六年级数学下册 第六章 三元一次方程与一次方程的应用教案 沪教版五四制（通用）

三元一次方程与一次方程的应用知识精要一、三元一次方程1、如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。2、三元一次方程组的的解法的重要思路是：把三元一次方程组转化为二元一次方程组,再把二元一次方程转化为一元一次方程。3、根据方程组的特点，由可以归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法。类型二：缺某元，消某元。 类型三：相同未知数系数相同或相反，加减消元法。 一次方程的应用1、列一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意一个或两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程（组）；（4）解：解这个方程组，求出一个或两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。2、一次方程常碰到的几中类型的应用题（1）和、差、倍、分问题。 （2）调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。（3）行程问题。 相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。（4）工程问题。 其基本数量关系：工作总量工作效率工作时间；合做的效率各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。（5）溶液配制问题。 其基本数量关系是：溶质溶液浓度（），溶液溶质溶剂。（6）利润率问题。 其数量关系是：商品的利润率，商品利润商品售价商品进价。（7）银行储蓄问题。 其数量关系是：利息本金利率存期；本息本金利息，利息税利息利息税率。（8）数字问题。 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。热身练习由_3_个一次方程组成，并且含有1 个未知数的方程叫三元一次方程组。三元一次方程2x-3y+4z=8，用x、y的代数式表示z是。3、解方程组,则x_6_，y_8_，z_3_。4、有两桶水，甲桶有水180升，乙桶有水150升，要使甲桶水的体积是乙桶水的体积的两倍，则应由乙桶向甲桶倒 40 升水。5、某校七年级（2）班有学生50人，其中女生人数的一半比男生人数少8人，若设女生人数x人，男生人数为y人，可列出方程组为_。6、某种品牌的电脑的进价为5000元，按物价局定价的9折销售时，利润不低于700元，则此电脑的定价最少为_元。7、下列方程中，三元一次方程共有( B )(1）； (2)；(3) ； (4) 。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数.设甲数为x,乙数为y,由题意可得方程组（ B ）A.B. C.D.9、小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( C )A、1 B、2 C、3 D、410、一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ B ）A.31B.21 C.11D.5211、解下列三元一次方程组。1、 2、解: 解： 12、我市某学校计划向西部山区的学生捐赠3500册图书，实际共捐了4125册。其中，初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，问初中学生和高中学生比原计划多捐了多少册？ 解：设初中原计划捐册，则可列方程 解得，则初中比高中多捐500册。13、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?解：设学生至少答对道，可列不等式 ，所以至少答对12道题。14、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。解：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14精解名题例1、解下列方程组 参考答案：（1）解： + 得 5x + 5y = 25 ， + 2得 5x + 7y = 31 解这个方程组 - 得 把x = 2，y = 3代入得32 + 23 + z = 13 z = 1是原方程组的解。(2)设，则可得，解得,则。例2、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件（1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?解：（1) (2） 所以至少要派15名工人去制造乙种零件。例3、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450（618）100（140618）=51800（元）.（2）设应安排x天进行精加工， y天进行粗加工.由题意，得解得，故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工。*例4、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。解：那么乙车出发20分钟，甲车就超过乙车。备选例题：例1、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨受人员限制，两种加工方式不可同时进行。受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？（4分）解：选择第二种方案获利更多。例2、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由解：（1）每分钟通过一道正门120名，侧门80名。 （2）符合。巩固练习1、方程+2+314（的正整数解是x=1,y=1,z=1。2、当0、1、1时，二次三项式的值分别为5、6、10，则3，4，5。 3、成都至重庆铁路全长504千米. 一辆快车以90千米/时的速度从重庆出发，1小时后，另有一辆慢车以48千米/时的速度从成都出发，则慢车出发_3_小时后两车相遇。4、甲水池有水31吨,乙水池有水11吨,甲池的水每小时流入乙池2吨,x小时后, 乙池有水_11+2x_吨,甲池有水_31-2x_吨,_5_小时后,甲池的水与乙池的水一样多。5、在1996年全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了_6_场.6、某公司打算至多用1200元印制广告单已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量（张）满足的不等式为 。7、发电厂派汽车去拉煤，已知大货车每辆装10吨，小货车每辆装5吨，煤场共有煤152吨，现派8辆汽车去拉，其中大货车x辆，要一次将煤拉回电厂，至少需派多少辆大货车?列式为_ _。8、已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时相遇.如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x千米和y千米，则x=_4.5_,y=_5.5_.9、解方程组1、 2、 解：把减去得到， 解：最后得，一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度60公里/小时，步行者的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是60公里。问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇？解：设步行者经过个小时与回头接他们的汽车相遇。则列方程 解得11、某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费（1）若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是_1308元_，乙印刷厂的费用是_1320元_（2）根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠? 解：当时，选甲印刷厂好， 当时，选乙印刷厂好。12、已知甲、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提高10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？ 解：设甲、乙两种商品的原单价各是元，则可得下列方程组 解得13、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得，解之，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母自我检测1、三元一次方程7+341用含,的代数式表示z。 2、在三元一次方程3中，若1，2，则2。 3、武炜购买8分与10分邮票共16枚，花了一元四角六分，购买8分和10分的邮票的枚数分别为_7,_9_。4、一次工程,甲独做m天完成,乙独做比甲晚3天才能完成,甲、乙二人合作需要_天完成。5、某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是 。6、有两种药水，一种浓度为60，另一种浓度为90，现要配制浓度为70的药水300克，问各种各需 200 克， 100 克。7、已知方程370，2+31，9有公共解，则的值为（ B ） A、3 B、4 C、5 D、68、一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后甲乙两人合作完成这项工程，则可以列的方程是（ D ）A、 B、 C、 D、9、甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数.如果甲数为x,乙数为y,则得方程组是（ D ）A.；B.C.；D.10、解下列方程 解： 解：11、一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.解：设这两位数的十位上的数为，各位数上为，则可以列出方程组 解得，所以这两位数为41.某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部