人教版八年级数学上《第12全等三角形》单元测试含答案解析

第 1页（共 27页） 第 12 章 全等三角形 一、解答题 1如图，在 ， ， 取值范围 2如图， C 的中点， 判断 证明你的结论 3如图， B=2 C，求证： D= 4已知 0 ， C， ，交 ， 求证： 5如图，在正方形 P、 C、 5 ，求证： B+ 6如图，已知等边 ， 20 ， D， 0 求证： 第 2页（共 27页） 7如图（ 1）， D=3 cm/s 的速度由点 运动，同时，点 D 上由点 运动它们运动的时间为 t（ s） （ 1）若点 的运动速度相等，当 t=1 时， 说明理由，并判断此时线段 （ 2）如图（ 2），将图（ 1）中的 “ 为改 “ 0” ，其他条件不变设点 x cm/s，是否存在实数 x，使得 ？若存在，求出相应的 x、 不存在，请说明理由 8如图，已知正方形 ，边长为 10 （ 1）如果点 的速度由 点运动，同时，点 的速度由 点运动，设运动的时间为 长为 含 若以 E、 B、 、 C、 （ 2）若点 中的运动速度从点 动速度从点 逆时针沿正方形 点 会不会相遇？若不相遇，请说明理由若相遇，求出经过多长时间点 第一次在正方形 第 3页（共 27页） 9在等腰直角三角形 0 ， C，直线 点 N 点 t 0 ，且点 与点 如图 1， 于点 P，易证： P（无需写证明过程） （ 1）在图 2中， ， 果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （ 2）在图 3中， C 延长线交于点 P， 直接写出你的结论，无需证明 10如图，已知 20 ， 分 等边三角形的一个顶点 边分别与 其所在直线）交于点 C、 D （ 1）如图 ，当三角形绕点 C 明： D （ 2）如图 ，当三角形绕点 段 请说明理由 （ 3）如图 ，当三角形绕点 段 等吗？直接写出你的结论，不需证明 11如图，在四边形 C=8， D， 2，点 出发，以每秒 1个单位的速度沿 匀速移动，点 出发，以每秒 3个单位的速度，沿 CBC 做匀速移动，点 出发沿 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为 （ 1）试 证明： 第 4页（共 27页） （ 2）在移动过程中，小明发现有 你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和 12如图 1，四边形 D 边上的一个动点（点 、 以 一边在正方形 接 们探究下列图中线段 段 长度关系及所在直线的位置关系 （ 1）猜想图 1中线段 段 （ 2）将图 1中的正方形 着点 逆时针）方向旋转任意角度 a，得到如图 2、如图 3情形请你通过观察、测量等方法判断（ 1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2证明你的判断 二、作图题（共 5小题，满分 0 分） 13如图，已知 ，画点 A 的对称点 P ，再作点 P 关于直线 对称点 P （ 1）试猜想 与 说出你的理由 （ 2）当 一点或 述结论是否成立？ 第 5页（共 27页） 14如图，铁路和公路都经过 线 欲在河上建一个货运码头 Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头 注意： 保留作图痕迹； 在图中标出点 Q） 15（ 1）如图（ 1），已知 D，求作一点 P，使 D，并且点 规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）； （ 2）如图（ 2）在道路 ，使向 AB 两村送水所用水管 B 最短，水坝站 16已知， 4 0 ，试在 、 D，使 求这个最小周长 17（ 1）如图 1，计划在三个住宅小区 A、 B、 得它到三个小区的距离相等，请作图找到购物中心的位置 （ 2）如图 2，有 a、 b、 要建一个货物中转站到三条公路的距离相等， 请作图找到货物中转站的位置 第 6页（共 27页） 第 12 章 全等三角形 参考答案与试题解析 一、解答题 1如图，在 ， ， 取值范围 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系 【分析】延长 E，使 E，连结 明 E=据三角形的三边关系就可以得出结论 【解答】解：延长 E，使 E，连结 D 在 ， E E， 2C ， ， 第 7页（共 27页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 2如图， C 的中点， 判断 证明你的结论 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】可延长 ，使 E，连接 接 C， P，进而在 【解答】答： F F 证明：延长 ，使 E，连接 D， 在 P， P， P，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） 在 F=F F 第 8页（共 27页） 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握 3如图， B=2 C，求证： D= 【考点 】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】在 E=接 明 到 B= 证明 【解答】证明：在 截取 B，连接 在 ， B= E，又 B=2 C， C， 而 C+ C， C= E， D=E= 第 9页（共 27页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握 4已知 0 ， C， ，交 ， 求证： 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【专题】证 明题 【分析】先延长 ，使得 出 根据 C， 出 而证出 F， F，再根据所给的条件得出 可得出 F= 【解答】证明：如图，延长 ，使得 在 ， F， F， 在 ， F= 第 10页（共 27页） 【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和全等三角形的判断与性质进行解答即可 5如图，在正方形 P、 C、 5 ，求证： B+ 【考 点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】将 顺时针旋转 90 得到 据旋转的性质可得 Q， Q， 后求出 5 ，再利用 “ 边角边 ” 证明 据全等三角形对应边相等可得 E，再根据 B+量代换即可得证 【解答】证明：如图，将 顺时针旋转 90 得到 由旋转的性质得， Q， Q， 5 ， 5 ， 在 ， E， B+ B+ 第 11页（共 27页） 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点 6如图，已知等边 ， 20 ， D， 0 求证： 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】延长 E，使 M，连接 证 而求证 N=C+C+可计算 可解题 【解答】解：延长 E，使 M，连接 如图） C， 20 ， 0 ， 0 ， 0 ， E， 又 0 ， 0 ， 0= 又 N， 第 12页（共 27页） E=E=M， 所以 N+M+C+B+ 【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为 60 的性质，本题中求证 E=E=M 是解题的关键 7如图（ 1）， D=3 cm/s 的速度由点 运动，同时，点 D 上由点 运动它们运动的时间为 t（ s） （ 1）若点 的运动速度相等，当 t=1 时， 说明理由，并判断此时线段 （ 2）如图（ 2），将图（ 1）中的 “ 为改 “ 0” ，其他条件不变 设点 x cm/s，是否存在实数 x，使得 存在，求出相应的 x、 不存在，请说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】动点型 【分析】（ 1）利用 出 一步得出 0 得出结论即可； （ 2）由 两种情况： P ， Q， Q ， P，建立方程组求得答案即可 【解答】 解：（ 1）当 t=1时， Q=1， C=3， 又 A= B=90 ， 第 13页（共 27页） 在 0 0 ， 即线段 （ 2） 若 则 P， Q， ， 解得 ； 若 则 Q， P， ， 解得 ； 综上所述，存在 或 使得 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透 8如图，已知正方形 ，边长为 10 （ 1）如果点 的速度由 点运动，同时，点 的速度由 点运动，设运动的时间为 长为 含 若以 E、 B、 、 C、 （ 2）若点 中的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿正方形 点 会不会相遇？若不相遇，请说明理由若相遇，求出经过多长时间点 第一次在正方形 第 14页（共 27页） 【考点】四边形综合题 【分析】（ 1） 根据正方形边长为 10在线段 即可求出 长； 分 （ 2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案 【解答】解：（ 1） C 0 4t； 当 C， Q， 即 4t=10 4t， ， 解得 a= 当 Q， C， 即 4t=10 4t=6， 解得 a=4； （ 2）当 a= 由题意得， 4t=30， 解得 t= 点 4=150 点 在点 当 a=4时，点 的速度相等， 点 不会相遇 经过 与点 相遇 【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键 9在等腰直角三角形 0 ， C，直线 点 N 点 t 0 ，且点 与点 如图 1， 于点 P，易证： P（无需写证明过程） 第 15页（共 27页） （ 1）在图 2中， ， 果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （ 2）在图 3中， C 延长线交于点 P， 直接写出你的结论，无需证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质 【专题】几何综合题 【分析】（ 1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形 以证明 P； （ 2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形 以证明 P 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 F 点 F， 则 F 1+ 0 ， 2=90 ， 1= 2 在 P 第 16页（共 27页） （ 1）答： 证明：如答图 2，过点 F 延长线于点 F， 则 F 1+ 0 ， 2=90 ， 1= 2 在 P （ 2）答： P 证明：如答图 3，过点 F 延长线于点 F， 则 F 在 第 17页（共 27页） P 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键 10如图，已知 20 ， 分 等边三角形的一个顶点 边分别与 其所在直线）交于点 C、 D （ 1）如图 ，当三角形绕点 C 明： D （ 2）如图 ，当三角形绕点 段 说明理由 （ 3）如图 ，当三角形绕点 段 等吗？直接写出你的结论，不需证明 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的性质 【分析】（ 1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答； （ 2）过 A、 造图 的图形，利用（ 1）的结论证明 在的三角形全等； （ 3）仿（ 2）的 证明可得 D 【解答】解：（ 1）证明： ， 0 ， 0 ， ， D（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 第 18页（共 27页） （ 2）解： D 过 Q Q， 由（ 1）得 N 20 ， 60 90 90 120=60 0 D （ 3）解： D 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，由易到难层层递进，把握解题思路是关键 11如图，在四边形 C=8， D， 2，点 出发，以每秒 1个单位的速度沿 匀速移动，点 出发，以每秒 3个单位的速度，沿 CBC 做匀速移动，点 出发沿 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为 （ 1）试证明： （ 2）在移动 过程中，小明发现有 你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和 【考点】全等三角形的判定与性质 第 19页（共 27页） 【分析】（ 1）由 C=8， D， 公共边，所以可证得 以可知 以 （ 2）设 y，分两种情况，一种 到 B，一种 到 C，再结合 E=G，或 G， 解出时间 t和 【解答】（ 1）证明： 在 （ 2）解： 设 y， 当 F， G，或 G， F， 当 到 B，即 0 t 时， 则有 ，解得 ， 或 ，解得 （舍去）， 当 到 C，即 时， 有 ，解得 ， 或 ，解得 ， 综上可知共有三次，移动 的时间分别为 2秒、 4秒、 5 秒，移动的距离分别为 6、 6、 5 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，第（ 2）题解题的关键是利用好三角形全等，从而得到方程解得 第 20页（共 27页） 12如图 1，四边形 D 边上的一个动点（点 、 以 一边在正方形 接 们探究下列图中线段 段 长度关系及所在直线的位置关系 （ 1）猜想图 1中线段 段 （ 2）将图 1中的正方形 着点 逆时针）方向旋转任意角度 a，得到如图 2、如图 3情形请你通过观察、测量等方法判断（ 1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2证明你的判断 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】动点型；操作型 【分析】（ 1）根据正方形的性质，显然三角形 0 即可得到三角形 而判断两条直线之间的关系； （ 2）结合正方形的性质，根据 而证明结论 【解答】解：（ 1） E， 四边形 正方形， C， E， 0 ， 在 C G= E； 延长 ， 又 0 ， 第 21页（共 27页） 0 ， 0 ， （ 2） E， 然成立， 在图（ 2）中证明如下 四边形 边形 是正方形 D， E， 0 E， 又 0 0 0 【点评】此题考查的知识点是正方形的性质，解答本题关键要充分利用正方形的特殊性质，利用三角形全等论证 二、作图题（共 5小题，满分 0 分） 13如图，已知 一点 P，画点 A 的对称点 P ，再作点 P 关于直线 对称点 P （ 1）试猜想 与 说出你的理由 （ 2）当 一点或 述结论是否成立？ 第 22页（共 27页） 【考点】作图 【分析】（ 1）根据轴对称的性质画出图形，再由 理得出 据全等三角形的性质即可得出结论； （ 2）根据题意画出图形，同（ 1）可得出结论 【解答】解：（ 1）猜想： 2 理由：如图 1，在 与 ， 同理可得， 2 ； （ 2）成立 如图 2，当点 同（ 1）可得， ， P ， P 3 =2 如图 3，当点 同（ 1）可得 2 第 23页（共 27页） 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键 14如图，铁路和公路都经过 线 欲在河上建一个货运码头 Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头 注意： 保留作图痕迹； 在图中标出点 Q） 【考点】作图 应用与设计作图 【分析】根据角平分线的作法，作出铁路与公 路所形成的角的平分线，角平分线与河流的交点即为所求 【解答】解：如图所示： ， 点 【点评】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等 15（ 1）如图（ 1），已知 D，求作一点 P，使