2016上海市中考压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 相似三角形的存在性问题解题策略 2015 年 9 月 13 日星期日 专题攻略 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题 1、 2、 3、 4 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题 6 应用判定定理 3 解题不多见，如例题 5，根据三边对应成比例列连比 式解方程（组） 例题解析 例 如图 1物线213482y 与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 点在 B 点左侧），与 动直线 x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 E、 F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动是否存在 t，使得 似若存在，试求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1解析】 公共角 B，那么我们梳理两个三角形中夹 B 的两 条边 确定的由213482y ，可得 A(4, 0)、 B(8, 0)、 C(0, 4) 于是得到 4， 45还可得到 12C E C B ， 2t，那么 长用含 t 的式子表示出来，问题就解决了 在 ， t， 2t，所以 5CF t 因此 4 5 5 5 ( 4 )B F t t 于是根据两边对应成比 例，分两种情况列方程： 当 F时， 424 5 5 ( 4 )t t 解得 43t（如图 1 当 P时， 4 5 ( 4 )245 解得 207t（如图 1 图 1 图 1 如图 2平面直角坐 标系中，顶点为 M 的抛物线 y a 0）经过点A 和 x 轴正半轴上的点 B， 2， 120 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）连结 O M，求 大小； （ 3）如果点 C 在 x 轴上，且 似，求点 C 的坐标 图 2【解析】 相等的一组角在哪里呢？ 本题由简到难，层层深入第（ 1）题求出抛物线的解析式，得到顶点 M 的坐标，为第（ 2）题求 大小作铺垫；求得了 大小，第（ 3）题暗示了要在 寻找与 等的角 （ 1）如图 2点 A 作 y 轴，垂足为 H容易得到 A( 1, 3) 再由 A( 1, 3) 、 B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为 23 2 333y x x （ 2）由 223 2 3 3 3( 1 )3 3 3 3y x x x ，得顶点 M 3(1, )3 所以 3t a M所以 30所以 150 图 2 3）由 A( 1, 3) 、 B(2,0)，可得 30 因此当点 C 在点 B 右侧时， 150 所以 似，存在两种情况： 当 3B A O O M时， 23 233 此时 C(4,0)（如图 2 当 3B C O O M时， 3 3 2 3 6B C B A 此时 C(8,0)（如图 2 图 2 图 2 如图 3物线 y 3 与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 D，顶点为 C （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 x 轴于点 N，使以 A、 M、 似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 3解析】 直角三角形，因此必须先证 明 直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程 （ 1）抛物线的解析式为 y 4x 3 （ 2）由 y 4x 3 (x 2)2 1，得 D(0, 3)， C(2, 1) 如图 3 B(3, 0)、 D(0, 3)、 C(2, 1)，可知 45， 45 所以 90，且 21332 图 3 图 3 图 3设点 M、 N 的横坐标为 x，那么 长要分 N 在 A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”： 当 N 在 A 右侧时， x 1，分两种情况列方程： 当 3C时， 13( 1)( 3)解得 103x此时 M 10 7( , )39（如图 3 当 13D时， 11( 1)( 3) 3解得 x 6此时 M(6, 15)（如图 3 当 N 在 A 左侧时， 1 x，也要分两种情况列方程： 当 3C时， 13( 1)( 3)解得 83x 1，不符合题意（如图 3 当 13D时， 11( 1)( 3) 3解得 x 0，此时 M(0, 3)（如图 3 图 3 图 3 如图 4平面直角坐标系中， A(8 ,0)， B(0,6)，点 C 在 x 轴上， 分 P 在直线 ，直线 y 轴交于点 F，如果 似，求直线 解析式 图 4解析】首先求得点 C(3,0) ，相等的角在哪里啊？ 如图 4点 P 在线段 时， ， 邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此 以求得 F(0, 4)，于是直线 P)为 4 43 如图 4点 P 在 延长线上时， 公共角 P于是 A，可以求得 F(0, 4)，因此直线 P)为 4 43 如图 4点 P 在 延长线上时， B 与 可能相等在 ，根据大边对大角， B 是 一个外角 ， 图 4 图 4 图 4 如图 5次函数 y 3x 的图象经过点 A(1,a)，线段 行于 x 轴，交抛物线于点 D在 y 轴上取一点 C(0, 2)，直线 抛物线于点 B，连结 坐标平面内使 点 E 的坐标； 图 5解法一】点 A、 D、 B 都是确定的，可以求得 A(1, 4)， D( 4, 4)， B( 2, 2) 所以 17， 22， 35， 42 应边已经确定，因此我们可以根据判定定理 3 列方程 由 E O O D D O B B A，得 421 7 2 2 3 5E O D E所以 2 17， 65 设 点 E 的坐标为 (x, y)，根据 68， 180，列方程组 22226 8 ,( 4 ) ( 4 ) 1 8 0 解得118,2,222,8,所以点 E 的坐标为 (8, 2)或 ( 2, 8) 上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系 【解法二】如图 5 确定的， 公共点 O， 1 2， 90 如果 们可以把 着点 O 顺时针旋转，使得点 B落在 ，此时旋转角为 90，点 B恰好落在 中点 按照这个运动规则，点 A(1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转 90，得到点 A(4, 1)，点 A是线段 中点，因此点 E 的坐标为 (8, 2) 如图 5 E(8, 2)关于直线 直线 y x）对称的点为 E(2, 8) 图 5 图 5 如图 6- 1，在 ， 4 2 ， 8 A 的半径为 2，动点 P 从点B 出发沿 向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动 延长 A 于点 D， 连结 A 于点 E， 连结 延长交 点 F 设点 P 运动的时间为 t 秒，当 ，求 t 的值 图 6解析】 等腰直角三角形， A 是确定的，先按照题意把图形补充完整 如图 6易发现 公共角 B，如果根据对应边成比例列方程F 或 D ，其中 4 2 ， t， 4 2 2，但是用含 t 的式子表示 图 6 图 6 图 6们另起炉灶，按照判定定理 1 来解决 公共角 B，我们以 D 为分类标准，分两种情况讨论它们 相似 ： 第一种情况，如图 6 D 是不可能的，这是因为 等腰三角形 2 D 第二种情况，