，,若v0v01，可将初速v0分解为,若v01，外半径为R2，求：(1)磁介质中任一点的B，H，M；(2)磁介质内外表面的磁化电流密度。,解：(1)利用H的安培环路定理,三者同向且与I成右手螺旋,根据对称性，取半径为r的逆时针圆形回路,沿环路H与dl 同向,与H 同向,r1，顺磁质，与H同向,磁化强度,(2) 磁化电流密度,内表面,向上；,外表面,向下,利用B的安培环路定理,包括了磁介质内表面上的磁化电流I,R1rR2,与I 同向,外表面处，同为I，但反向,内表面处,取与x轴夹角为，宽为Rd的环带，,例：半径为R的介质球均匀磁化，其磁化强度为M，求：磁化电流在球心O点产生的磁场。,解：要求磁场，首先要求磁化电流,介质表面磁化电流密度,磁化电流强度,此磁化圆环电流在(距离环心为x的)球心O产生的磁场,整个球面在球心产生的磁场,这只是磁化电流的磁场，未包括外磁场。,与M同向，,则其上的磁化电流密度为, 感应电动势的计算,例：在匀强磁场B中，有长为L的导体棒，与磁场方向夹角为q，固定棒的O端，使其绕磁场方向作匀加速转动，设转动过程中导体棒与磁场夹角始终为q，要使棒两端的电势差增加率为c，求：转动的角加速度b,电势差增加率动生电动势的增加率,解：导体棒转动时切割磁力线动生电动势,如图在棒上l处取微元dl，,p/2-q,对此微元,对整个棒,例：如图，用长为L的细金属丝OP和绝缘摆球P构成一个圆锥摆，P作水平匀速圆周运动时金属丝与竖直线的夹角为q，空间中存在向内的匀强磁场B，问：在运动过程中，金属丝两端电势差的最小值与最大值？,解：金属丝切割磁力线动生电动势,设转动为逆时针，其角速度为,在不同位置， 的大小会不同,在a、b两处,而在c、d两处，,如图其方向或上、或下，与dl 的夹角总为q，,以c处为例,此为最小值,例：一无限长圆柱，与轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴的距离OO=d，如图，两圆柱间区域存在随时间线性增长的均匀磁场B=kt，k为常数。若在空腔中有一与OO成60角，长为L的金属杆AOB，,求：此杆上的感生电动势。,分析：感生电动势感生电场,变化磁场,带电,无限长空腔圆柱体腔内的,通有电流,均匀,解：补偿法, 大圆柱(B向内)+小圆柱(B向外),取腔内任意一点P，设OP=r，OP=r,大圆柱中向内的变化磁场在P点产生的电场,小圆柱中，向外的变化磁场在P点产生的电场,P点的总感生电场,方向如图(左手),其大小,相似，方向与d垂直,匀强, 对感应电流的磁场力,例：如图，一螺线管铅直放置，通有直流电，有一导体圆环沿螺线管轴线下落，下落过程环面恒保持水平，则圆环经过图中A、B、C三点时，加速度大小满足 ( ),(A) aAaBaC,(C) aCaAaB,(D) aBaAaC,(B) aAaCvA,C,例：一半径为r的金质圆环竖立于两磁极间，设环下端因限制而不能在磁极上滑动，现受到一扰动，使环面偏离竖直面0.1弧度，并开始倒下。已知磁场为B，环重为G，环的截面半径为b，金的电导率为s，设倒下过程中重力矩始终与磁力矩平衡，求：环倒下所需的时间。,分析：环倒下q=p/2，建立qt 关系,q,N,S,解：当夹角为q时的磁通量为,环倒下过程中，穿过环面的磁通量发生变化，产生感应电动势,圆环感应电流磁力矩,引起的感应电动势大小为,感应电流,由电阻定律,此圆电流在匀强磁场中受到的磁力矩大小为,倒下过程中，两力矩平衡,方向与重力矩相反,N,S,q,例：匀强磁场B中，固定着两根足够长的平行金属导轨，如图，导轨上横放着两根质量均为m，长度均为l，电阻均为R的金属棒，它们与导轨构成矩形回路，忽略导轨上的电阻，设两棒可以在导轨上无摩擦的滑动，初始两棒相距x0，左棒cd静止，右棒ab具有向右的初速度v0,求：(1)之后两棒的运动速度随时间的变化关系；,(2)两棒之间的最大距离。,分析：右棒向右运动切割磁力线，产生向上(逆时针)的电流，,向左的安培(阻)力右棒减速,左棒中电流向下,向右的安培力F2=BIl,左棒中产生向上(顺时针)的电动势,左棒向右运动,=F1,方向相反,解：(1)设右棒ab的速度为v1，左棒cd的速度v2,结合初始条件t=0时，v1=v0，v2=0,对上式积分可得,每个棒受到的安培力为,感应电流,回路中的总电动势,对右棒安培力为阻力,对左棒,比较两式，可得,对右棒,积分,两棒的同速时，,右棒,左棒,(2)两棒间的最大距离,设共同速度为v,由于F2=F1，两棒的合力为0，,动量守恒，mv0=2mv,此即上两式中当t时的情况，最终两棒匀速,设某时刻t 两棒位置分别为x1和x2,两棒间的最大距离, 自感与互感,例：一截面为矩形的螺绕环，内外半径分别为a和b，高为h，匝数为N，求：(1)螺绕环的自感系数；,(2)在螺绕环轴线处放一无限长直导线，当螺绕环中通以交变电流I1=I0sinwt时，求：长直导线中的感应电动势。,解：(1)设通有一电流I，管内的总磁通量,螺绕环的自感系数,(2)可认为无限长直导线在无限远处闭合，匝数为1,通过螺绕环截面