工科数学分析-原来积分可以如此简单——一种令你难忘的思考

【主题】超强助学高数版原来积分可以如此简单一种令你难忘的思考CQM20120102原来积分可以如此简单【预览】【简介】故事是这样的，灵感来源于上面那个彩色的表格。陷于积分计算的混沌之中的我，将所有学过的积分按照一定的方法分类，再将所有学过的方法用箭头标注在表格上，突然发现，好像所有知识都能串起来于是，几经努力和修改，终于写出了这个想法。【宣言】事情，原来可以如此简单【参考资料】高等数学（下）华南理工大学同步习题册（下）【声明】本文仅代表个人观点，效果因人而异。如有不足，欢迎指正。本文由MRAGENT独家首发。开源，无版权。已上传至百度文库。前言如果问一个我们大一的学生考试什么科目最头疼，我们大部分一定会毫不犹豫地说高数而微积分想必是我们心中永远的痛。不过，看完下面的内容，你也许会发现其实积分可以是很简单的，甚至是有趣的我经常在想，学习知识，怎样才能摆脱死记硬背，真正在需要的时候能用的上呢慢慢觉得，其关键是在自己脑中建立一个知识的系统，就好像是一个用文件夹分类并标注名称整理得很好的硬盘，无论想用什么都显得容易很多。现在，就让我们来阅读下面的文字，看看这个总结有没有让你感到眼前一亮呢正文目录一、积分是什么一我们学过的六类积分二六类积分之间的联系三积分的统一定义二、积分怎么算一定义法二核心方法三、积分计算的实例一计算技巧二思考一、积分是什么一我们学过的六类积分1定积分直线区域（坐标轴）上定义的函数的积分BAIFXD2二重积分平面区域（坐标平面）上定义的函数的积分,DY3三重积分空间区域上定义的函数的积分,IFXYZV4曲线积分平面曲线区域上定义的函数的积分,LDS5曲线积分空间曲线区域上定义的函数的积分IFXYZ6曲面积分曲面区域上定义的函数的积分,S（注不定积分是计算被积函数原函数的运算，这里并未包括在内，故以下只研究上述六类积分间的关系）二六类积分之间的联系1观察这些积分的表达式，我们看到，所有的积分都是由一下这四部分构成的积分区域如X轴上的区间（A，B），XOY平面上的区域D，一条空间曲线被积函数一元函数F（X），二元函数F（X，Y）积分变量DX，D积分号、所以，我们完全可以把所有的积分统一写成12N,DIFXX2各类积分的关系我们所学的六种积分类型，其实是按照积分区域的不同来划分的分布维数线分布（一维分布）面分布（二维分布）体分布（三维分布）线形区域BAIFXD,LIFXYDS,IFXYZDS面形区域DS区域形状体形区域,IFXYZV表一我们容易发现，变量的个数是与分布维数对应的，而积分号的个数与区域形状有关。请记住这张表，因为它将使你的知识更加系统，使你的思路更加清晰，我们后面讨论计算方法时还要用到它。值得注意的是积分的类型取决于被积函数定义域的形状，即积分区域的形状；积分，其实是先微分再积分，不同的积分区域，对函数的微分方式也不同，这体现在积分变量上。例如是线形区域，在一维的情况下，积分区域为坐标轴上的一段区间（A，B），那么，积分为定积分；BAIFXD是线形区域，在二维的情况下，积分区域为坐标平面上的一条曲线L，那么，积分为平面曲线积分；,LIFYS是线形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一条曲线，那么，积分为空间曲线积分；,IFXZD是面形区域，在二维的情况下，积分区域为坐标平面上的一块区域D，那么，积分为二重积分；,DIFY是面形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一块曲面，那么，积分为曲面积分；,IFXZDS是体形区域，在三维的情况下，积分区域为空间坐标系下的一个立体区域，那么，积分为三重积分；,IFYV三积分的统一定义1有了以上对积分的重新整理和认识，我们发现，不论积分的名字是什么，或者采用了怎样的表示形式，其实它们从本质上都是一样的在一定区域上定义了函数U，则相应的积分为。1IIIUQ如果你对积分的统一定义已经十分认同，特别是上述的积分表达形式，那么其实你可以直接开始第二部分的阅读但如果还有疑惑，不妨继续看看下面紧接着的内容2我们已经给出了所有积分的统一的表示形式，但是那个形式毕竟不是来源于定义而是来源于合情的推理，所以我们有必要对积分进行统一的定义，并且抓住积分的本质，这对于以后的计算是很有帮助的为了完成这个目标，我们需要思考，积分到底是什么回顾让我们先来看看定积分是怎么定义的设函数在闭区间上有界，在中任意插入N1个分点FX,AB,AB012I11INXXXB把区间分划成N个小区间，01211,IINXXXX记，并记，在每个小区间12IIIXN1MAIIN上任取一点，作和式1,III1NIIIFX如果不论对区间怎样划分，也不论对小区间上的点怎样的取法，极限,AB1,III01LIMNIIFX的值都为一个常数，则称函数在区间上可积，并称极限值为函数在区间FX,ABFX上的定积分，记为，即,ABBAD，01LIMNBIAFXFX其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分区FXFD,AB间。我们不难发现，积分其实就是一个极限值。怎样的一个极限值呢一个和式的极限值。怎样的一个和式呢是这样一个和式它有N各项，每个项都是由一个小区域和一个这个区域上定义的函数在这个区域上某点的函数值的乘积构成的。而这小个区域和这个函数是从哪里来的呢这个小区域就是我们需要处理的函数的定义域，而这个函数则是我们需要处理的函数在定义在小区域上的部分。现在我们突然发现，我们已经将积分的统一定义用语言描述出来了，但是我们需要的是一个数学的定义。剩下的工作其实就很简单了。3积分的统一定义和表示设为一个有界的N维闭区域，它是可以度量的。上任意一点QI（X1，X2，XN）按照一定的映射F都有一个唯一的值UQI与之对应，则在上定义了一个N元函数，记为，或。12N,UFXIUFQ设函数UF（QI）在上是有界的，将任意划分为M个小部分1，2，M，在I上任取一点QI，作乘积并求和IIFI1MIIFQ设为I的直径，且极限IR1AXIIMR01LIMIIF存在，那么定义该极限值为函数在上的积分，记为IUFQ。01DLINIIFF这就是积分的统一定义。二、积分怎么算一定义法我们知道积分是一个和式的极限，所以我们可以用极限的求法来计算积分的值。但是毫无疑问，这种方法是我们不愿意经常使用的，那么怎么办呢二核心方法1首先来聊一个比较无聊的题外话假如你要从广州去到深圳，你会选择怎么走想象一下在古代，人们都是步行或者是骑马，但是这样的确很慢，后来我们有了火车就快多。再想象一下，如果你给铁道部建议实现家家通火车，你觉得怎么样当然你一定觉得这是一个不错的想法，但是事实上目前还不太可能实现，即使实现也不太可能会是火车。好了，其实我想说，定义法就好像是我们步行去深圳，虽然能走，但是非常艰难，更何况如果是让你每天走个十次八次的那么我们同样需要一列火车来代步。现在让我们来考虑整个旅途首先不论是谁只要是想去深圳的人，先从四面八方汇聚到广州火车站，然后坐上一列专门驶往深圳的列车，这列火车是从一个固定的地点发车的而不是从每个人的家门口发出的，然后到达一个统一的目的地深圳。因此，我们计算所有积分，一般都遵循这样的思路首先将积分就行一定的转化，转化成我们熟悉的会计算的形式，然后再用同一个固定的方式，将其算出来。2核心方法转化公式法这个转化的过程是比较复杂的，我们会在之后详细说明，但是这最后坐火车的步骤是非常简单的，我们只需要知道一个公式就好，这个公式就是我们熟悉的牛顿莱布尼茨公式BAFXDFBAFXF我们只要将所有需要计算的积分转化成可以用这个公式解决的形式就问题不大了，而这个公式所包含的知识内容则是不定积分和定积分的内容，我们在这里就不再叙述了。众所周知，转化这步可不是说说这么简单的，比如说这个积分223208,|4DXYDRDDXY其中为我们看到其实如何转化才是我们计算积分的关键那么既然如此，我们就有必要好好研究一下究竟该怎样转化。3核心方法转化的艰辛1首先，让我们先来对比一下理想和现实的差距。理想230DR现实2DXY我们通过对比发现，差别主要表现为目标中的积分变量是只含一个变量的，如DX，而现实是积分变量为DXDY，DS，DS，DV等等；积分区域目标中是一个一维的区间，如（A，B），而现实是我们所处理的积分区域要么是一个曲线区域，要么是一个曲面区域，或者是一个空间区域；被积函数原来是关于X，Y的函数，现在是关于的函数。,R不要紧，找到差距就好办，下面我们就来逐一消除这三个差距。2差距消灭一积分变量的转化对于几种积分变量，一般有如下的关系（1）2DSXY（2）DZ（3）22SXYX在计算第一型曲线积分或曲面积分,LIFDSXYZ,IFS时，以下公式可以用来发挥作用。这是我们对123式根号里的表达式进行变换得到的（1）222DS1XYXYD（2）XZZ（3）222SYXYD这样积分变量只会是DX或DY或DXDY，也就是说将曲线积分化成了定积分或二重积分来计算，当然，如下列的参数方程法也是可以的，但是本质上与上述方法别无二致（2）222DSDXYZXYZDTT也就是说，我们这里强调的是怎样变换积分变量使计算可行。在计算第二型曲线积分或曲面积分,LIPXYDQXY,IZZRZD,IPXYZDQXYZDRXYZD时，我们也可以将其用DX，DY单独表示的积分化为用DS表示的积分（4）COSLLPS（5）COPDXYRZRD（6）COSSZQDXQS根据公式，我们便可以完成转化。这就是课本上计算第二型曲线积分和曲面积分的方法。那么我们来总结一下，其实进行变换的公式有（注为了不破坏以下公式的连续阅读效果，我将一些需要的说明提到前面来这些公式的总结是省略了证明过程的，但是由于其特殊的表示形式和对称性的存在，在记忆上可谓非常简单。红色底色为记忆的重点，其余均可类比）第一组从“DS”或“DS”到“DX”或“DXDY”第一类（41）XDY（42）YD（51）XZ（52）YDZ第二类（1）2DSX（2）YDZ（3）22SXX1，2，3式就是这两类公式组合而成的。第二组从“DXDY”或“DXDYDYDZDZDX”到“DS”或“DS”第三类平面曲线某点处切线的方向向量的方向角，满足（61）221COSXDXY（62）221COSYDYXX空间曲线在某点处切线的方向向量的方向角满足,（71）2221COSDXXXYDZYZ（72）2222S1YYYX（73）222CODZZZYDX曲面在某一点的切平面的法向量的方向角，满足（81）2222CSS1XYYZZXYXZ（82）2222ODXYDZ（83）22221CSSXYXYXYDZ第四类对于曲线积分有（91）COSX（92）DY（93）CSZ对于曲面积分有（101）ODYS（102）CSZX（103）Y4，5，6就是由以上两类公式组合得到的。第五类从“DXDY”或“DXDYDYDZDZDX”到“DXDY”或“DXDYDZ”从“DXDYDZ”到“DXDYDYDZDZDX”（格林公式）（11）LDQPDXYPQDYA（高斯公式）（12）PRVZXRXYZ（斯托克斯）RQPDDXDYQDYRZZ（13）（斯托克斯公式）COSCOSYZPDXYRDSXZXYZPQRPQRA（13）第六类（141）DXYJUV,XYUVJYV（142）DXYZJUVDW,XUVWYZYJVZUV即换元法，这里将换元法的公式列出来，但是我们其实只需要熟悉常用的换元法直角坐标系与极坐标系、柱面坐标系和球坐标系之间的换元法就可以了。对于转化为极坐标系的积分变量，DXYR对于转化为柱坐标系的积分变量，ZDZ对于转化为球坐标系的积分变量，2SINXY这六类公式可以帮助我们在已知的一些积分变量之间进行转换。而且我们发现，存在三种地位似乎不等的积分变量第一型DX、DXDY、DXDYDZ第二型DS、DSXUV第三型DXDY、DXDYDZ、DXDYDYDZDZDX第一组公式显然是从第二型变化到第一型，第二组公式是从第三型变到第二型，第五类公式是从第三型变道第一型或第二型，第六类公式是在第一型内进行转化。也就是说，我们在做积分变量的变化的时候，主要是想将积分转化成第一型，即定积分、二重积分、三重积分的形式。下面我们来回顾之前的例子223208,|4DXYDRDDXY其中为我们刚才只做到将转化为，而该怎2DXY22112RDDR12,R样确定呢3差距消灭二积分区域的转化积分变量的改变往往带来的是积分区间的改变，事实上积分区域并未真正变化，而是它的表现形式发生了变化。所以我们还要研究用怎样的形式把积分区域合理地表示出来。引入定限与变量分离我们首先来看我们熟悉的二重积分和三重积分的定限。定限一定是与积分变量相对应的，如极坐标系下对应的是角度和长度的变化范围，而直角坐标系下是两个正交变量X和Y的变化范围，这是有区别的。也就是说定限的过程不是独立的，而是与积分的计算联系起来的。我们先来看积分区域在坐标平面的二重积分的计算设被积函数为U，定义域为D土黄色的积分区域D上，变量沿着两个方向展开，一个是X方向，一个是Y方向。Y方向上，每一个点处函数的值从变化到，010X20XX方向上，X的值从变化到，所以积分的结果按2照这样的方法计算2211XXDUDYUDY如果先考虑沿X方向伸展，每一个点处函数0Y的值从变化到，再考虑沿Y10Y2方向，从变化到，所以积分计算方法为2图二图一2211YYDUDXDUX那么对于三重积分呢其实是一样的设被积函数为U，定义域为在空间积分区域上，有三个延伸方向X方向，Y方向和Z方向。如果先考虑Z方向，对于每一个点（X0，Y0），函数值都从变化到1,XY，接下来我们可以选择考虑X或Y方向的2,任意一个，如果考虑Y方向，如图一，对于每一个点处函数的值从变化到，0X1020X方向上，X的值从变化到，则三重积分的计X2算方法是222111,XXXYUDYZDUDZ深入区域的表达但是如果我们仅仅将课本上的知识原翻不动地记下来，显然是不够的，现在让我们来把上述的定限过程提取出来，看一下它们有什么内在的联系1212,DXYXY或121212,ZXY如果将它们写成12121,|,DXYXXYY121212,|,ZXZXY我们看到，所谓定限，实际上就是用这样具体的形式来表示D，这样抽象的区域，因此，第二步积分区域的转化，我们可以说成是区域的表达。第一类普通的积分区域定积分情况12,PX此时控制积分区域的变量只有一个X，我们称之为控制变量（自变量）。图三图四图五平面曲线积分情况12,LXYFX1,或此时有两个变量，一个是控制积分区域的变量X，另一个变量Y与X通过一个函数YFX关联而不能自由变化，称这个函数为关联表达式，称Y为相关变量（因变量）。空间曲线积分情况1211,XYXZ2,Y或122,ZXZZ或这里有一个控制变量和两个关联表达式。二重积分情况1212,DXXYX1,YY或这里有两个变量对积分区域起控制作用，但是只有一个变量（X或Y）的变化是完全自由的，另一个变量（Y或X）的自由变化范围取决于第一个变量的值，则称前者为完全控制变量，后者为不完全控制变量。同时没有关联表达式。曲面积分情况,XYDZFY这里有两个控制变量，即X和Y，和一个关联表达式。三重积分情况12,XYDZYXZZ或图六图七图八图九12,XZDYXZ或这里有三个控制变量，对于第一种表示形式，Z一定为不完全控制变量。同时没有相关变量，也就没有关联表达式。第二类经过换元的积分区域如二重积分中，进行变换，,XUVY则积分区域为（1个完全控制变量和1个不1212,DUU完全控制变量）；如果U和V没有关联，即U和V的变化范围互不影响，则积分区域为（2个完全控制变量）。121,又如三重积分中，进行如下变换，,XUVWYZ则积分区域为；12,UVDVU如果U，V之间没有关联，则积分区域为（2个完全控制变量，1个不121212,W完全控制变量）；如果U，V，W之间没有关联，则积分区域为（3个完全控制变量）。121212,V第三类经过参数代换的积分区域区域若用参数方程表示12XTTY这里有3个变量，一个完全控制变量，2个相关变量，但是变量T可以通过消参消去，最后转化为只剩下X，Y的一般形式，此时仍旧只有一个控制变量（如X），而相关变量个数也只剩下一个（如Y），说明参数形式中，相关变量的个数并不是最少的，即控制变量数为1，最少相关变量数为1，则最少关联表达式个数为1。如果是空间曲线12XTYTZT这里的完全控制变量数为1，最少关联表达式个数为2。值得注意的是，对于一个积分区域一定的积分，其控制变量总数和最少关联表达式的数目是恒定的，不会因为换元的转化而改变。4差距消灭三被积函数的转化对于一些积分，我们需要对被积函数进行转化，比如说223208,|4DXYDRDDXY其中为原被积函数原为关于X，Y的函数，当积分变量变化为时，被积函数也要用表,R,R示。在进行区域的表达时，我们知道一些区域的表达里存在关联表达式，如中的；,XYZFY,ZFXY换元法里的,UVWZ以及参数方程里的XTY利用这些关联表达式进行代换，就是所谓的被积函数的转化。这是我们最后一步需要做的，当然也是最简单的一个，因为只要知道了关联表达式这种变量之间的函数关系就可以代换了。我们称之为第三步转化。4核心方法转化法的总结1第一步转化再拿出我们的那个表来，我们可以将所有的方法标注在上表中分布维数BAFXDFA线分布（一维分布）面分布（二维分布）体分布（三维分布）线形区域BAIFXD,LIFXYDS,IFXYZDS面形区域DS区域形状体形区域,IFXYZV表二现在，我们一一分析每一种方法的本质第一行的两条墨绿色向左的箭头其实显示了曲线积分中真正的变量只有一个的真理而转化则是使得积分表达式的维数降低222DS11XYXYD222DS1XXYDZYZD22TT表中的体现就是从右向左的箭头，因此我们称之为降维法，显然第二行的墨绿色箭头也是如此。两行间从上到下的三个蓝色箭头，它们分别代表三个公式（格林公式）LDQPDXYPQDYA（高斯公式）PRVZXRDYZ（斯托PPDYDXQDYRZXA克斯公式）但实际上，他们都是将线形区域的积分升为面形区域的积分或者是将面形区域的积分化为体形区域的积分来计算，显然在特定的条件下，这种将积分类型升一级的方法会比较简单，我们称之为升型法。对于两类曲线积分和两类曲面积分的转化，我们用表示。如前所述，我们可以将其转化为第一型的积分来算（4）COSLLPDXQYQDS（5）CORZR（6）COSSDYZXDYPDS我们知道这种方法实际上是来源于物理上矢量作为积分变量（如位移）和被积函数（如力）时的计算方法，例如LLWFDSXQDY即做向量的数量积，所以我们称这种方法为正交法。在每行最左边的一格中，我们用表示换元法，换元法的目的是简化积分区域的表达难度和最终的计算难度。接着我们发现，不论选用前面四种方法中的哪一种，我们最终都是将积分转化为某行最左边的类型，这并非巧合，而是因为只有最左边的类型才能进行进一步的转化。因此，我们称上面的四种方法为第一步转化。不难看出，第一步转化所依靠的主要是积分变量变换的六类公式2第二步转化经过第一步转化得到的积分再通过积分区域的表达来使积分变量分离成单一的形式。我们将所有区域的表达整理到表格中，并将控制变量个数和最少关联表达式个数写在下表中（【控制变量个数最少关联表达式个数】）分布维数普通类型线分布（一维分布）面分布（二维分布）体分布（三维分布）线形区域【10】12,PX【11】12,LXYFX【12】1211,XYXZ面形区域【20】12,DXYX【21】,XYXDZFXY区域形状体形区域【30】12,XYZXY表三1分布维数参数形式线分布（一维分布）面分布（二维分布）体分布（三维分布）线形区域【10】12,PXTT【11】12XTLYTT【12】12XTYTZT面形区域略略区域形状体形区域表三2分布维数换元形式线面分布（二维分布）体分布（三维分布）线略略略面形区域【20】1212,XUVYDVU或略区域形状体形区域【30】121212,XUVWYUVZUVW或表三3我们来观察一下控制变量数和最少关联表达式数分布维数线分布（一维分布）1面分布（二维分布）2体分布（三维分布）3线形区域1【10】【11】【12】面形区域2【20】【21】区域形状体形区域3【30】表四其中控制变量数是和积分号个数一致的，也就是说线形区域为1，面形区域为2，体形区域为3，我们可以将这三种区域称为1形，2形和3形；而控制变量数和最少关联表达式数的和是与其对应的分布维数一致的。5总结综上所述，我们计算积分的方法是12第一步转化第三步转化正交法、升型法、降维法2换元法被积函数的转化牛顿莱布尼茨公式第二步转化积分区域的表达积分表达式积分表达式结果三、积分计算的实例（一）计算技巧1积分计算的特点是计算量大，技巧性强，然而一般来说，这两者不会同时出现在一道题目中。如果将我们上述的转化公式法看做是统一的方法，及“万能的方法”，那么下面我们讨论的是除了统一方法之外的或比统一方法简单得多的方法。这些方法一般带有很强的技巧性（注为不增加阅读负担，习题全部选自华南理工大学同步作业册（下）。）2在计算积分的过程中，以下的方法有可能会使计算从难变易，甚至从不可能变成可能1利用对称性利用积分区间和被积函数的一些对称的性质可以大大简化积分的计算例一，计算，其中为球面与平面相交的部分2ZDSA22XYZA0XYZ（A0）。解本题如果想要完全采用前述统一的算法则会出现几乎无法解决的局面2122222222222010134633041XXXXXXZYYZXYZAZZXZAAXXYAAZDSYZDZYZDAX这样来解显然是十分繁琐的。但是考虑到积分区间的轮换对称性（将X换成Y，Y换成Z，Z换成X后表达式完全不变的性质），和的值其实是一样的。2SA22ZSA所以，。2223111333ZDSXYZDADA利用对称性，积分计算可以获得比较简单的解答。例二，计算，其中L为椭圆，由点经点2LXYDA21XYAB,0AA到点的弧段。0,CB,0BA解我们考虑前述统一的方法来算。22232222,XXAALBYDYXBXYDDXYA观察上式的积分区间是对称的，那么继续观察，发现被积函数第一项是奇函数，则结果为0，第二项为偶函数，所以最后的结果是。2222230044140AALABXBBXYDDXDX2割补法将积分区域进行适当分割或补充，有事是一个聪明的选择例三，计算，其中L是以点为顶点的正LDXYA1,0,1,0,ABCD方形的整个边界（去正向）。解我们首先想到的是能否利用格林公式来算，但是发现有一不在定义域内的点（0,0）被包含在L围成的区域内，所以不能直接利用格林公式，这时需要对L围成的面积做适当修补从区域中挖去一个洞。设L1为圆的边界，取正向，则220XYR1111LLLLLDDXDYXDYXYAAA第一个积分将（0，0）排除在外，可以用格林公式，第二个积分利用极坐标代换得202SINCOS0SINCO0LDXYDRR例四，计算，其中是上半球面的上侧。2YZXY24ZXY解同理本题也不能直接用高斯公式来解，为此，我们需要给曲面补一个面构成闭区域。设2为，取上侧，则204ZXY1122400240RVDYZDDZXYZDXYAR例五，计算，（HR）。2222XYZRDSYZH解我们考虑用统一的方法，把DS化成DXDY。由于这个积分区域是闭合曲面，而投影的话应该注意将曲面分隔成两块和221ZXY22ZXY所以，22RDSXY22222222222222222222222011XYZRDDZHDXYRDXYRXYHXYXYRRDRHRRRTTTDTHTR2202RRDTHTHRH3寻找适当的参数有一些题，题目中已经将参数方程给出，我们只需照着公式去做就好，然而有一些题并未给出，甚至并未提示要用参数法来做。例六，计算，其中是圆柱螺线从T0YDXZ2COS,IN,3XTYTZ到T2的一段弧。解直接利用和公式2COS,IN,3TT（2）222DDXYZXYZDTT20SINICOS3YXZTTTT例七，计算，其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段1DYXDZ直线。解我们先考虑用统一的解法来解。212211132134878678XYZDDXDXDXX本题也是可以用参数法解决的，而且对于可以方便写出来的曲线积分，用参数法的确是一种很好的思路。123XTYZT1012002134673XDXYDZTTDTTT例八，计算，其中L是。22LYDSXZA224,0XYZAX解首先，我们考虑利用球坐标系的公