概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案1设X服从两点分布,1PB，1X，2X，NX是来自该总体的一个样本，求未知参数P的矩估计量解PXEX，即未知参数P的矩估计量为XP2在一批零件中随机抽取8个，测得长度如下单位MM00153，00353，00153，00553，00053，99852，00253，00653设零件长度测定值服从正态分布求均值，方差2的矩估计值，并用矩估计法估计零件长度小于00453的概率解由于X，NIIXXN1221，故均值，方差2的矩估计值分别为002538181IIXX，0000060818122IIXX，可知零件长度X0000060,00253N，故793908200000060002530045300453XP3设总体X的概率密度为其他,0,1CXXCXF其中0C为已知，1，为未知参数，1X，2X，NX为总体的一个样本，1X，2X，NX为一组相应的样本观测值，求未知参数的矩估计量和估计值解XXXFXED,CXXCXD11DCXXCC，令XXE，即1CX，得的矩估计量为2CXX从而的矩估计量值为CXX4设总体X的概率密度为其他,0,63CXXXXF1X，2X，NX是来自总体X的一个样本1求的矩估计量；2是的无偏估计吗3求的方差D解XXXFXED,2D6032XXX，1令XXE，即2X，由此得的矩估计量为X2222222XEXEXEE，故是的无偏估计3XXFXXED,222033103D6XXX，从而222201XEXEXD由此得NNXDNXDXDD52014442225设总体X的概率密度为其他,0,10,1,XXXF其中1是未知参数，1X，2X，NX是来自X的一个样本试求参数3的矩估计和极大似然估计现有样本观测值10，20，90，80，70及70，求参数的矩估计值和极大似然估计值解XXXFXED,21D110XXX，令XXE，即21X，解得的矩估计量为XX112似然函数为1,2121NNNXXXXXXL，10IX，1，对数似然函数为LN1LNLN21NXXXNL，令0LN1DLND1NIIXNL，解得1LN1NIIXN，从而的极大似然估计量为1LN1NIIXN代入观测值，得到的矩估计值和极大似然估计值分别为134112XX，211201211211LN1NIIXN6设1X，2X，NX是总体X的一组样本观测值设X的概率密度为,0,E,XXXFX其中，未知证明的极大似然估计值为MIN1INIX证似然函数为4EXP,121NIINXXXXL，IX，0EXPDD1NIIXNL，所以L是的单调增函数，从而对满足条件IX的任意，有MINEXPEXP111NIINIINIIXXXL，即L在MIN1INIX时取最大值，故的极大似然估计值为MIN1INIX71设总体X具有分布律X123P21221其中，10为未知数已知取得了样本值11X，22X，13X，求的矩估计值和最大似然估计值2设1X，2X，NX是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量和极大似然估计量解1因为2313122122XE，令23X，解得321X，从而的矩估计值为6534321样本的似然函数为1212,522321XXXL，令0652DD4L，解得65，又因为01086353220DD6536522L，5故65是L的极大值点，也是最大值点，则的极大似然估计值为652参数为的泊松分布的分布律为E,XXFX，,2,1,0X，XE，令X，解得的矩估计量为X样本的似然函数为NNXNXXXXXXLNIIE,21211，对数似然函数为NXXXXLNNIILNLNLN211，令01DLND1NXLNII，解得NIIXN11，则的极大似然估计量为XXNNII118设总体X的概率密度为,0,5E,5XXXFX1X，2X，NX是取自总体X的样本，试求参数的极大似然估计解IX时，样本的似然函数为5EXP51NIINXL，NIIXNL155LNLN，6因为05DLNDNL，所以LNL是的单调增函数，又因为IX，NI,2,1，故当MIN1INIX时LNL达到最大值由此得的极大似然估计值为MIN1INIX，则其极大似然估计量为MIN1INIX9设总体X服从对数正态分布，其概率密度为0,0,0,E121,22LN212XXXXFX其中，0为未知参数，1X，2X，NX是取自该总体的一个样本，求参数，2的极大似然估计解IX时，似然函数为LN21EXP121,122212NIINNXXXXL，NIINXXXXNNL1222122LN21LNLN22LN2,LN，令0LN121LN22LN2LN0LN22LN12222212NIINIIXNNLXL解得，2的极大似然估计值为NIIXN1LN1，NIIXN122LN1，则其极大似然估计值量为NIIXN1LN1，NIIXN122LN110设总体X的概率密度为0,0,0,E1,XXXFX7从该总体中抽取样本1X，2X，3X，考虑的如下4中估计11X；21212XX；2313213XXX；313214XXX1这4个估计中，哪些是的无偏估计2试比较这些估计方差解由题可知X1E，则XE，2XD，从而有1E，2E，343E，4E，21D，2221D，2332D，2431D1由上可知1，2，4是的无偏估计，3不是的无偏估计2由上可知1324DDDD111设是参数的无偏估计，且有0D，试证2不是2的无偏估计2试证明均匀分布,0,0,1,其他XXF中未知参数的最大似然估计量不是无偏的证1由题可知，E，022EED，所以222DEDE，故2不是2的无偏估计2易得INIX1MAX，的密度函数为,0,0,11其他XXNXPN8则1D1D011NNXXXNXXXPENN，可知的最大似然估计量不是无偏的12设从均值为，方差为02的总体中，分别抽取容量为1N，2N的两独立样本1X和2X分别是两样本的样本均值试证对于任意常数A，B1BA，21XBXAY都是的无偏估计，并确定常数A，B使YD达到最小证因为XE，所以1XE，2XE，有21BAXBEXAEYE，即对于任意常数A，B1BA，21XBXAY都是的无偏估计又2222122212BNANXDBXDAYD，记,YDBAF，构造拉格朗日函数1,22122BANBNABAL，令0102022212BALBNBLANAL解得211NNNA，212NNNB，即当211NNNA，212NNNB时，YD最小13设1X，2X，NX是来自X的一个样本，XE，2XD1确定常数C，使1121NIIIXXC为2的无偏估计；92确定常数C，使22CSX是2的无偏估计X，2S是样本均值和样本方差解1由题可知IXE，2IXD，222IXE，NI,2,1，可得121NIIIXXE212121NIIIIIXXXXENIIIIIXEXEXEXE1122122122222122NNI，取121NC，可使1121NIIIXXC为2的无偏估计2令2222222CXEXDSCEXECSXE2222211CNCN，取NC1即可14设总体X的均值为，方差为2，从总体中抽取样本1X，2X，3X，证明下列统计量6323211XXX，4423212XXX，3333213XXX，都是总体均值XE的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效证因为IXE，2IXD，NI,2,1，所以6131216323211XXXEE，4141214423212XXXEE，3131313333213XXXEE，故1，2，3都是的无偏估计量又因为10222232111273619141632XXXDD，262232128316116141442XXXDD，2222321331919191333XXXDD，故123DDD，即3最具有效性15设有K台仪器，已知用第I台仪器测量时，测定值总体的标准差为IKI,2,1，用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到1X，2X，KX设仪器都没有系统误差，即IXEKI,2,1，问1A，2A，KA应取何值，方能使用KIIIXA1估计时，是无偏的，并且D最小解因为IXE，2IIXD，KI,2,1，所以KIIKIIIKIIIAXEAXAEE111，KIIIKIIIKIIIAXDAXADD122121，易知当11KIIA时，是的无偏估计样本的似然函数为1,112221KIIKIIIKAAAAAL，令010202021222222111KIIKKKAAALAALAAL11解得KIIIA1211，KI,2,1，此时，D最小16设某种清漆的9个样品，其干燥时间单位H分别为06，75，85，56，07，36，65，16，05设干燥时间服从正态分布,2N求的置信度为950的置信区间1由以往经验知60H；2若2未知解1由题可知60，9N，计算得06X，9501，查表得96102502UU，则的置信度为950的置信区间为3926,6085,22NUXNUX22未知，9N，06X，9501，3302S，查表得3060280250T，则的置信度为950的置信区间为285,8711,102500250NNTSXNNTSX17从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张，计算得平均金额为578元，样本标准差为20元假设发票金额数服从正态分布,2N，其中，2为未知参数求该商店一年来发票平均金额数的置信度为900的置信区间解由题可知26N，578X，20S，9001，查表得7081125050T，则平均金额数的置信度为900的置信区间为285,8712625,2625050050TSXTSX18某种零件尺寸偏差X服从正态分布,2N，其中，2为未知参数，今随机抽取10个零件测得尺寸偏差单位M为121，2，2，3，2，4，2，5，3，4试求和2的置信度为990的置信区间解由题可知10N，2X，7852S，9901，查T分布表得2498390050T，则的置信度为990的置信区间为474,470109,10900500050TSXTSX查2分布表得58923920050，7351929950，则2的置信度为990的置信区间为9829,21211,11299502200502NSNNSN19对某种钢材的抗剪力进行10次测试，得实验结果如下单位KG578，572，570，568，572，570，570，596，584，572若已知抗剪力服从正态分布,2N，1已知252，求的95置信区间；2若2未知，求的95置信区间解由题可知10N，2575X，9501，15，查表得96102502UU，则的95置信区间为3578,1572,22NUXNUX22未知，以2S代替2，计算得73752S，查表得2622290250T，则的95置信区间为42581,98568109,10902500250TSXTSX20使用铂球测定引力常数单位2131110SKGM，得测定值如下136616，6766，6676，6786，6696，6686设测定值服从,2N，试求和2的置信度为90的置信区间解由题可知6N，9001，计算得66986X，00003896802S，查表得032245050T，0711152050，145152950，则的置信度为90的置信区间为68016,6595665,65050050TSXTSX，2的置信度为90的置信区间为100217,1076111,11552950220502NSNNSN21从一批火箭推力装置中抽取10个进行试验，测得燃烧时间单位S如下750，954，354，844，242，869，453，166，148，534设燃烧时间服从正态分布,2N，求燃烧时间标准差的置信度为90的置信区间解由题可知10N，9001，计算得8851X，3551112S，查表得9191692050，325392950，由此得标准差的置信度为90的置信区间为3617,70711,112950220502NSNNSN22甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠今从甲、乙机床的产品中各抽取8个及9个样品，测得它们的直径单位MM如下甲015，514，215，515，814，115，215，814乙215，015，814，215，015，015，814，115，814设滚珠直径服从正态分布1求方差比2221的置信度为90的置信区间；2设22221，求21的置信度为95的置信区间14解由题可知81N，92N，9501，计算得012515X，0955021S，988914Y，0261022S，05850211212222112NNSNSNSW，241802WWSS1查F分布表得5348,71,10250212FNNF，2041108993417,818,71,1025097502121FFNNF，则方差比2221的置信度为90的置信区间为92617,80708,7,8,79750222102502221FSSFSS2查T分布表，则21的置信度为95的置信区间为27410,226901115,1115210250210250NNSTYXNNSTYXWW23为了考察温度对某物体断裂强度的影响，在70和80下分别独立重复做了8次和9次试验，测得其断裂强度的数据如下单位MPA70015，814，215，415，914，115，215，81480215，015，814，115，015，614，814，115，514假设70和80下的断裂强度分别用X和Y表示，且X,211N，Y,222N，取置信度为90试求11801，2402时，21的置信区间；221，22未知时，21的置信区间；32221的置信区间解由题可知81N，92N，9001，计算得0515X，914Y，0457021S，213801S，0575022S，239802S151查表得6451050U，则21的置信度为90的置信区间为3180,0180,22212122221212NNUYXNNUYX221，22未知，05200211212222112NNSNSNSW，22800WS，查T分布表得7531115050T，则21的置信度为90的置信区间为3440,0