辽宁省沈阳市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若 4 a 8， 0 b 2，则 a+b 的取值范围是（ ） A（ 4， 10） B 4， 10 C（ 6， 8） D 6， 8 2命题 p： “ x N+， 2x 2”的否定为（ ） A x N+， 2x 2 B xN+， 2x 2 C xN+， 2x 2 D x N+， 2x 2 3双曲线 = 1 的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 4已知数列 首项 ，且 1+1（ n 2），则 （ ） A 7 B 15 C 30 D 31 5已知 三个角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a2+ab= C=（ ） A B C D 6若点（ x， y）在不等式组 表示的平面区域内运动，则 t=x y 的取值范围是（ ） A 2， 1 B 2， 1 C 1， 2 D 1， 2 7已知抛物线 y 上的点 P 到抛物线的焦点距离为 5，则点 P 的纵坐标为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8已知 等差数列， 等比数列， 0 恒成立，若 a2= a8=（ ） A 已知曲线 C 的方程为 =1（ a R 且 a 0），则 “a 1”是 “曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10等比数 列 前 n 项和为 知 ， ，则 的值为（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 11在四面体 ， E， F 分别是棱 中点，设 = ， = ， = ，且= ，则 x， y， z 的值分别为（ ） A B C D 第 2 页（共 17 页） 12已知数列 通项公式为 an= 列 前 n 项和为 递减数列，则实数 k 的取值范围为（ ） A k 1 B C D 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知椭圆的方程为 =1，则该椭圆的离心率为 14已知命题 “设 a， b， c R，如果 a b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 15如图，在正方体 ， E 为 中点，则异面直线 成的角的余弦值为 16设 a R，若 x 0 时，均有（ 32）（ 2） 0，则 a= 三、解答题：（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， （ ）判断 形状； （ ）若 B=30， a=2，求 上中线 长 18（ ）解关于 x 的一元二次不等式 x（ x 2） 3 0； （ ）解关于 x 的一元二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0（其中 a R） 19已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（ 1， 2） （ ）求该抛物线的标准方程； （ ）若过该抛物线焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点， k 1， 2，求弦长 |取值范围 20已知等差数列 ， ， （ ）求数列 通 项 前 n 项和 （ ）证明：命题 “ n N+， ”是真命题 21如图，在长方体 ， D=2， ，点 F 为 中点，点E 在 ，且 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 F B 的余弦值 第 3 页（共 17 页） 22已知椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为 12 （ ）求椭圆的方程； （ ）设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点， P， Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线 直线 于点 M（ 9， m），以 直径作圆 C，判断点 A 与圆 C 的位置关系，并说明理由 第 4 页（共 17 页） 2015年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若 4 a 8， 0 b 2，则 a+b 的取值范围是（ ） A（ 4， 10） B 4， 10 C（ 6， 8） D 6， 8 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 直接利用不等式的简单性质计算即可 【解答】 解： 4 a 8， 0 b 2，则 a+b 4， 10 故选： B 2命题 p： “ x N+， 2x 2”的否定为（ ） A x N+， 2x 2 B xN+， 2x 2 C xN+， 2x 2 D x N+， 2x 2 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p： “ x N+， 2x 2”的否定为： x N+， 2x 2 故选： D 3双曲线 = 1 的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 化方程为标准方程，可得 a， b，代入 y= 可得渐近线方程 【解答】 解：化已知双曲线的方程为标准方程 ， 可知焦点在 y 轴，且 a=3， b=2， 故渐近线方程为 y= = 故选 A 4已 知数列 首项 ，且 1+1（ n 2），则 （ ） A 7 B 15 C 30 D 31 【考点】 数列递推式 【分析】 （法一）利用已递推关系把 n=1， n=2， n=3， n=4， n=5 分别代入进行求解即可求解 第 5 页（共 17 页） （法二）利用迭代可得 =2（ ） +1=进行求解 （法三）构造可得 =2（ 1+1），从而可得数列 是以 2 为首项，以 2 为等比数列，可先求 ，进而可求 n=5 代入可求 【解答】 解：（法一） 1+1， =3 =7 =15 =31 （法二） 1+1 =4=8=165=31 （法三） =2（ 1+1） =2 是以 2 为首项，以 2 为等比数列 =22n 1=2n n 1 5 1=31 故选： D 5已知 三个角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a2+ab= C=（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 把已知条件移项变形得到 a2+c2=后利用余弦定理表示出 式子，把变形得到的式子代入即可求出 值，然后根据角 C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数 【解答】 解：由 a2+ab=得： a2+c2= 根据余弦定理 得： = = ， 又 C （ 0， ）， 所以 C= 故选： B 6若点（ x， y）在不等式组 表示的平面区域内运动，则 t=x y 的取值范围是（ ） A 2， 1 B 2， 1 C 1， 2 D 1， 2 【考点 】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， t=x y 表示直线在 y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 第 6 页（共 17 页） 【解答】 解：先根据约束条件 画出可行域， 由 得 B（ 2， 0）， 由 ，得 A（ 0， 1）， 当直线 t=x y 过点 A（ 0， 1）时， t 最小， t 最小是 1， 当直线 t=x y 过点 B（ 2， 0）时， t 最大 ， t 最大是 2， 则 t=x y 的取值范围是 1， 2 故选 C 7已知抛物线 y 上的点 P 到抛物线的焦点距离为 5，则点 P 的纵坐标为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义，转化求解即可 【解答】 解：抛物线 y 的焦点坐标（ 0， 2），抛物线 y 上的点 P 到抛物线的焦点距离为 5， 可得 P 的纵坐标为： 3， 故选： B 8已知 等差数列， 等比数列， 0 恒成立 ，若 a2= a8=（ ） A 考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 设公差为 d，公比为 q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论 【解答】 解：设公差为 d，公比为 q，则 a2=a8= d= d= 1） 第 7 页（共 17 页） b5=d 1 + 1） = 1） 2， 0，（ 1） 2 0， 1） 2 0， 即有 故选： A 9已知曲线 C 的方程为 =1（ a R 且 a 0），则 “a 1”是 “曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 曲线 C 的方程为 =1（ a R 且 a 0），若曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 a 0即可判断出结论 【解答】 解：曲线 C 的方程为 =1（ a R 且 a 0），若曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 a 0 “a 1”是 “曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 ”的充分不必要条件， 故选： A 10等比数列 前 n 项和为 知 ， ，则 的值为（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由等比数列的前 n 项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前 n 项和公式能求出 的值 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和为 ， ， ，解得 ， q=2， 第 8 页（共 17 页） = = =2 故选： C 11在四面体 ， E， F 分别是棱 中点，设 = ， = ， = ，且= ，则 x， y， z 的值分别为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数 乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到 ，这样根据平面向量基本定理便可得出 x， y， z 的值 【解答】 解：如图， 根据条件， = = = = ； 又 ； 故选 A 12已知数列 通项公式为 an= 列 前 n 项和为 递减数列，则实数 k 的取值范围为（ ） 第 9 页（共 17 页） A k 1 B C D 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 可通过前 n 项的和，结合单调递减，解不等式可得 k 的范围，再讨论 n 为 4 的倍数，4 的倍数余 1， 4 的倍数余 2， 4 的倍数余 3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解： an= 可得 k， 2k， 1 3k， 4k， 5k， 6k， 1 7k， 8k， 即有 k， 3k， 6k， 10k， 15k， 21k， 28k， 36k， 由 递减数列，可得 即为 1 k 1 3k 6k 10k 1 15k 1 21k 28k 36k， 解得 k ， 当 n 为 4 的倍数时， n（ n+1） k， 由 ，可得 n（ n+1） k 1 n（ n+1） k（ n+1） k， 解得 k ，显然 ； 当 n 为 4 的倍数加 1 时， n（ n+1） k， 由 ，可得 1 n（ n+1） k 1 n（ n+1） k（ n+1） k， 解得 k 0； 当 n 为 4 的倍数加 2 时， n（ n+1） k， 由 ，可得 1 n（ n+1） k 1 n（ n+1） k（ n+1） k， 解得 k 0； 当 n 为 4 的倍数加 3 时， n（ n+1） k， 由 ， 可得 n（ n+1） k n（ n+1） k（ n+1） k， 解得 k 0 综上可得 k 的范围是 k 故选： C 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知椭圆的方程为 =1，则该椭圆的离心率为 第 10 页（共 17 页） 【考点】 椭圆 的简单性质 【分析】 先由椭圆的标准方程分别求出 a， c，由此能求出该椭圆的离心率 【解答】 解： 椭圆的方程为 =1， a= =2， = ， 该椭圆的离心率为 e= = 故答案为： 14已知命题 “设 a， b， c R，如果 a b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 【考点】 四种命题 【分析】 根据四种命题之间的关系分别进行判断即可 【解答】 解：若 c 0， a b 成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题 逆命题为：若 a b，则 c=0 时， 成立， 逆命题为假命题，则否命题也为假命题 故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 1 个 故答案为： 1 15如图，在正方体 ， E 为 中点，则异面直线 成的角的余弦值为 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成的角的余弦值 【解答】 解：以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 棱长为 2， 则 A（ 0， 0， 0）， E（ 1， 0， 2）， 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 2）， =（ 0， 2， 2）， 设异面直线 成的角为 ， 第 11 页（共 17 页） 则 ， |= = = 异面直线 成的角的余弦值为 故答案为： 16设 a R，若 x 0 时，均有（ 32）（ 2） 0，则 a= 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 构造函数 2， y2=2，它们都过定点 P（ 0， 2），函数 y2=2，显然过点 M（ ， 0），计算即可得到答案 【解答】 解：构造函数 2， y2=2，它们都过定点 P（ 0， 2）， 考查函数 2，令 y=0，得 M（ ， 0）， a 0； 考查函数 y2=2，显然过点 M（ ， 0），代入得： 2=0， 解之得： a= ，或 a= （舍去） 故答案为： 三、解答题：（共 6 小题，满分 70 分） 17已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， （ ）判断 形状； （ ）若 B=30， a=2，求 上中线 长 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）由已知等式，利用正弦定理可得： ac=得： a=b，即可得解 等腰三角形 （ ）由已知可求 C=120， ，利用余弦定理可求 ，利用余弦定理可求 值 【解答】 解：（ ） 第 12 页（共 17 页） 利用正弦定理可得： ac=得： a=b， 等腰三角形 （ ）如图所示： C， B=30， ， C=120， ， = =2 ， ， = = 18（ ）解关于 x 的一元二次不等式 x（ x 2） 3 0； （ ）解关于 x 的一元 二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0（其中 a R） 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 （ ）先求出 2x 3 0，由此能求出关于 x 的一元二次不等式 x（ x 2） 3 0 的解集 （ ）由当 2a 4，即 a 2， 2a 4，即 a 2， 2a=4，即 a=2 三种情况进行分类讨论，由此能求出关于 x 的一元二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0（其中 a R）的解集 【解答】 解：（ ） x（ x 2） 3 0， 2x 3 0， 解方程 2x 3=0，得 1， ， 关于 x 的一元二次不等式 x（ x 2） 3 0 的解集为 x|x 1 或 x 3 （ ） （ x 4）（ x 2a） 0（其中 a R）， （ x 4）（ x 2a） =0 的解为 ， a， 当 2a 4，即 a 2 时， 关于 x 的一元二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0 为 x|4 x 2a； 当 2a 4，即 a 2 时， 关于 x 的一元二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0 为 x|2a x 4； 当 2a=4，即 a=2 时， 关于 x 的一元二次不等式（ x 4）（ x 2a） 0 为 19已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（ 1， 2） （ ）求 该抛物线的标准方程； （ ）若过该抛物线焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点， k 1， 2，求弦长 |取值范围 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）把定点坐标代入抛物线方程，求得 p，则抛物线方程可求； （ ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线 l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案 【解答】 解：（ ）设抛物线的方程为 p 0）， 代入点（ 1， 2），可得 p=2， 第 13 页（共 17 页） 抛物线的标准方程 x； （ ）抛物线焦点坐标为 F（ 1， 0）， 直线 l： y=k（ x 1） 设点 A（ B（ 联立直线 l： y=k（ x 1）与 x，得： 2） x+， 则由韦达定理有： x1+ ， 则弦长 | =4+ ， k 1， 2， 1， 4， 弦长 |取值范围是 5， 8 20已知等差数列 ， ， （ ）求数列 通项 前 n 项和 （ ）证明：命题 “ n N+， ”是真命题 【考点】 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）设等差数列 公差为 d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和； （ ）求得 = = （ ），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证 【解答】 解：（ ）设等差数列 公差为 d， 由 ， ，可得 a1+d=3， d=9， 解得 ， d=2， 则 an= n 1） d=2n 1； 前 n 项和 n（ 1+2n 1） = （ ）证明： = = （ ）， 即有 + + = （ 1 + + ） = （ 1 ） ， 则命题 “ n N+， ”是真命题 21如图，在长方体 ， D=2， ，点 F 为 中点，点E 在 ，且 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 F B 的余弦值 第 14 页（共 17 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 F B 的余弦值 【解答】 证明：（ ） 在长方体 ， D=2， ， 点 F 为 中点，点 E 在 ，且 ， 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 2， 0， 0）， E（ 0， 2， 1）， 2， 0， 4）， B（ 2， 2， 0）， D（ 0， 0， 0）， =（ 2， 2， 1）， =（ 2， 0， 4）， =（ 2， 2， 0）， =0， =0， 又 B=D， 平面 解：（ ） F（ 0，