全国2010年10月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)课程代码：04183

2010年10月真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设随机事件A与B互不相容，且P（A）0,P（B）0，则（）AP（B|A）0BP（A|B）0CP（A|B）P（A）DP（AB）P（A）P（B）答疑编号918070101正确答案分析本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析A，因为A与B互不相容，P（AB）0，正确；显然，B，C不正确；DA与B相互独立。故选择A。提示注意区别两个概念事件互不相容与事件相互独立；条件概率的计算公式P（A）0时，。2设随机变量XN（1，4），F（X）为X的分布函数，（X）为标准正态分布函数，则F（3）（）A（05）B（075）C（1）D（3）答疑编号918070102正确答案分析本题考察正态分布的标准化。解析，故选择C。提示正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。3设随机变量X的概率密度为F（X）则P0X（A）答疑编号918070103正确答案分析本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。解析，故选择A。提示概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。4设随机变量X的概率密度为F（X）则常数C（）A3B1CD1答疑编号918070104正确答案分析本题考察概率密度的性质。解析1，所以C1，故选择B。提示概率密度的性质1F（X）0；4在F（X）的连续点X，有F（X）F（X）；55设下列函数的定义域均为（，），则其中可作为概率密度的是（）AF（X）EXBF（X）EXCF（X）DF（X）答疑编号918070105正确答案分析本题考察概率密度的判定方法。解析非负性A不正确；验证B发散；C，正确；D显然不正确。故选择C。提示判定方法若F（X）0，且满足，则F（X）是某个随机变量的概率密度。6设二维随机变量（X，Y）N（1,2，），则Y（D）答疑编号918070106正确答案分析本题考察二维正态分布的表示方法。解析显然，选择D。7已知随机变量X的概率密度为F（X）则E（X）（）A6B3C1D答疑编号918070107正确答案分析本题考察一维连续型随机变量期望的求法。解析解法一根据记忆，均匀分布的期望为；解法二根据连续型随机变量期望的定义，故选择B。提示哪种方法熟练就用哪种方法。8设随机变量X与Y相互独立，且XB（16，05），Y服从参数为9的泊松分布，则D（X2Y3）（）A14B11C40D43答疑编号918070108正确答案分析本题考察方差的性质。解析因为XB16，05），则D（X）NPQ1605054；YP（9），D（Y）9，又根据方差的性质，当X与Y相互独立时，有D（X2Y3）D（X（2）Y3）D（X）D（2Y）43640故选择C。提示对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直接使用结论；方差的性质D（AXB）A2D（X）；D（XY）D（X）D（Y）2COV（X,Y），若X与Y相互独立时，D（XY）D（X）D（Y）。9设随机变量ZNB（N，P），N1，2，其中0P1，则（B）答疑编号918070109正确答案分析本题考察棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。解析由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理故选择B。提示正确理解中心极限定理的意义在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的如何记忆中心极限定理定理结论定理54独立同分布随机变量序列XI，E（XI），D（XI）2，分布函数为FN（X），则；拉普拉斯中心极限定理同样记忆。10设X1，X2，X3，X4为来自总体X的样本，D（X）2，则样本均值的方差D（）（D）答疑编号918070110正确答案分析本题考察样本均值的方差。解析课本P135，定理62，总体X（，2），则，E（S2）2。故选择D。（二）填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设随机事件A与B相互独立，且P（A）P（B），则P（A）7/9答疑编号918070201正确答案分析本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。解析因事件A与B相互独立，事件A与也相互独立，则，所以故填写。提示四对事件（A、B），（A、），（、B），（、）其一独立则其三独立；加法公式P（AB）P（A）P（B）P（AB）是必考内容，记住12设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_1/4_答疑编号918070202正确答案分析本题考察古典概型。解析故填写。提示不要发生计算错误13设A为随机事件，P（A）03，则P（）_07_答疑编号918070203正确答案分析本题考察对立事件概率。解析故填写0714设随机变量X的分布律为记YX2，则PY4_05_答疑编号918070204正确答案分析本题考察随机变量函数的概率。解析PY4PX24P（X2）（X2）010405；也可求出Y的分布律Y014P020305得到答案。故填写05提示互斥事件和的概率概率的和。15设X是连续型随机变量，则PX5_0_答疑编号918070205正确答案分析本题考察连续型随机变量在一点的概率。解析设X的概率密度为F（X），则，故填写0提示积分为0被积函数为0；积分上限积分下限。16设随机变量X的分布函数为F（X），已知F（2）05，F（3）01，则P3X2_04_答疑编号918070206正确答案分析本题考察用分布函数求概率的方法。解析P3X2F（2）F（3）050104，故填写04提示分布函数的性质1F（X）PXX；2F（）0，F（）1；3PAXBF（B）F（A）；4F（X）F（X），在F（X）的连续点。17设随机变量X的分布函数为F（X）则当X0时，X的概率密度F（X）_EX_答疑编号918070207正确答案分析本题考察分布函数与概率密度之间的关系。解析X0时，故填写EX。提示分布函数与概率密度的关系设X为F（X）的连续点，则F（X）存在，且F（X）F（X）；注意复合函数求导的方法。18若随机变量XB（4，），则PX1_65/81_答疑编号918070208正确答案分析本题考察二项分布的概率。解析已知随机变量XB（4，），则X的分布律为，K0，1，2，3，4则。故填写。提示记住符号的意义。19设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）则PXY1_1/4_答疑编号918070209正确答案分析本题考察连续型二维随机变量的概率。解析。故填写。提示被积函数常数时，二重积分的值积分区域的面积。20设随机变量X的分布律为X202P040204则E（X）_0_答疑编号918070210正确答案分析本题考察离散型随机变量的期望。解析E（X）（2）040022040故填写021设随机变量XN（0，4），则E（X2）_4_答疑编号918070211正确答案分析本题考察随机变量函数的期望的求法。解析已知XN（0，4），则E（X）0，D（X）4，由D（X）E（X2）E（X）2，E（X2）D（X）E（X）2404，故填写422设随机变量XN（0，1），YN（0，1），COV（X,Y）05，则D（XY）_3_答疑编号918070212正确答案分析本题考察方差的性质。解析已知XN（0，1），YN（0，1），D（X）D（Y）1D（XY）D（X）D（Y）2COV（X,Y）112053，故填写323设X1，X2，XN，是独立同分布的随机变量序列，E（XN），D（XN）2，N1,2，,则_1/2_答疑编号918070213正确答案分析本题考察中心极限定理的应用。解析由定理54（P120）05故填写05。24设X1，X2，XN为来自总体X的样本，且XN（0,1），则统计量_X2N_答疑编号918070214正确答案分析本题考察统计量的分布之一X2布的定义。解析由X2分布定义，故填写X2（N）。25设X1，X2，XN为样本观测值，经计算知,NX264，则_36_答疑编号918070215正确答案分析本题考察样本的偏差平方和。解析故填写36提示这是一个非常不被重视的内容，在课本P135，希望注意全面复习。（三）计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26设随机变量X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立，求E（XY）答疑编号918070301正确答案分析本题主要考察协方差的性质。解因为X服从区间0，1上的均匀分布，所以，又Y服从参数为1的指数分布，所以，由协方差性质知，当X与Y相互独立时，COV（X,Y）0，又COV（X,Y）E（XY）E（X）E（Y），所以，。27设某行业的一项经济指标服从正态分布N（,2），其中,2均未知今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值5693，样本方差S2（093）2求的置信度为95的置信区间（附T0025（8）2306）答疑编号918070302正确答案分析本题考察单正态总体、方差未知，均值的区间估计。解由已知，XN（，2），但，2均未知，对估计，这时可用T统计量，因为T（N1），由推导可得的1置信区间为，又已知样本容量N9，195，005，所以，将样本容量N9，代入上式，得所以，该项指标均值的所求置信区间为56930715,5693071556215,57645提示本题尤其要注意书写，以免书写不当丢分。（四）综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28设随机事件A1，A2，A3相互独立，且P（A1）04，P（A2）05，P（A3）07求（1）A1，A2，A3恰有一个发生的概率；（2）A1，A2，A3至少有一个发生的概率答疑编号918070303正确答案分析本题考察事件的概率的求法。解（1）事件“A1，A2，A3恰有一个发生”表示为又事件A1，A2，A3相互独立，则所求概率为04（105）（107）（104）05（107）（104）（105）07036所以，A1，A2，A3恰有一个发生的概率为036（2）事件“A1，A2，A3至少有一个发生”的对立事件是“A1，A2，A3全不发生”所以，P（“A1，A2，A3至少有一个发生”）1P（A1，A2，A3全不发生）1（104）（105）（107）091所以，A1，A2，A3至少有一个发生的概率为09129设二维随机变量（X，Y）的分布律为（1）求（X，Y）分别关于X,Y的边缘分布律；（2）试问X与Y是否相互独立，为什么答疑编号918070304正确答案分析本题考察二维随机变量的两个分量的边缘密度及相互独立的验证方法。解（1）由二维随机变量（X，Y）的分布律得X的边缘分布律为X01P0307Y的边缘分布律为Y012P040204（2）验证PX0PY00304012而PX0,Y002012所以，X与Y不相互独立。提示若证明X与Y相互独立，必须逐一验证全部PXXIPYYIPXXI,YYI的正确性；若证明X与Y不相互独立，只需验证其中一个PXXIPYYIPXXI,YYI即可。（五）应用题（10分）30某厂生产的电视机在正常状况下的使用寿命为X（单位小时），且XN（，4）今调查了10台电视机的使用寿命，并算得其使用寿命的样本方差为S280试问能否认为这批电视机的使用寿命的方差仍为4（显著性水平005）（附（9）190,（9）27）答疑编号918070305正确答案分